Wirtinger不等式的一个几何应用_赵亮

3 Wirtinger 不等式的应用
引理 设 f (t) 为一个周期为 2π 的光滑函数， 并且
2π 2π 2π 0
f (t)dt = 0, 则有 (3.1)
f 2 dt ≥
0 0
f 2 dt,
等号成立当且仅当存在常数 a, b 使得 f (t) = a cos t + b sin t. 不等式 (3.1) 称为 Wirtinger 不 等式 (参见文献 [5]).
1 引言
最著名的几何不等式是经典的等周不等式: 平面上固定周长的简单闭曲线中, 圆所围成 的面积最大. 即平面上面积固定的区域中, 圆盘的周长最小. 等周不等式 平面上域 D 的面积 A, 周长 L 满足 L2 − 4πA ≥ 0, 等号成立当且仅当 D 为 圆盘. 等周不等式及与之相关的 Bonnesen 型不等式和 Bottema 不等式已被许多著名数学家 多次给出不同的精彩证明 (参见文献 [2, 4–6, 8–14]). 用积分几何思想和方法给出等周不等 式及与之相关的一系列 Bonnesen 型不等式的系统证明是周家足 (参见文献 [4, 6, 11, 12]). Santalo 用关于 R2 中的凸集 Ki , Kj 的混合面积的 Minkowski 不等式证明了等周不等式 [3] . 本文用平面凸集的支持函数的性质和分析中著名的 Wirtinger 不等式给出了 Minkowski 混合面积不等式的一个简化证明, 进而得到了经典的等周不等式.
C
∗
dt = κn, ds
dn = −κt. ds
(2.1)
ds,
A=−
1 2
X · nds.
C
(2.2)
收稿日期: 2010-05-17 接收日期: 2010-09-29 基金项目：国家自然科学基金资助 (10971167). 作者简介: 赵亮 (1985–), 男, 山东临沂, 硕士, 研究方向: 积分几何. E–mail: feigewang1985@163.com.
Vol. 31 ( 2011 ) No. 5
数 学 杂 志
J. of Math. (PRC)
Wirtinger 不等式的一个几何应用
赵 亮 1 , 马 磊 2 , 周家足 1
(1. (2.
西南大学数学与统计学院, 重庆 400715)
广东石油化工学院高州师范学院, 广东 广州 525200)
摘 要: 本文研究了著名的 Minkowski 混合面积不等式. 利用平面凸集的支持函数的性质和分 析中著名的 Wirtinger 不等式, 得到了 Minkowski 混合面积不等式的一个简化证明. 关 键 词: Minkowski 混合面积; 凸集; 等周不等式; 支持函数; Wirtinger 不等式 MR(2010) 主题分类号: 52A10; 52A38; 52A22 中 图 分 类 号: O186.5 文 献 标 识 码: A 文 章 编 号: 0255-7797(2011)05-0887-04
Li Lj Ai · Aj = Li Lj
Ai Aj ,
(3.4)
即 A2 ij ≥ Ai Aj . 当 Ki 与 Kj 位似时等号显然成立, 而要使 (3.2) 式中的等号成立, (3.3) 式和 (3.4) 式中的等号必须同时成立, 则由引理存在常数 a, b, 使 p (φ) pj (φ) i − = a cos φ + b sin φ, Li Lj (3.5) Lj Li Ai = Aj . Li Lj 即
(p + p )dθ =
0 2π 0
pdθ,
2π
(2.5) (p2 − p 2 )dθ.
0
1 A = − 2
1 X · nds = 2 C
1 p(p + p )dθ = 2
(2.6)
如果 C, D 为 R2 中的紧致凸集, λ ∈ R, 则 Minkowski 加法及数乘分别为 C + D = {x + y : x ∈ C, y ∈ D}, λC = {λx : x ∈ C }.
