稳恒磁场

稳 恒 磁 场 习 题 课
(数学表达式中字母为黑体者表示矢量)
壹 内容提要
一、磁感强度B 的定义 1. 用运动的试验电荷q 0在磁场中受力定义： 大小B=F max /(q 0v )，方向与q 0受力为零时的速度方向平行，且矢量F 、v 、B 满足右手螺旋法则。

2. 用磁矩为m (题库为P m ) 的试验线圈在磁场中受力矩定义：大小B=M max /m ，方向与试验线圈处于稳定平衡时m 的方向相同。

二、毕奥—沙伐尔定律 1.电流元I d l 激发磁场的磁感强度 d B =[μ0 /( 4π)]I d l ×r /r 3； 2. 运动点电荷q 激发磁场的磁感强度 B =[μ0 /( 4π)]q v ×r /r 3。

三、磁场的高斯定理 1. 磁感线(略)；2. 磁通量 Φm =⎰⋅S
d S B (计算磁通量时注意曲面S 的法线正方向)；3. 高斯定理0d =⋅⎰S
S B ；4. 稳恒磁场是无源场。

四、安培环路定理 1. 表达式 ：真空中⎰∑=⋅l i I 0 d μl B ,介质中⎰∑=⋅l
i I 0d l H ； 2. 稳恒磁场是非保守场，是涡旋场或有旋场。

五、磁矩 m (题库为P m )： 1. 定义 m =I ⎰S d S (任何载流线圈均可定义磁矩 m )；2. 磁偶极子激发的磁场：延长线上 B=[μ0/(4π)](2 m /r 3)；中垂线上B=[μ0/(4π)](－m /r 3)；3. 载流线圈在均匀磁场中受力矩 M= m ×B 。

六、洛伦兹力 1. 表达式 F m = q v ×B , F = q (E ＋v ×B )；2. 带电粒子在均匀磁场中运动(设v 与B 的夹角为α)：回旋半径 R =mv sin α / (qB ), 回旋周期 T =2πm / (qB ), 回旋频率 ν= qB / (2πm ),螺距 d =2π mv cos α / (qB )；3.霍耳效应：(1).定义(略), (2).在磁场方向与电流方向不变的情况下正载流子与负载流子受磁场力方向相同, (3).霍耳电压U H =R H IB/d , (4)霍耳系数R H =1/(nq )。

七、安培力 1. 表达式 d F m = I d l ×B ；2. 安培力的功 W = I (Φm 2－Φm 1)。

八、介质的磁化 1.顺磁质(分子磁矩不为零)的磁化主要是分子磁矩转向磁化, 抗磁质(分子磁矩为零)的磁化主要是分子内的电子受洛伦兹力造成的； 2.磁化强度M (题库为J ) M=∑m /ΔV ，在各向同性介质中M=κH (磁化率κ在题库中为χm ) ；3. 磁场强度矢量 H=B/μ0－M ，在各向同性介质中B=μ0μr H=μH ，μr =1+κ；4. 铁磁质：磁畴理论(略)，磁滞回线(略)。

九、几种特殊电流的磁场：1.长直电流激发磁场的磁感强度 有限长B=μ0I (cos θ1－cos θ2)/(4πr ), 无限长B=μ0I/(2πr ), 方向沿切向且与电流成右手螺旋； 2.园电流在轴线上激发磁场的磁感强度B=μ0IR 2/[2(x 2+R 2)3/2]， 园电流中心的磁感强度B=μ0I/(2R )， 张角α的园弧电流中心的磁感强度B=[μ0I/(2R )]·[α/(2π)],方向沿轴向且与电流成右手螺旋；3. 无限长密饶载流螺线管激发磁场的磁感强度 管内B=μ0nI , 管外B=0；4. 密饶载流螺饶环环内磁场B=μ0NI //(2π r )；5 .无限大均匀平面电流激发磁场的磁感强度B=μ0 j/2；6.无限长均匀圆柱面电流激发磁场的磁感强度：柱面内B=0,柱面外B=μ0I /(2πr )；7. 无限长均匀圆柱体电流激发磁场的磁感强度：柱内B=μ0Ir/(2πR 2)，柱外B=μ0I /(2πr ).
贰 练习八至练习十四答案及简短解答
练习八 一.A B D C A(题1中j=2×1016安·米2应改成j=2×106安·米2 ；题2中导线的电导率
为6×10－7Ω－1·m －1应改成导线的电导率为6×107Ω－1·m －1.) 二.1). 1.59∶1；2). 25Ω；3). ε1+[(ε2－ε1)r 1/(R 1+R 2+r 1+r 1)]。

