高等数学：第三节 分部积分法

x)dx
x [sin(ln 2
x)
cos(ln
x)]
C.
练习： cos(ln x)dx
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例7 求积分 In
解
x In ( x2 a2 )n
(x2 2n
1
a
2
)n
dx, x2
n
( x2 a2 )n1 dx
.
(
n
1)
x
(x2 a2) a2
( x2 a2 )n 2n ( x2 a2 )n1 dx
其中k, a为常数, Pn ( x)为n次多项式
6
例3 求积分 x3 ln xdx.
解
x3 ln xdx
x4 ln xd( )
4 1 x4 ln x
x4 d(ln x)
4
4
1 x4 ln x
x3 dx
4
4
1 x4 ln x 1 x4 C .
4
16
练习 求积分 ln xdx， ln2 xdx.
x2 1 arctan x 1 x C.
2
2
注：原式
x2 1
arctan xd( 2 )
x2 1
1
2 arctan x 2 dx
x2 1
1
arctan x x C.
2
2
8
练习：求积分 arccos xdx.
解 原式 x arccos x xd(arccosx)
x arccos x
ex x dx
(1+x
e
ln x)dx. x ln xdx
ex (sin x cos x) C.
2
(3)
注: (1)式右端 ex sin x cos xd(ex ),
ex sin x (ex cos x ex sin xdx),
移项整理也可得(3)式.
11
例6 求积分 sec3 xdx.
解 原式 sec xd(tan x) sec x tan x sec x tan2 xdx sec x tan x sec x(sec2 x 1)dx
7
例4 求积分 x arctan xdx.
解
原式
x 1
2
x2
arctan xd( dx (1
x2 ) 2
1 1 x2
x2 arctan
2 )dx x
x1 2
arctan
x2 1 x2dx, x C,
原积分 x2 arctan x 1 x 1 arctan x C
2
22
(x2
x a2 )n
2nIn
2na2 In1 ,
1 x
In1
2na2
(
x
2
a2 )n
(2n
1)In
,
由上面的递推关系及I1
1 a
arctan
x a
C即可得In .
14
练习：求积分 x arctan x dx.
1 x2
解 1 x2 x , 1 x2
x
arctan 1 x2
x
dx
2
例1 求积分 x cos xdx . uvdx uv uvdx,
解（一） 令 u cos x, v x v 1 x2 ,
x cos xdx x2 cos x
2 x2 ( sin x) dx
2
2
显然，u,v 选择不当，积分更难进行.
解（二） 令 u x, v cos x v sin x,
arctan
xd
1 x2
1 x2 arctan x 1 x2d(arctan x)
1 x2 arctan x
1 x2 arctan x
1 1
x2
1
1 x2
dx
dx
1 x2
1 x2 arctan x ln( x 1 x2 ) C .
15
练习： 求积分
解
原式
ex x
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例5 求积分 e x sin xdx.
解 ex sin xdx sin xd(ex ) ex sin x ex cos xdx, (1)
ex sin xdx exd( cos x) ex cos x ex cos xdx, (2)
(1)+(2), 整理可得
ex sin xdx
x dx
1 x2
x arccos x 1
(1
x2
1
)2
d(1
x2
)
2
xarccos x 1 x2 C.
9
总结 若被积函数是幂函数和对数函数或幂
函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函
数或反三角函数为 u.
u
u
Pn( x)arcsin xdx, Pn( x)arctan xdx,
u Pn( x)ln xdx
sec x tan x sec3 xdx sec xdx
sec x tan x sec3 xdx ln | tan x sec x |，
所以， sec3 xdx 1 sec x tan x 1 ln | tan x sec x | C.
2
2
12
练习： 求积分 sin(ln x)dx.
第三节 分部积分法
一、分部积分法 二、小结 思考题 练习题 三、作业
1
一、分部积分法
设函数u u( x)和v v( x)具有连续导数,
uv uv uv, uv uv uv,
uvdx uv uvdx, udv uv vdu.
关键：
分部积分公式
(1) v要容易求得；
(2) 恰当选取 u、dv使 vdu 比原积分 udv易积出.
解 sin(ln x)dx xsin(ln x) xd[sin(ln x)]
x sin(ln
x)
x
cos(ln
x)
1 x
dx
x sin(ln x) x cos(ln x) xd[cos(ln x)]
x[sin(ln x) cos(ln x)] sin(ln x)dx
sin(ln
x2e x 2( xe x e x ) C ( x2 2x 2)e x C.
5
总结 若被积函数是幂函数和正(余)弦函数 或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函
数为u, 使其降幂一次(假定幂指数是正整数)
u
u
u
Pn( x)sinaxdx, Pn( x)cosaxdx, Pn( x)ekxdx,
x cos xdx x sin x 1 sin xdx x sin x cos x C.
简
写
x
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cos
xdx
xd(sin x)
x sin x
sin xdx
udv uv vdu x sin x cos x C.
3
例2 求积分 x2exdx.
解 x2e xdx x2d(e x ) x2ex e xd(x2 ) x2ex 2 xexdx x2ex 2 xd(ex )