数学家的故事—高斯

不久就有人推测︰这一公理可从其他一些公理推导出来，因而可从公理系统中删去。 但是关於它的所有证明都有错误。高斯是最早认识到可能存在一种不适用平行线公理的 几何学的人之一。他逐渐得出革命性的结论︰确实存在这样的几何学，其内部相容并且 没有矛盾。但因为与同代人的观点相背，他不敢发表(参阅非欧几里得几何条)。
高斯的研究领域
高斯的数学研究几乎遍及所有领域，在数论、代数学、非欧几何、 复变函数和微分几何等方面都做出了开创性的贡献。他还把数学应用于 天文学、大地测量学和磁学的研究，发明了最小二乘法原理。高斯一生 共发表155篇论文，他对待学问十分严谨，只是把他自己认为是十分成熟 的作品发表出来。
高斯首先迷恋上的也是自然数。高斯在1808年谈到：“任何一个花 过一点功夫研习数论的人，必然会感受到一种特别的激情与狂热。”
1807年他成为格丁根大学的天文学教授和新天文台台长，直到逝世。 1809年，在结婚4年后和第三个孩子刚出世不久，他第一个妻子去世。他的第 二次婚姻(1810～1831)带给他两个儿子和一个女儿。 在1812年，他研究了超几何级数，并且把研究结果写成专题论文，呈给 哥廷根皇家科学院。
高斯的成就
Fra Baidu bibliotek——大地测量
当1830年前后匈牙利的波尔约(Janos Bolyai)和俄国的罗巴切夫斯基独立地发表非 欧几何学时，高斯宣称他大约在30年前就得到同样的结论。高斯也没有发表特殊复函数 方面的工作，可能是因为没有能从更一般的原理导出它们。因此这一理论不得不在他死 后数十年由其他数学家从他著作的计算中重建。 1830年前后，极值(极大和极小)原理在高斯的物理问题和数学研究中开始占有重要 地位，例如流体保持静止的条件等问题。在探讨毛细作用时，他提出了一个数学公式能 将流体系统中一切粒子的相互作用、引力以及流体粒子和与它接触的固体或流体粒子之 间的相互作用都考虑在内。这一工作对於能量守恒原理的发展作出了贡献。从1830年起 高斯就与物理学家威廉·爱德华·韦伯密切合作。由於对地磁学的共同兴趣，他们一起 建立了一个世界性的系统观测网。他们在电磁学方面最重要的成果是电报的发展。因为 他们的资金有限，所以试验都是小规模的。
高斯对代数学的重要贡献是证明了代数基本定理，他的存在性证明 开创了数学研究的新途径。事实上在高斯之前有许多数学家认为已给出 了这个结果的证明，可是没有一个证明是严密的。高斯把前人证明的缺 失一一指出来，然后提出自己的见解，他一生中一共给出了四个不同的 证明。高斯在1816年左右就得到非欧几何的原理。他还深入研究复变函 数，建立了一些基本概念发现了著名的柯西积分定理。他还发现椭圆函 数的双周期性，但这些工作在他生前都没发表出来。 在物理学方面高斯最引人注目的成就是在1833年和物理学家韦伯发 明了有线电报，这使高斯的声望超出了学术圈而进入公众社会。除此以 外，高斯在力学、测地学、水工学、电动学、磁学和光学等方面均有杰 出的贡献。
高斯的个人著作
著作
《算术研究》
出版时间
1801年
著作介绍
介绍了同余、二次互逆定理
《天体运动理论》 《曲面的一般研究》 关于代数基本定理的博士论文 《高等大地测量学理论》上 《高等大地测量学理论》下 《地磁的一般理论》 《地磁概念》
《论与距离平方成反比的引力 和斥力的普遍定律》
1809年 1827年 1799年 1843/44年 1846/47年 1839年 1840年
数 学 家 的 故 事
高 斯
——
约翰·卡尔·弗里德里希·高斯（Johann Carl Friedrich Gauss ，1777年4月30日－ 1855年2月23日），德国著名数学家、物理学 家、天文学家、大地测量学家，近代数学奠基 者之一。高斯被认为是历史上最重要的数学家 之一，并享有“数学王子”之称。
果然，谷神星准确无误的在高斯预测的地方出现。这个方法－－虽然他 当时没有公布－－就是“最小平方法”。在天文学中这一成就立即得到公认。
他在《天体运动理论》(1809)中叙述的方法今天仍在使用，只要稍作修 改就能适应现代计算机的要求。高斯在小行星「智神星」方面也获得类似的 成功。考虑到其他行星对智神星轨道的摄动，高斯改进了他的计算。 这时他 的声名远播，荣誉滚滚而来。自那以后，行星、大行星（海王星）接二连三 地被发现了。
