不规则物体的质心计算与展示

xc
xdm x dxdy xdxdy dm dxdy dxdy
从图中看出三角形斜边的方程为
a 2 x(a x)dx 2 ydxdy 0 b a xc 0 0 同理 yc ab ab 3 1 2 a 3 2 2 2 2( ab b ) (ab ab ) b b a 2 3 b 3 ∴ 质心的坐标为 , ab ab 3 3 3
xc
3m
x1 x2 3
o
x2
x
my1 0 0 y1 yc 3m 3
对质量连续分布的物体， 将其分为n个小质元 rc
直角坐标系中的分量表达式
r m
i 1 i
n
i
m
1 rdm m
1 1 1 xc xdm, yc ydm, zc zdm m m m m m m 线分布： dm dl 面分布：dm dS 体分布：dm dV S V l
y
设小球质量为m0，则质量和质心坐标分别为： 大球： m1 64m0 , x1 0, y1 0
中球： m2 小球：m3
V1 :V2 :V3 R : R2 : R 64 : 8 : 1
3 1 3 3 3
o
x
m0 , x3 R / 2, y3 R / 4
8m0 ,x2 R / 2, y2 0
例：求半径为R的半球形球壳的质心 解：根据对称性，细环的质心位于y轴。 如图将球壳细分成无数多细环，细环 半径记为r，设球壳质量面密度为， 则其中任一细环的质量为
r R sin
r
y R cos
o
2
R
d m ( 2 r d l ) ( 2 r R d ) 2 R sin d
运动员跳水
投掷手榴弹
水平上抛三角板
质点系的整体运动可以等效为一个假想质点C 的运动。
dri vi dt
rc
mi ri m
rc
m i ri
i 1 n
n
Baidu Nhomakorabea
点C的位矢是质点系各质 点位矢的质量加权平均。 质心(质量中心)：质点系 质量分布的平均位置。 对两质点系统，质心位 置总满足关系式：m1d1 = m2d2 C m1 m2 × d2 d1 o
•坐标系的选择不同，质心的坐标也不同； •密度均匀，形状对称的物体，其质心在物体的几何中心处； •质心不一定在物体上，例如：圆环的质心在圆环的轴心上。
例：已知半圆环质量为Ｍ，半径为Ｒ 求：它的质心位置？ 解：建立坐标系如图, 由对称性 x 0
c
M 线密度 l R
M dm Rd R
b
a ya x b
1 ab 2
( xdy)dx a x(a x)dx b
a a x b b
例：半径为R的大球内有一个半径为R/2的球形空腔，空腔的下部 放置了一个半径为R/4的小球。已知大球和小球的质量密度相同。 求：系统的质心。 解：该系统可看成由质量分布均匀(无空腔)的 大、中、小三个球体组成，它们各自的质心分 别处于球心处。中球的质量为负。
y R sin
取dl → dm=ldl dl=Rd
M Rd R sin d ydm R sin R yc 0 M M R R 2 R 质心不在物体上，但 ( cos ) (1 1) 0 相对半圆环位置固定
§三 质心 质心运动定理 §1 质心 §2 质心参考系 §3 质心运动定理
高速闪光灯拍摄的扳手在光滑桌面上作运动的情况
§1
质心
若令系统总动量 p mi vi mvc 其中 m mi m1 m2 为质点系的总质量
drc 如何确定这个 vc 点的位置？ dt dri m m v i i i mi dri dt vc m m mdt
三个球体可视为质量 各自集中在质心（球 心）处的三个质点。
实例
★重心(Center of Gravity)和质心( Center-of-Mass)是两个不同的 概念： ① 重心是重力的作用点，质心是系统质量分布的中心。 ② 当物体远离地球而不受重力作用时，重心这个概念就失去意义， 但质心却依然存在。 ③ 除非重力场均匀，否则系统的质心与重心通常不重合。
系统的总质量为
m1 x1 m2 x2 m3 x3 0 4m0 R m0 R / 2 7 xc R m 57m0 114
m1 y1 m2 y2 m3 y3 0 0 m0 R / 4 1 yc R m 57m0 228
m m1 m2 m3 57m0
m
i 1
n i i
i
直角坐标系中，各分量的表达式
xc
m x
i 1 n
n
i i
m
i 1
, yc
m y
i 1 n i
n
i
i
m
i 1
, zc
m z
i 1 n
i
m
i 1
i
·
·
例：任意三角形的每个顶点有一质量m，求质心。 y mx1 mx2 0 （x1, y1）
半球壳的总质量为
m d m 2 R
半球壳质心的位置
2


2 0
sin d 2 R

2 0 3
2
xc 0,
yc
ydm m
2 R sin cos d 2 R
2
1 R 2
例：计算如图所示的面密度σ为恒量的直角三角形的质心的位置。 解：取如图所示的坐标系 取微元ds=dxdy，质量为dm=σds=σdxdy ∴ 质心的x 坐标为
•作用在物体上各部分的重力方向平行；重力加速度可以视为常数。
•小线度物体（其上 g 各处相等），质心和重心是重合的。
对于地球上体积不太大的物体，重心与质心的位置是重合的。 但当物体的高度和地球半径相比较不能忽略时，两者就不重合了， 如高山的重心比质心要低一些。 ★质心的运动代表着质点系整体的运动，与单个质点的运动相同。 这正是将实际物体抽象为质点模型的实质。 质点系的任何运动一般都可分解为 质心的运动和相对于质心的运动