复变函数论课程教学改革的探索与实践

第39卷第2期 唐山师范学院学报 2017年3月 Vol.39 No.2 Journal of Tangshan Normal University Mar. 2017

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基金项目：唐山师范学院教学改革项目（JJ2014009） 收稿日期：2016-12-25 作者简介：张庆（1960-），男，上海松江人，教授，研究方向为函数论。 -121-

复变函数论课程教学改革的探索与实践

张 庆

（唐山师范学院 数学与信息科学系，河北 唐山 063000）

摘 要：针对复变函数论课程教学过程中存在的问题，从教学内容、教学设计、教学方法和手段、教材建设等方面对复变函数论课程教学改革进行了探讨。

关键词：复变函数论；教学内容；教学方法 中图分类号：O174.51

文献标识码：

A 文章编号：1009-9115(2017)02-0121-02

DOI ：10.3969/j.issn.1009-9115.2017.02.034

Teaching Research of Functions of Complex Variables

ZHANG Qing

(Department of Mathematics and Information Science, Tangshan Normal University, Tangshan 063000, China)

Abstract: This paper discussed the problems and issues in teaching process of Functions of Complex Variables . Different aspects such as teaching materials, subject design, teaching method, text book, etc were discussed to explore the teaching reform for Functions of Complex Variables .

Key Words: Functions of Complex Variables ; teaching material; teaching practice

复变函数论课程是高等学校数学专业和相关理工科专业的一门十分重要的必修基础课程。它的基本理论和研究方法不仅普遍渗透到算子理论、解析数论、多复变函数论和复分析等数学的其他分支，而且还在自然科学的众多领域中有着重要的应用，比如理论物理学、流体力学、弹性力学、电磁学与自动控制论等不同的课程。为使学生能够更好地掌握它的基本内容、基本方法和重要应用，本文对复变函数论课程教学过程中存在的问题进行了分析，并就此对复变函数论课程教学改革进行了探讨。

1 复变函数论课程教学过程中存在的问题

在教学内容方面注重理论教学，轻视理论应用。数学专业的复变函数论课程一般安排在二年级上学期，每周需要安排4个学时才能在一学期内完成教学任务。在全国各个高等院校或教育机构施行高等教育和课程教学改革的过程中，各个专业都不同程度地增加了一些新的课程，而原来比较传统的一些专业基础课程的课时却不断被压缩。所以，不少高等学校数学专业压缩了复变函数论的课时，客观上

导致授课教师在平时的教学实践环节中对部分知识内容略讲或者让学生自学，使得学生很难跟上授课进度。同时，由于各大高等院校不断增加招生指标，导致学生的学习能力良莠不齐，传统的千篇一律的授课方式必然引起“优秀学生感觉过于简单，而落后学生又甚感困难”的现象。教学过程中很难见到应用数学知识，建立数学模型，进行数据挖掘，科学的分析、判断、论证、解决经济活动中复杂的实际问题的例子，缺乏深度与广度，难以开拓学生的视野，培养学生解决实际问题的能力。

在教育理念上，学生与教师主客体倒置。一般情况下仍然是教师讲学生听，学生没能成为教学过程中的主体，学生难以融入教学过程，这在相当大的程度上挫伤了学生学习复变函数论的兴趣，一定程度上打击了学生学习的积极性。

教学方法单一。传统的教学方法，仍然是我国课程进行课程教学的主旋律，表现在只是注重数学知识的灌输，而轻视数学思想方法的传授。实际上，数学思想方法，才真正是学生受益终生的宝贵财富。

学习丰富多彩的数学知识的同时，引领学生去领悟、欣赏数学思想方法，这才是至关重要的。

教学活动缺乏。教学活动仍然是以课堂教学为主，缺少实体背景材料，缺乏学生从事观察、试验、估算、猜测、推理、交流与问题解决等活动。

在教学评价上，缺少行之有效的科学的评价体系。在教与学的过程中，及时地进行总结，科学地进行教学评价，对提高教学质量，提高教师的教学水平，培养学生的数学能力，无疑是至关重要的。

2 复变函数论课程教学内容与教学方法的改革

2.1 教学内容的改革

为了确保部分学生进行更深入的学习，同时满足大部分学生毕业后从事相关工作的需要，在授课过程中基本不能动摇复变函数论课程的三部分主要内容；同时，教学内容的选择必须针对性强，强调复变函数论的应用以及与各学科的联系与渗透。

