人教版八年级数学下册竞赛专题07 分式的化简与求值.doc

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专题07 分式的化简与求值
阅读与思考
给出一定的条件，在此条件下求分式的值称为有条件的分式求值．而分式的化简与求值是紧密相连的，求值之前必须先化简，化简的目的是为了求值，先化简后求值是解有条件的分式的化简与求值的基本策略．
解有条件的分式化简与求值问题时，既要瞄准目标．又要抓住条件，既要根据目标变换条件．又要依据条件来调整目标，除了要用到整式化简求值的知识方法外，还常常用到如下技巧: 1．恰当引入参数；
2．取倒数或利用倒数关系； 3．拆项变形或拆分变形； 4．整体代入；
5．利用比例性质等．
例题与求解
【例l 】 已知2
310a a -+=，则代数式3
61
a a +的值为 ．
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：目前不能求出a 的值，但可以求出13a a
+=，需要对所求代数式变形含“1
a a +”．
【例2】 已知一列数1234567,,,,,,,a a a a a a a 且18a =，75832a =，
356
124234567
a a a a a a a a a a a a =====，则5a 为（ ） A ．648 B ．832 C ．1168 D ．1944
（五城市联赛试题） 解题思路：引入参数k ，把17a a 用k 的代数式表示，这是解决等比问题的基本思路．
【例3】 3(0)x y z a a ++=≠．
求
222
()()()()()()
()()()x a y a y a z a z a x a x a y a z a --+--+---+-+-．
（宣州竞赛试题） 解题思路：观察发现，所求代数式是关于x a y a z a ---、、的代数式，而条件可以拆成x a y a z a ---、、的等式，因此很自然的想到用换元法来简化解题过程．
【例4】 已知
1,2,3,xy yz zx
x y y z z x
===+++求x 的值． （上海市竞赛试题）
解题思路：注意到联立等式得到的方程组是一个复杂的三元一次方程组，考虑取倒数，将方程组化
为简单的形式．
【例5】 不等于0的三个正整数,,a b c 满足1111
a b c a b c
++=
++，求证：,,a b c 中至少有两个互为相反数．
解题思路：,,a b c 中至少有两个互为相反数，即要证明()()()0a b b c c a +++=．
（北京市竞赛试题）
【例6】 已知,,a b c 为正整数，满足如下两个条件：①32;a b c ++= ②
1
4
b c a c a b a b c bc ac ab +-+-+-++=,,a b c 解题思路：本题熟记勾股定理的公式即可解答．
（全国初中数学联赛试题）
能力训练
1．若a b c d b c d a ===，则a b c d a b c d
-+-+-+的值是 ．
（“希望杯”邀请赛试题）
2．已知2131
x
x x =-+，则24
2
91x x x =-+ ． （广东竞赛试题）
3．若2
2
2
1998,1999,2000a x b x c x +=+=++=且24abc =，则111
c a b ab bc ac a b c
++--- 的值为 ．
（“缙云杯”竞赛试题）
4．已知
232325
x xy y x xy y +-=--，则11
x y -= ．
5．如果111,1a b b c
+
=+=，那么1
c a +=（ ）
． A ．1 B ．2 C ．12 D ．1
4
（“新世纪杯”竞赛试题）
6．设有理数,,a b c 都不为0，且0a b c ++=，则
222222222
111
b c a c a b a b c ++
+-+-+-的 值为（ ）．
A ．正数
B ．负数
C ．零
D ．不能确定
7．已知4360,270(0)x y z x y z xyz --=+-=≠，则222
222
23657x y z x y z
++++的值为（ ）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．不能确定
8．已知211
x
x mx =-+，则36331x x m x -+的值为（ ）
A ．1
B ．
313m + C ．2132m - D ．2131
m +
9．设0a b c ++=，求222
222222a b c a bc b ac c ab
+++++的值．
10．已知111
x y z y z x
+
=+=+其中,,x y z 互不相等，求证2221x y z =． （天津市竞赛试题）
11．设,,a b c 满足
1111
a b c a b c
++=
++， 求证212121212121
1111n n n n n n a b c a b c ------++=++．（n 为自然数）
（波兰竞赛试题）
12．三角形三边长分别为,,a b c ．
（1）若a a b c
b c b c a ++=
+-，求证：这个三角形是等腰三角形； （2）若1111
a b c a b c
-+=-+，判断这个三角形的形状并证明．
13．已知1ax by cz ===，求
444444
111111
111111a b c x y z +++++++++++的值． （“华杯赛”试题）
14．解下列方程（组）： （1）
1827
2938
x x x x x x x x +++++=+
++++； （江苏省竞赛试题）
（2）
5968419221
19968
x x x x x x x x ----+=+
----； （“五羊杯”竞赛试题）
（3）111211131114
x y z y z x z x y ⎧+=⎪+⎪⎪+=⎨+⎪⎪+=⎪
+⎩．
（北京市竞赛试题）
B 级
1．设,,a b c 满足0a b c ++=，0abc >，若a b c x a b c
=
++， 111111
()()()y a b c b c c a a b
=+++++，则23x y xy ++= ．
2．若0abc ≠，且a b b c c a c a b
+++==
，则()()()
a b b c c a abc +++= ． 3．设,,a b c 均为非零数，且2(),3(),4()ab a b bc b c ac a c =+=+=+，则a b c ++= ．
4．已知,,x y z 满足1x y z y z x z y x ++=+++，则222
x y z y z x z y x
+++++的值为 ． 5．设,,a b c 是三个互不相同的正数，已知
a c c b
b a b a
-==+，那么有（ ）． A ．32b c = B ．32a b = C ．2b c = D ．2a b =
6．如果0a b c ++=，1114a b c ++=-，那么222111
a b c
++的值为（ ）．
A ．3
B ．8
C ．16
D ．20
7．已知2
519910x x --=，则代数式42(2)(1)1
(1)(2)
x x x x -+----的值为（ ）．
A ．1996
B ．1997
C ．1998
D ．19999
8．若615325x y x y y x y x -==-，则22
2245623x xy y x xy y
-+-+的值为（ ）． A ．
92 B ．9
4
C ．5
D ．6 （全国初中数学联赛试题）
9．已知非零实数,,a b c 满足0a b c ++=． （1）求证：3
3
3
3a b c abc ++=； （2）求(
)()a b b c c a c a b
c a b a b b c c a
---++++---的值． （北京市竞赛试题）
10．已知2
410a a ++=，且423
2
1
322a ma a ma a
++=++．求m 的值． （北京市竞赛试题）
11．完成同一件工作，甲单独做所需时间为乙、丙两人合做所需时间的p 倍，乙单独做所需时间为甲、丙两人合做所需时间的q 倍；丙单独做所需时间为甲、乙两人合做所需时间的x 倍， 求证：2
1
p q x pq ++=
-．(10)pq -≠
（天津市竞赛试题）
12．设222222222
,,222b c a a c b b a c A B C bc ac ab
+-+-+-===，当3A B C ++=-时，
求证：2002
200220023A
B C ++=．
（天津市竞赛试题）
13．某商场在一楼和二楼之间安装了一自动扶梯，以均匀的速度向上行驶，一男孩和一女孩同时从自动扶梯上走到二楼（扶梯行驶，两人也走梯）．如果两人上梯的速度都是匀速的，每次只跨1级，且男孩每分钟走动的级数是女孩的2倍．已知男孩走了27级到达扶梯顶部，而女孩走了18级到达顶部． （1）扶梯露在外面的部分有多少级？
（2）现扶梯近旁有一从二楼下到一楼的楼梯道，台阶的级数与自动扶梯的级数相等，两人各自到扶梯顶部后按原速度再下楼梯，到楼梯底部再乘自动扶梯上楼（不考虑扶梯与楼梯间的距离）．求男孩第一次追上女孩时走了多少级台阶？
（江苏省竞赛试题）
中考数学知识点代数式 一、 重要概念
分类：
1.代数式与有理式
用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。

