线性方程组的公共解

线性方程组的公共解

问题：如何求解线性方程组的公共解？

线性方程组是高代学习的一个重点内容，它的一般形式为

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++bs

asnxn x as x as b nxn a x a x a b nxn a x a x a ...2211...

,22...222121,11...212111 而线性方程组的求解也是这部分学习的重点和难点。其中求解线性方程组的公共解也是高等代数学习所必须掌握的一个知识点。

例1、证明：对于n 元齐次线性方程组（Ⅰ）AX=0与（Ⅱ）BX=0，有非零公共解的充要条件是r(B A

)

证：必要性：设（Ⅰ）与（Ⅱ）的非零公共解为X0，即AX0=0，BX0=0

从而（B A ）X0=0，即线性方程组（B A

）X=0有非零解

从而r （B

A ）

B A )

）X0=0

从而AX0=0，BX0=0

（Ⅰ）与（Ⅱ）的非零公共解为X0。

例2、设四元齐次线性方程组（Ⅰ）为

⎩⎨⎧=-=+0

42031x x x x 又已知某齐次线性方程组（Ⅱ）的通解为

k1(0,1,1,0)’+k2(-1,2,2,1)’

问（Ⅰ）与（Ⅱ）是否有非零公共解？若有，则求出所有公共解，若没有，则说明理由。（出自2005年中科院）

解：方法一：将（Ⅱ）的通解代入方程组（Ⅰ）得

⎩⎨⎧=+=+0

21021k k k k 解得k1=-k2,故方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）有非零公共解，所有非零公共解为k （1,1,1,1）’，k ≠0为任意常数

方法二：令方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）的通解相同，即

k1（0,1,1，0）’+k2(-1,2,2,1)’=k3(-1,0,1,0)’+k4(0,1,0,1)’

得到关于k1,k2,k3,k4的一个方程组

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-+=-+=-0

420

422103221032k k k k k k k k k k 可求其通解为（k1,k2,k3,k4)’=k(-1,1,1,1)’

将k1=-1,k2=k 代入（Ⅰ）的通解可得所有非零公共解为k （1,1,1,1）’，k ≠0为任意常数 方法三：方程组（Ⅱ）可以是

⎩

⎨⎧=+=+-041032x x x x 解（Ⅰ）与（Ⅱ）的联立方程组可得所有非零公共解为k （1,1,1,1）’，k ≠0为任意常数

韩梦雪

20132113429