第二章 弹性力学的基本方程 PPT

第二章 弹性力学的基本方程
§2-6 弹性力学问题的一般提法 §2-7 指标表示法 §2-8 迭加原理 §2-9 弹性力学问题解的唯一性原理 §2-10 圣维南原理
§2-1 载荷 应力
1.外力的表示 外力：直接施加在物体上引起物体的变 形与内力 ． 根据外力作用区域分为体积力和表面力
体积力：
分布在物体的体积内，作用在物体内的 所有质点上，例如重力、惯性力、电磁 力等。
0
xzyzz
x y z
Fz
0
又称纳维叶(Navier)方程。
3.力矩平衡方程（剪应力互等定理）。
(xd y y d z)d x (yd x zd x)d y 0
xy yx yz zy
zx xz
3.运动微分方程。
如果物体处于运动状态，根据达朗伯（dAlembert） 原理，在体力项中引入惯性力：
2u, 2v 和 2 w
t2
t2
t 2
这里为材料密度，t为时间。
运动微分方程：
x
x
yx
y
zx
z
Fx
2u
t 2
xy
x
y
y
zy
z
Fy
2v
t 2
xz
x
yz
y
z
z
Fz
2w
t 2
§2-3 斜面应力公式 应力边界条件
过物体内的一点P取出一个微四面体，设斜面
abc的面积为dA，则三个负面的面积分别为
体力矢量表示为：
F limF dF
V0V dV
表面力： 作用在物体表面上的外力，简称面力。 例如，液体或气体的压力，固体间的接 触力等，通常用面力矢量
T limT dT
S0 S dS
2.应力
在载荷的作用下，物体的各部分之间要 产生相互作用，这种物体内的一部分对 另一部分的相互作用力，称为内力。
x
x
u
u
dy
xytgxybpbb
y y dyvdy 1v
u y
y
y
在小变形条件下
uxx1, yvy1,
xy
u y
v x
同例分析平面yoz和平面zox可得：
x
u x
,
yz
w y
v
z
y
v y
,
zx
u z
w
x
z
w z
,
xy
v x
u y
方程组称为几何方程，又称为柯西（Cauchy)方程
研究物体位形变化，可以将位移分解成两类：
(1) 物体刚体位移
(2)物体内质点间相对位移
2.应变
线元的相对伸长，称为正应变，沿x、y、z
方向线元的正应, 变分别用 x , y 和 z 表示，即
x
dx dx dx
y
dy dy dy
z
dz dz dz
正交线元直角的变化称为剪应变，沿x、y、z
方向三个正交线元 (dx, dy, dz)直角的变化分
§2-5 广义Hooke定律
1.简单应力状态
简单拉压： E
纯剪切：
E 2(1 )
2.复杂应力状态
x x1 x2 x3
1 E
[
x
(
y
z )]
y
1 E
[
y
(
z
x )]
z
1 E
[
z
弹性体内一点内力集 度表示为：
T
limQ
dQ
S0 S dS
注意：同一点不同截 面上的内力不同．
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
2.应力分量
应力正负号的规定：正面上的应力分量
与坐标轴的正方向一致为正，负面上的
应力分量与坐标的负方向一致为正；反
之为负。
xx xy xz
(ij
)
yx zx
yy zy
物体变形的位移及在坐标面上投影
以oxy平面上的投影为例分析物体变形的 应变－位移关系
以oxy平面上的投影为例分析物体变形的 应变－位移关系
P点的邻近点A和B的坐标分别为(x+dx,y,z)
和(x,y+dy,z),将Ａ，Ｂ点的位移按Taylor级 数在Ｐ点处展开：
Ａ点： uudx, vvdx
x
yz zz
应力分量：
§2-2 平衡（运动）微分方程
1.微元体：
首先，在物体内一点P的附近，用三组坐标
面的平行平面截出一个微小的平行六面体单
元，三条棱边的长度分别为dx、dy、dz，如
图2-6示。作用在微元体上的体力的三个分量 仍用 F和x , Fy 表示F z。
2.力平衡微分方程
由 X 0得：
Pbc: dAx ldA
Pca: dAy mdA
Pab:
dAz
ndA
1.四面体的平衡方程 由x方向的平衡条件得：
T x d A x d A x y d A x y zd A x z F x d V 0
将各面面积代入Fra Baidu bibliotek：
T xxlym xzn xF x1 3dh0
同理可得：
别用 xy , yz 和 zx 表示，
xy
2
，
yz
2
， zx
2
符号规定：正应变以伸长为正，缩短为负；剪应 变以直角的减小为正，反之为负。这种规定与应 力的正负规定是一致的。
３.几何方程
几何方程是物体变形过程的位移－应变关系．
设弹性体内任一点Ｐ的位移分别为u(x,y,z), v(x,y,z),w(x,y,z),为简化起见，通过投影 的变形分析来建立应变－位移关系．
Txxlym x zx n
Tyxlyymzy n Tzxlzym z zn
上式称为斜面应力公式，又称Cauchy公式。
2.斜面上的正应力与剪应力
TνTxlTymTzn
x l2 y m 2 z n 2 2 xlym 2 ym z 2 n zn x l
2 |T |2 2
3.边界条件
Tx
(x x xd x ) d y d zx d y d z (y x y yd x y ) d x d zyd x x d z
(z x z zd x z )d x d y zd x x d y F x d x d y d z 0
x
x
yyxzzxFx
0
xyy
x y
zzyFy
x
Ｂ点： uudy, vvdy
y
y
在小变形条件下：
x
papapapa
pa
pa
[d (xuu xdx)u]dxu
dx
x
y
pbpbpbpb
pb
pb
[(dyvvdy)v]dy
y
v
dy
y
x y2 B P A 2 b p a x y yx
yxtgyxapaadx xvduxdx1 xvu xv
xl
yxm
zx
n
Ty xyl y m zy n
Tz
xzl
yzm
z
n
上式称为应力的边界条件，l,m,n为斜面 外法线方向余弦．
§2-4 位移 几何方程
1.位移 物体内各点位置的改变量称为位移。
用u、v、w表示位移矢量u，沿x、y、z三
个坐标方向的分量，并规定沿坐标轴正方向的 位移分量为正，反之为负。