单独
的一个数或字母也是代数式。

整式和分式统称为有理式。

2.整式和分式
含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。

没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。

有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。

3.单项式与多项式
没有加减运算的整式叫做单项式。

(数字与字母的积—包括单独的一个数或字母)
几个单项式的和，叫做多项式。

说明：①根据除式中有否字母，将整式和分式区别开;根据整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。

②进行代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。

划分代数式类别时，是从外形来看。

如，
=x, =│x│等。

4.系数与指数
区别与联系：①从位置上看;②从表示的意义上看
5.同类项及其合并
条件：①字母相同;②相同字母的指数相同
合并依据：乘法分配律
6.根式
表示方根的代数式叫做根式。

含有关于字母开方运算的代数式叫做无理式。

注意：①从外形上判断;②区别：、是根式，但不是无理式(是无理数)。

7.算术平方根
⑴正数a的正的平方根( [a≥0—与“平方根”的区别]);
⑵算术平方根与绝对值
①联系：都是非负数，=│a│
②区别：│a│中，a为一切实数; 中，a为非负数。

8.同类二次根式、最简二次根式、分母有理化
化为最简二次根式以后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。

满足条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式;②被开方数中不含有开得尽方的因数或因式。

把分母中的根号划去叫做分母有理化。

9.指数
⑴( —幂，乘方运算)
①a>0时，>0;②a0(n是偶数)，⑵零指数：=1(a≠0)
负整指数：=1/ (a≠0,p是正整数)
二、运算定律、性质、法则
1.分式的加、减、乘、除、乘方、开方法则
2.分式的性质
⑴基本性质：= (m≠0)
⑵符号法则：
⑶繁分式：①定义;②化简方法(两种)
3.整式运算法则(去括号、添括号法则)
4.幂的运算性质：①· = ;②÷ = ;③= ;④= ;⑤
技巧：
5.乘法法则：⑴单×单;⑵单×多;⑶多×多。

6.乘法公式：(正、逆用)
(a+b)(a-b)=
(a±b) =
7.除法法则：⑴单÷单;⑵多÷单。

8.因式分解：⑴定义;⑵方法：a.提公因式法;b.公式法;c.十字相乘法;d.分组分解法;e.求根公式法。

9.算术根的性质：= ; ; (a≥0,b≥0); (a≥0,b>0)(正用、逆用)
10.根式运算法则：⑴加法法则(合并同类二次根式);⑵乘、除法法则;⑶分母有理化：a. ;b. ;c. .
11.科学记数法：(1≤a<10,n是整数。