山东大学《高等数学》期末复习参考题 (1)

山东大学《数学分析III 》期末复习参考题

一、选择题（共 5 小题，20 分）

1、若曲线x t y t z t ===cos ,sin ,22在对应于t =π

2

点处的一个切向量与oz 轴正方向成钝角，则此向量与yz 平面夹角的正弦值为（）

（A ）

112

+π

（B ）-

+112

π

（C ）

ππ

12

+

（D ）-

+ππ

12

2、设L 是圆周x 2+y 2=a 2 (a >0)负向，则

( )

3、设u y x =arctan ，则∂∂∂∂2222

u x u

y +＝（

）

(A)

4222

xy

x y ()+

(B)

-+4222

xy

x y ()(C) 0

(D)

2222

xy

x y ()+

4、曲面x y z xyz x z 2

2

2

2426-+--+=在点(,,)012处的切平面方程为（） （A ）31223110()()x y z -+--+=（B ）3234x y z +-= （C ）

x y z 312230+-+--=（D ）x y z 31223

=-=-- 5、设u f r =(),而r x y z =

++222，f r ()具有二阶连续导数，则

∂∂∂∂∂∂222222

u x u y u

z ++

=（） (A)f r r f r "

'()()+

1 (B)f r r f r "'()()+

2 (C) 112r f r r f r "'()()+ (D) 122r

f r r f r "'

()()+

二、填空题（共 10 小题，40 分）

1、函数f x y e x y x (,)sin()=+-2在点（0，π

4

）处沿y 轴负向的方向导数是。 2、曲面xe y e

z e e

y

z

x ++=

+2

2332

1在点(,,)210-处的法线方程为。 3、设u x y =2，则∂∂∂2u

x y

=。

4、设f (x ,y )在具有连续的二阶偏导数，L 是椭圆周

的顺时针方向，

则

的值等于 ________________.

5、设u x y z

=⎛⎝ ⎫

⎭

⎪

1/，则

∂∂u z

(,,)

111= 。

6、曲面arctan

y xz 14

+=π

在点(,,)-210处的切平面方程是。

7、设L 为xoy 面上有质量的曲线，在曲线L 上的点(x ,y )处的质量线密度为ρ(x ,y )。则这条曲线L 的质量的计算表达式为_______________.

8、设是M (1，3)沿圆(x －2)2+(y －2)2=2到点N (3，1)的半圆，则积分

.

9、设是由A (－2，3)沿y =x 2－1到点M (1，0)，再沿y =2(x －1)到B (2，2)的路径，

则

________.

10、设

，根据二重积分的几何意义，

三、计算题（共 3 小题，30 分）

1、设y y x =()由方程arctan()xy y -=20所确定，求d d y

x

。 2、计算曲线积分其中r 是从点O (0，0，0)

到A (1，2，3)的直线段。

3、求函数u x y z =

++22223在点（1,1,4）处沿曲线⎪⎩

⎪

⎨⎧+===1332t z t y t x 在该点切线方向的

方向导数。

四、证明题（10 分）

设z x

y

=arctan

，其中x u v y u v =+=-,，求证 ∂∂∂∂z u z v u v u v +=-+22. 《数学分析III 》期末试卷01答案与评分标准

一、选择题（共 5 小题，20 分）

AACAB

二、填空题（共 10 小题，40 分）

1、0

2、e

z

e y x 22212=-+=-

3、-

23y

4、6π

5、0

6、y z +=21

7、

8、0 9、10 10、

π

三、计算题（共 6 小题，30 分）

1、解：

y xy xy y +'

+-'=1202

()

（8分）

d d y x y

x y x =

+-2222 （10分）

2、解：1032:≤≤⎪⎩

⎪

⎨⎧===t t z t

y t x r （3分）

原式＝()()()dt t t dt t t dt t t -+-+-⎰233210

（7分）

＝

2

3

31

=

⎰

tdt （10分） 3、{}

{}t t

t =±=±=1291292

1

,,,,

cos cos cos αβγ=±

=±

=±

186

286

986

（4分）

()()

511

324,1,12224,1,1=

++=

z y x x

x u ∂∂ ()()

51

23224,1,12

224,1,1=

++=

z y x y

y u ∂∂