在前期课程中已经学习过的相关内容（如复数的定义、表示方法和运算性质以及极限、连续、导数、积分和级数等）可以略讲，主要进行“数学分析”与“复变函数论”两课程相关理论异同的对比，适当地留给学生作为课后自学或研讨内容，主讲教师只要通过练习和作业检查学生对这一方面内容的学习和掌握程度即可。因此，任课教师在讲授教材中的第一章“复数与复变函数”时，可以只重点讲解复数的模与辐角、复数在几何上的应用、Jordan 曲线以及复球面与无穷远点；在讲授第二章“解析函数”时，可以只重点讲解解析函数的定义、充要条件与初等多值函数，而略讲导数与微分、初等解析函数；在讲解第三章“复变函数的积分”时，往往略去柯西古萨基本定理的证明等。

为了提高并促进学生对该课程的学习兴趣和树立远大的学术志向，主讲教师在课堂教学中应该结合自己或他人的科研工作，适当地将与其相关的前沿研究成果以及在相关领域中的实际应用情况介绍并推广给学生。如：主讲教师在讲授解析函数的零点概念和幂级数展开式的内容时，可以描述著名的Riemann猜想产生的背景知识；在讲解亚纯函数的概念时，可以介绍我国著名数学家杨乐和张广厚对其所做出的卓越贡献以及在国际上所处的地位。

2.2 教学设计的改革

在教学中，始终坚持以教师为主导，以学生为主体的启发式教学，通过精心设计，努力引导学生开展探索性学习。

例如在讲授留数基本定理时，不只是精心筛选有关例题，要求学生掌握如何利用此定理把求沿闭曲线上的复函数积分转化为求被积函数在闭曲线内各孤立奇点上的留数，而且着重引导学生把此定理与柯西积分定理、柯西积分公式加以比较区别，深刻理解这三者之间的关系（因为这些是本课程的重点内容之一），为此我们不会随便过早代替学生作出结论，总是先提出两个问题：（1）能否以留数定理为依据，论证柯西积分定理？（2）如何利用留数定理推导柯西积分公式？然后展开师生讨论，要求以书面形式，分组课后完成，多次尝试效果良好，学生思路相当活跃，多数学生能直接由留数定义出发，结合留数定理就可推导出柯西积分公式，通过这种教学环节的设计，在教师的诱导下，学生对重要知识点进行了有机结合，不仅能激发学生的学习热情与好奇心，而且对本课程的重要结论能加强理解与牢固掌握。

2.3 教学方法与手段的改革

教学方法要体现动态型，强调科学探究过程是重要的学习活动，是一种有效的学习方式。动态型教学方式，要求教师将重心从静态的教，转移到动态的学上面，注重让学生去体会、思考、讨论。教师必须转换自己的角色，改变过去教学中的“权威”或“领导”者的姿态，成为教学共同体的一元，参与学生的活动。教师成为学生自主学习，合作学习和探究学习的设计者、引导者、组织者、合作者。另外，师生可以建立一个课程网络平台，师生可以随时发表自己的观点，提出问题以及解决问题的方案。这是课堂教学的补充与延伸。因此，教师的人生舞台并不是那只有三尺的讲台，而是与学生在一起的广阔天地。在教学手段上，根据本课程的特点，除了传统的教学手段，针对有关章节的部分内容可以采用多媒体辅助教学，以有效提高空间几何想象力与提供更多的教学信息。

2.4 教学理念的改革

复变函数论既是数学分析的延伸与推广，又具有解析函数与方法论的独特之处。在教学过程中，应高度重视教师的“教”与学生的“学”之间的辩证关系，不仅要求教师自身演技好，而且要引导学生共同参与演得好，也就是说在传授知识、讲明道理的同时，注意激发学生的学习兴趣和求知欲，培养学生良好的学习习惯和科学的思维方式，充分体现现代教学理念。如为学生构筑复变函数论学习的基点，提供现实、有趣、实用的学习素材，营造探索、交流的时间与空间，展现复变函数论知识的形成与应用过程，凸显复变函数论所（下转第136页）

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