三. 1).由高斯定理求得表面电荷在导线外侧激发的电场强度垂直表面，为E ⊥=σ0 /ε0；由欧姆定律求得导线内侧的电场强度为E //=j /γ，依电场强度的切向分量连续的边界条件它就是导线外侧电场强度切向分量，所以导线外侧电场强度大小为E =( E ⊥2＋E //2)1/2=[(σ0 /ε0)2+(j /γ)2]1/2，方向与导线表
面的夹角为θ=arctan[σ0γ /(ε0j )]。

2).在图中取A ε1BRA 回路与A ε2BRA 回路,有 I 1－I 2－I 3 = 0, －ε1+ I 1r 1+ I 3R = 0, ε2－I 2r 2+ I 3R = 0；解得I 3=(ε2 r 1－ε1 r 2)/ (R r 1+ r 1 r 2+R r 2)；R 两端的电势差为 U= I 3R =(ε2 r 1－ε1 r 2)R / (R r 1+ r 1 r 2+R r 2)=2.74V 。

练习九 一.C C C D D 二. 1). 9μ0I/(4πa )； 2). 6.67⨯10-6T, 7.20⨯10-21Am 2
3). 31/2μ0I/(4πl )。

三. 1). (1)取微元细杆d r , 有d q=λd r , d I=d q/T=λd r ω /(2π), d B O =μ0d I/(2r )=[μ0λω /(4π)](d r/r )，B O = ⎰ d B O =[μ0λω /(4π)]()⎰+b
a a r/r d =[μ0λω /(4π)]ln[(a+
b )/a ];(2)d P m =πr 2 d I=λω r 2 d r /2, P m =⎰ d P m =(λω /2)
⎰+b
a a r r d 2= λω[(a+
b )3－a 3] /6； (3)若a >>b ， ln[(a+b )/a ]=ln(1+b /a )=()()[]
∑∞
=+-111n n n n a b ≈ b /a ， (a+b )3－a 3= 3a 2b (1+ b /a )+b 3≈3a 2b ；B O ≈ [μ0λω /(4π)](b /a )= [μ0ω q /(4πa )]= μ0[q/(2π/ω)]/(2a ), P m ≈ λωa 2b /2=q ωa 2/2=[q/(2π/ω)](πa 2)；成为点电荷的情况。

2).沿半径取微元r →r +d r ，d r 范围内有顺时针电流与逆时针电流都为d I =[(IN /R ) d r ]/2,各在O 激发的磁场为d B =μ0d I /(4r )=[ μ0NI /(8R )]( d r /r ) (1) 最后一根导线逆时针的情况, B =⎰顺d B －⎰逆d B =[ μ0NI /(8R )] [()⎰-N
R R R /2d r r －()⎰+R N R R 2/d r r ]= [ μ0NI /(8R )] {ln[(2R －R/N )/R ]－ln[2R /(R+ R/N )]}
= [ μ0NI /(8R )] {ln[1－1/(2N )]+ln(1+ 1/N )} ≈ [ μ0NI /(8R )] [－1/(2N )+ 1/N ] = [ μ0I /(16R )], 方向垂直向内； (2) 最后一根导线逆时针的情况, B =⎰顺d B +⎰逆d B =[ μ0NI /(8R )] [()⎰R R 2d r r +()⎰-+N R R N R R /2/d r r ]
= [ μ0NI / (8R ) ] {ln2－ln[(2R －R/N ) / (R+ R/N )]} = [ μ0NI /( 8R ) ] {ln ( 1+1 / N )－ln [ 1－1 / ( 2N )]} ≈ [ μ0NI /(8R )] [1/N+ 1/(2N )]= 3μ0I /(16R ), 方向垂直向内。

练习十 一.D D B B A 二.1). [ μ0Ia / (2π) ] ln2；2).0, μ0I / (2πr ) ；3).1∶1。

三. 1). (1) aboc 面的法线沿x 轴负向,Φ aboc =⎰aboc B ∙d S =BS aboc cos π=－0.24Wb; (2) bedo 面的法线沿z 轴负向,Φ bedo =⎰bedo B ∙d S =BS bedo cos(π/2)=0; (3) acde 面的法线与x 轴的夹角θ为面aboc 与面acde 的夹角,且S acde cos θ=S aboc ，故Φacde =⎰acde B ∙d S =BS acde cos θ=BS aboc =0.24Wb 。

2).取窄条微元 d S =l d r , 有 d Φ=B ∙d S =[μ0 μr I r /(2 π R 2)] l d r , Φ=⎰ d Φ=⎰R 02
0)(2d R r/Ilr r πμμ= μ0 μr I l /( 4 π )=10－6
Wb 。

