大学物理第四章习题答案
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1 2
L R mv1 Rmv1 sin(90 ) ˆ j Rmv cos ˆ j
1
R
z
火箭在最高点相对地心的角动量为
ˆ mv i ˆ ( R h)mv ˆ L ( R h) k 2 2 j
o
y
x
3
4-7：一质量为 m 的小球在 o-xy 平面上运动，其位置矢量随时 ˆ b sin t ˆ j，其中 a、b、ω 均为常 间变化的规律为 r a cos t i 数，从质点运动和角动量定理两个方面证明此质点对坐标原点 O 的角动量是守恒的。 1）从运动学的角度证明
r1 mv1 r2 mv2 0 Rmv1 Rmv2 0
o
R
y
根据相对运动关系可得
vˆ 解以上两方程得重物相对地面的速度 v1 i 2
z
v1 v2
v2 v v绳 v2 v v1
m
x
6
4-10：我国发射的第一颗人造地球卫星，近地点距地面 439 千 米，远地点距地面 2384 千米，如将地球视为半径为 6378 千米 的均质球体，求卫星在近地点和远地点的速率。 解：设卫星近地点与远地点分别距地面 h1 及 h2，运动速度分 别为 v1 及 v2 ，地球半径为 R，卫星运动过程中只受有心力作 用，对地心的角动量守恒，即
所以，此质点对坐标原点 O 的角动量守恒
4
2）从动力学的角度证明 质点运动速度 ˆ b cos t ˆ v dr a sin t i j dt 质点运动的加速度
a dv dt ˆ 2b sin t ˆ 2a cos t i j 2 r
ˆ b cos t ˆ 质点运动速度： v dr a sin t i j dt
质点对坐标原点 O 的角动量：
L r mv ˆ b sin t ˆ ˆ b cos t ˆ (a cos t i j ) m( a sin t i j) ˆ m ab sin 2 t k ˆ m abk ˆ 常矢量 m ab cos 2 t k
h1
R
由以上三式可解出卫星在近 地点与远地点的速率
2( R h2 ) R g v1 8110.5(m/s) (2 R h1 h2 )( R h1 ) R h1 v2 v1 6310.1 (m/s) R h2
2 1 2
o
h2
普通物理
1
第四章 角动量定理及其守恒律
——思考题与习题
（1课时）
2
4-3：忽略空气影响，火箭自地面发射后在空间做抛物线运动， 设其质量为 m，以与水平方向夹 α 角发射，速度为 v1，到达最 高点 h 时速度为 v2，假设地球是半径为 R 的圆球，求火箭离 开发射点时以及火箭在最高点时相对地心的角动量。 解：以地球为参照系，如图选取坐标系 o-xyz，y 轴与发射平面 垂直向里，根据角动量的定义火箭 v v h 离开发射点时相对地心的角动量为
( R h1 )mv1 ( R h2 )mv2
h1
R
o
Biblioteka Baidu
h2
将卫星与地球视为质点系，系统 机械能守恒。取卫星与地球相距无穷远时为引力势能零点则
1 GMm 1 GMm 2 2 mv1 mv2 2 R h1 2 R h2
7
卫星在地面上时，其所受万有引力等于重力
mg GMm R2
质点所受作用力为
F ma m 2r
质点所受作用力对坐标原点 O 的力矩为
M r F m 2 r r 0
所以对坐标原点的角动量守恒。
5
4-8：不可伸长的轻绳绕过一个轻定滑轮，两边分别有重物和 小猴，由于两者质量相等，开始时均静止地吊在绳端，现在小 猴以相对绳子的速度 v 向上爬，求重物相对于地面的速度。 解：如图建坐标系，将小猴、滑轮、绳子、重物视为质点系， 小猴向上爬的过程中，系统对坐标原点的合力矩始终为零，所 以对坐标原点的角动量守恒，设重物相对于地面的速度为 v1, 小猴相对地面的速度为 v2，则
L R mv1 Rmv1 sin(90 ) ˆ j Rmv cos ˆ j
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R
z
火箭在最高点相对地心的角动量为
ˆ mv i ˆ ( R h)mv ˆ L ( R h) k 2 2 j
o
y
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4-7：一质量为 m 的小球在 o-xy 平面上运动，其位置矢量随时 ˆ b sin t ˆ j，其中 a、b、ω 均为常 间变化的规律为 r a cos t i 数，从质点运动和角动量定理两个方面证明此质点对坐标原点 O 的角动量是守恒的。 1）从运动学的角度证明
r1 mv1 r2 mv2 0 Rmv1 Rmv2 0
o
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根据相对运动关系可得
vˆ 解以上两方程得重物相对地面的速度 v1 i 2
z
v1 v2
v2 v v绳 v2 v v1
m
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4-10：我国发射的第一颗人造地球卫星，近地点距地面 439 千 米，远地点距地面 2384 千米，如将地球视为半径为 6378 千米 的均质球体，求卫星在近地点和远地点的速率。 解：设卫星近地点与远地点分别距地面 h1 及 h2，运动速度分 别为 v1 及 v2 ，地球半径为 R，卫星运动过程中只受有心力作 用，对地心的角动量守恒，即
所以，此质点对坐标原点 O 的角动量守恒
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2）从动力学的角度证明 质点运动速度 ˆ b cos t ˆ v dr a sin t i j dt 质点运动的加速度
a dv dt ˆ 2b sin t ˆ 2a cos t i j 2 r
ˆ b cos t ˆ 质点运动速度： v dr a sin t i j dt
质点对坐标原点 O 的角动量：
L r mv ˆ b sin t ˆ ˆ b cos t ˆ (a cos t i j ) m( a sin t i j) ˆ m ab sin 2 t k ˆ m abk ˆ 常矢量 m ab cos 2 t k
h1
R
由以上三式可解出卫星在近 地点与远地点的速率
2( R h2 ) R g v1 8110.5(m/s) (2 R h1 h2 )( R h1 ) R h1 v2 v1 6310.1 (m/s) R h2
2 1 2
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普通物理
1
第四章 角动量定理及其守恒律
——思考题与习题
（1课时）
2
4-3：忽略空气影响，火箭自地面发射后在空间做抛物线运动， 设其质量为 m，以与水平方向夹 α 角发射，速度为 v1，到达最 高点 h 时速度为 v2，假设地球是半径为 R 的圆球，求火箭离 开发射点时以及火箭在最高点时相对地心的角动量。 解：以地球为参照系，如图选取坐标系 o-xyz，y 轴与发射平面 垂直向里，根据角动量的定义火箭 v v h 离开发射点时相对地心的角动量为
( R h1 )mv1 ( R h2 )mv2
h1
R
o
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h2
将卫星与地球视为质点系，系统 机械能守恒。取卫星与地球相距无穷远时为引力势能零点则
1 GMm 1 GMm 2 2 mv1 mv2 2 R h1 2 R h2
7
卫星在地面上时，其所受万有引力等于重力
mg GMm R2
质点所受作用力为
F ma m 2r
质点所受作用力对坐标原点 O 的力矩为
M r F m 2 r r 0
所以对坐标原点的角动量守恒。
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4-8：不可伸长的轻绳绕过一个轻定滑轮，两边分别有重物和 小猴，由于两者质量相等，开始时均静止地吊在绳端，现在小 猴以相对绳子的速度 v 向上爬，求重物相对于地面的速度。 解：如图建坐标系，将小猴、滑轮、绳子、重物视为质点系， 小猴向上爬的过程中，系统对坐标原点的合力矩始终为零，所 以对坐标原点的角动量守恒，设重物相对于地面的速度为 v1, 小猴相对地面的速度为 v2，则