lesson 11 利用循环卷积计算线性卷积

，
xN 的主值 n
x 与原序列n
xN 一样，因此 n
，则n x
完全能代
表原序列n x
。如果 N M
周期延拓后一定
产生混叠，因而N n x
不能无失真地代表原信号 。在xn
为无限长的情况下，对Z变换取样必然导致混叠失真，因 此 xN n 不能代表原序列 xn 。用MATLAB演示： >>x=1:8; xf=freqz(x, 1, 6, 'whole'); ifft(xf) >>x=1:8; xf=freqz(x, 1, 8, 'whole'); ifft(xf)
函数 e j
2 j k j N 1 e N e 在 2 k 时的模值均为 1。

sin N / 2 e 2 N sin k / 2 N
N k j 2 2 N
xN n x p n RN n xn rM RN n r
频率取样
Frequency Sampling
在 xn 为有限长度 N 的情况下，如果取样点 M N 那么 xn 周期延拓的结果不会产生混叠。这时 x p n
利用循环卷积计算线性卷积
Linear Convolution Computation by Circular Convolution
Lesson 11
一个问题
许多实际问题中常需要计算线性卷积，如一个FIR数字 滤波器的输出就等于输入与滤波器的单位取样响应的 线性卷积。而循环卷积可以利用后面介绍的FFT进行快 速计算，因此就提出一个问题：如何利用循环卷积计 算线性卷积，或者是，在什么条件下循环卷积等于线 性卷积？
1 zN 其中 z N 1 WN k z 1
频率取样
Frequency Sampling
将 z e j 代入内插公式，便得到傅立叶变换的内插公式
X e j X k e j
k 0
j 其中 e
N 1
1e
jN
一个结论
设进行线性卷积的两个序列 x1 n 和 x2 n 的长度分 别为 M 和 N，则在它们的后面添加零使它们成为长度
L M N 1
的序列，再求它们的 L 点的循环卷积，结果序列长度 为 L 。则循环卷积结果就是线性卷积，即
x1 n
Ⓛ
x2 n x2 n x2 n
X z
n
x n z n

如果在单位圆上对 X z 进行等角距取样，取样点数为 M， 则得 k X k X z z W k xn WM n
M
n
频率取样
Frequency Sampling
根据DFT的定义，对 X k 求反变换得
利用FFT进行线性卷积计算
根据上面结论，利用FFT计算两序列的线性卷积过程如 下。设进行线性卷积的两序列为 x1 n 和 x2 n >>n=length(x1); m=length(x2); L=m+n-1
>>y=ifft(fft(x1,L).*fft(x2,L));
图形解释
为什么在序列扩展成长度 L M N 1 后它们的循环卷积就 是它们的线性卷积。
1 x p n M
代入 X k ，得
M 1 k 0
X k WM k n
1 x p n M

M 1 k 0
X k WM k n M 1 k 0
1 M
M 1

k 0 m
k x m WM m WM k n

m 1 x M m
下图画出了在 N 5, k 0,1,2,3 时 e j 的曲线。
N
频率取样
Frequency Sampling
k 0
k 1
e j
N 5
k 2
k 3
而
WM k n m
1 M
M 1 k 0
W
k n m M
1, m n rM ＝ 0, m n rM
频率取样
Frequency Sampling
所以
x p n
r
xn rM

该式表明，在Z平面的单位圆上对序列的Z变换进行等角距 取样，将导致时间序列的周期化。这一结果与对连续时间 信号取样导致频谱周期化类似。 x p n 是一个周期序列， 其主值为
X k WN k n k 0
N 1
进一步利用Z变换公式还可恢复Z变换，
频率取样
Frequency Sampling
即
X z x n z n
n 0
N 1
1 n 0 N
N 1
N 1
X k WN k n z n k 0 1 WN k N z N X k 1 W k z 1 k 0 N N 1
N 1
1 N 1 N
或
1 k n n X k WN z N k 0 n 0 1 z N X k 1 W k z 1 k 0 N
N 1
N 1
X z X k z
k 0
N 1
该式是用 X z 在单位圆上的N 个取样值表示 X z 的内插公式 这个是内插函数
频率取样
FrequeБайду номын сангаасcy Sampling
对于长度为 N 的有限长序列，对Z变换取样即频率取样不 失真的条件是取样点数 M 应等于或大于原序列的长度 N， 即
M 。在 N M 时，Z变换的取样即DFT，也 N
即
，利用IDFT公式可由 X k
X k恢复原序列
xn，即
1 x n N
L 12 N 5
M 8
反折 右移2
y 0 y 2 y L 1
右移L 1
频率取样
Frequency Sampling
频率取样是指对序列的傅立叶变换或系统的频率特性进行 取样。本节讨论在上面条件下能够用得到的频谱取样值无 失真地恢复原信号或系统。 设任意长序列 xn 绝对可和，其Z变换为