练习十一 一.B B B B B 二.1). －S 1I/( S 1+S 2 )；2). 0，－eE/m , [E 2+(vB )2]1/2e/m , 0； 3).z 轴正向。

三. 1). 洛伦兹力q v ×B 垂直于v ,不作功,不改变v 的大小；重力作功。

依能量守恒有 mv 2/2=mgx ，
得v =(2gx )1/2。

2).圆柱形孔部分可认为电流密度均为j =I / [π(R 2－a 2 )]正向电流与负向
电流组成，故此电流系可认为由正向电流I 1= j ( π R 2 )与负向电流I 2 = j (πa 2)组成,它们在p 点产生的磁场分别为B 1=μ0r 1j/2, B 2=μ0r 2j/2,方向如
图; 有 B x = B 2sin θ2－B 1sin θ1=(μ0j/2)( r 2sin θ2－r 1sin θ1)=0; B y = B 2 cos θ 2
＋B 1 cos θ1 = (μ0 j / 2)(r 2 cos θ 2＋r 1 cos θ 1)= (μ0 j / 2) b ; 所以 B = B y =
μ0 b I/[2π(R 2－a 2)]。

练习十二 一.C D A A C 二.1).10－2,π/2； 2). 21/2aIB ； 3). 0.157Nm,
7.85×10－2J 。

三. 1). 取电流元I d l 受力 d F=(I d l )B sin(π/2)= IB d l , 平行于轴线的分量
d F //= IB d l sin(π/3)方向向上, 垂直于轴线的分量d F ⊥= IB d l cos(π/3) 指
向圆心，因对称相互抵消,故 F=⎰ d F //=⎰l l IB /3)d sin(π= IB 2πR sin(π/3)=0.34N,方向向上。

2). 取园环微元电荷d q =σ2πr d r 有 d I =d q [ω /(2π)]=σωr d r , d m =( d I )πr 2=k πω r 4
d r , d M =B d m sin(π/2)
=k πωB r 4d r , M =⎰ d M = k πωB ⎰R 04
d r r = k πωBR 5/5, M 的方向垂直于B 向上。

练习十三 一.B D C D D 二.1).铁磁质，顺磁质，抗磁质；2).图略；3).7.96×105A/m, 2.42×102 A/m 。

三. 1).可认为铁环中磁感强度B 大小相等，方向垂直于截面，有 B=Φ /S (=2.0×10－2T), H=nI=
NI/l (=32A/m), μ=B/H=Φ l /(SNI ) (=6.25×10－4Tm/A), χm =μ /μ0－1=Φ l / (μ0SNI )－1≈496。

∙
2). ( 1)因磁场柱对称取同轴的圆形安培环路，有⎰⋅
l l
H d=2πrH。

在导线中(r<R1)，ΣI0=Iπr2/(πR12), H1= Ir/(2πR12), B1=μ0 Ir/(2πR12); 在介质中(R1<r<R2)，ΣI0=I，H2= I/(2πr ), B2=μ0μr I/(2πr); 在介质外(R2<r), ΣI0=I,H2= I/(2πr ), B2=μ0 I/(2πr); (2)介质内的磁化强度M=B/μ0－H =μr I/(2πr)－I/(2πr) = (μr－1) I/(2πr)，介质内外表面的磁化电流面密度分别为i SR1= M R1= (μr－1) I/(2πR1) (与I同向), i SR2= M R2= (μr－1) I/(2πR2) (与I反向)。

练习十四一.C B B B C 二.1).0；2). 12.4T；3).μ0 ih/(2πR)。

三. 1). 设无限大均匀载流平面电流面密度为i,产生的磁场为B,依安培环路定律可得B=μ0i/2。

设B0为均匀外磁场,于是左边磁场为B1=B0－B,右边磁场为B2=B0+B,得B0=(B1＋B2) / 2,B=(B2－B1)/2 =μ0i/2 , i=(B2－B1) /μ0。

在面电流上沿电流方向取微元长度d l, 沿垂直于电流方向取微元宽度d a,此微元电流d I d l=i d a d l=(B2－B1)d a d l /μ0受安培力为d F=d I d lB0sin(π/2)= (B22－B12)d a d l /(2μ0), 面电流单位面积受安培力为F= d F /d S=(B22－B12)/(2μ0), 方向向左。

2).设电子飞行时间为,作螺旋运动周期为,有L=v0 t cosα, T=2πm e/(eB)。

电子打在O点，有t=nT，L=v0 nT cosα=2πm e n v0 cosα/(eB)。