1820年前后，高斯把注意力转向大地测量——用数学方法测定地球表面的形 状和大小。他把很多时间用於大地测量的理论研究和野外工作。 为了增加测量的精确度，他发明了回光仪(一种利用日光以保证比较精确测 量的仪器)。他还引进了所谓的高斯误差曲线，并指出概率如何能用变差的钟形 曲线(一般称为正态曲线，它是刻画数据统计分布的基础)来表示。 他还对透过实际的大地测量确定地球形状感兴趣，这个工作使他回到了纯理 论。他利用这些测量数据发展了曲面论，按照这一理论，一个曲面的特徵只要透 过测量曲面上曲线的长度就能确定。 这种「内蕴曲面论」启发了他的学生黎曼发展三维或多维空间的一般内蕴几 何学。这是黎曼1854年在格丁根就职演说的题目，据说也是困扰高斯的问题。大 约60年以后黎曼的思想形成爱因斯坦广义相对论的数学基础。
高斯的成就
——天文
1801天文界正在为火星和木星间庞大的间隙烦恼不已，认为火星和木星间应 该还有行星未被发现。 1801年的元旦，一位意大利天文学家在西西里岛观察到在白羊座（Aries） 附近有光度八等的星移动，这颗如今被称作谷神星（Ceres）的小行星在天空出 现了41天，扫过八度角之后，就在太阳的光芒下没了踪影。 我们知道它是火星和木星的小行星带中的一个，当时天文学家无法确定这颗 新星是彗星还是行星，必须继续观察才能判决，但是Piazzi只能观察到它9度的 轨道，再来，它便隐身到太阳后面去了。因此无法知道它的轨道，也无法判定它 是行星或彗星。 高斯也对这颗星着了迷，他决定解决这个捉摸不到的星体轨迹的问题。高斯 自己独创了只要三次观察，就可以来计算星球轨道的方法。他可以极准确地预测 行星的位置。他利用天文学家提供的观测资料，不慌不忙地算出了它的轨迹。
1840年
天体运动的著作 阐述了空间曲面的微积分几何学 证明了每个复系数方程必有复数解 地理测量 地理测量
高斯和阿基米德、牛顿并列为世界三大数 学家。一生成就极为丰硕，以他名字“高斯” 命名的成果达110个，属数学家中之最。他对 数论、代数、统计、分析、微分几何、大地测 量学、地球物理学、力学、静电学、天文学、 矩阵理论和光学皆有贡献。
高斯的成就
——数学
高斯已经指出，正三边形、正四边形、正五边形、正十五边形和边数是上 述边数两倍的正多边形的几何作图是能够用圆规和直尺实现的，但从那时起关 于这个问题的研究没有多大进展。高斯在数论的基础上提出了判断一给定边数 的正多边形是否可以几何作图的准则。例如，用圆规和直尺可以作圆内接正十 七边形。这样的发现还是欧几里得以后的第一个。 这些关於数论的工作对代数数的现代算术理论(即代数方程的解法)作出了 贡献。高斯还将复数引进了数论，开创了复整数算术理论，复整数在高斯以前 只是直观地被引进。1831年(发表於1832年)他给出了一个如何藉助於x,y平面 上的表示来发展精确的复数理论的详尽说明。 高斯是最早怀疑欧几里得几何学是自然界和思想中所固有的那些人之一。 欧几里得是建立系统性几何学的第一人。他模型中的一些基本思想被称作公理， 它们是透过纯粹逻辑构造整个系统的出发点。在这些公理中，平行线公理一开 始就显得很突出。按照这一公理，通过不在给定直线上的任何点只能作一条与 该直线平行的线。
与他在引力和磁学方面的兴趣有密切关系的是他在1840年发表的实分析论文。 这一论文成为现代位势理论的出发点。这可能是他所有的工作中唯一没有达到他 本人高标准要求的一个。只有到20世纪初数学家在不同原理的基础上或藉助於寻 求高斯结论是完全正确的成立条件，才有可能重新发展位势理论。
1820到1830年间，高斯为了测绘汗诺华公国的地图，开始做测地的工作，他 写了关于测地学的书，由于测地上的需要，他发明了日观测仪。高斯和韦伯 （Withelm Weber)一起从事磁的研究，他们的合作是很理想的：韦伯作实验，高 斯研究理论，韦伯引起高斯对物理问题的兴趣，而高斯用数学工具处理物理问题， 影响韦伯的思考工作方法。以伏特电池为电源，构造了世界第一个电报机，设立 磁观测站，和韦伯画出了世界第一张地球磁场图，而且定出了地球磁南极和磁北 极的位置。