No. 5
赵亮等: Wirtinger 不等式的一个几何应用
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下 面 将 用 Wirtinger 不 等 式 证 明 关 于 平 面 R2 中 的 凸 集 Ki , Kj 混 合 面 积 的 如 下 Minkowski 不等式. 定理 设 Ki , Kj 为 R2 中的凸集, 周长分别记为 Li , Lj , 面积分别记为 Ai , Aj , 支持函数 分别记为 pi (φ), pj (φ). 设 Ki 与 Kj 的混合面积为 Aij , 则有 ( Minkowski 不等式) A2 ij ≥ Ai Aj , 等号成立当且仅当 Ki 与 Kj 位似. (φ) (φ) 证 令 g (φ) = piL − pj , 则 g (φ) 是以 2π 为周期的周期函数, 且 Lj i Wirtinger 不等式 (3.1) 式, 有
2π
(p2 − p 2 )dθ
0 2π 2 (p2 j − pj )dθ + 0 0 2π
1 2π 2 1 (pi − pi2 )dθ + = 2 0 2 = Ai + Aj + 2Aij ,
2π
(pi pj − pi pj )dθ
其中 Aij = 1 (pi pj − pi pj )dθ, 定义为 Ki 与 Kj 的 Minkowski 混合面积. 混合面积 Aij 有 2 0 以下性质: 性质 1 Aii = Ai . r 性质 2 若 Kj 为半径为 r 的圆盘, 则 Aij = 2 Li .
2π 2π 2wk.baidu.com 0
(3.2) g (φ)dφ = 0. 由
g 2 (φ)dφ ≥
0 0
g 2 (φ)dφ.
即 Ai 2Aij Aj 1 − + 2 ≤ 0, Aij ≥ 2 Li Li Lj Lj 2 √ y 由于当 x, y > 0 时有不等式 x+ ≥ xy 成立. 因而 2 Aij ≥ 1 2 Lj Li Ai + Aj Li Lj ≥ Lj Li Ai + Aj Li Lj . (3.3)
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若 C 为凸闭曲线, 设 C 的支持函数为 p = p(θ), 则 p = −X · n, 由 t = (− sin θ, cos θ), 则曲线 C 的周长与面积还可以表示为
2π 2π
(2.3)
n = (− cos θ, − sin θ).
(2.4)
L =
C
ds =
0
设 Ki , Kj 为 R2 中的凸集, 周长分别记为 Li , Lj , 面积分别记为 Ai , Aj , 支持函数分别 记为 pi (θ), pj (θ). 定义 如果 pi (θ) 与 pj (θ) 满足关系 pi (θ) = λpj (θ), λ > 0, 称 Ki 与 Kj 位似. 对函数 p(θ) = pi (θ) + pj (θ), 由于 p + p = (pi + pi ) + (pj + pj ) > 0, 所以 p(θ) 必为某 凸集的支持函数. 我们称以 p(θ) = pi (θ) + pj (θ) 为支持函数的凸集为 Ki 与 Kj 的混合凸集, 记为 Kij . 按上述定义并由 (2.6) 式有 Ki 与 Kj 的混合凸集 Kij 的面积为 A = 1 2
A GEOMETRIC APPLICATION OF WIRTINGER INEQUALITY
ZHAO Liang1 , MA Lei2 , ZHOU Jia-zu1 (1. School of Math. and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China ) (2. Gaozhou Normal College, Guangdong University of Petrochemical Technology, Guangzhou 525200, China )
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参 考 文 献
[1] Chern S S. Curves and surfaces in euclidean space, global differential geometry[M]. Washington, D.C: MAA Studies in Mathematics, 1989, 99–139. [2] 任德麟. 积分几何学引论 [M]. 上海: 上海科学技术出版社, 1988. [3] Santalo L. Integral geometry and geometric probability[M]. New York: Addison Wesley Publishing Company, 1976. [4] 周家足. 平面 Bonnesen 型不等式 [J]. 数学学报, 2006, 50(6): 1397–1402. [5] Osserman R. The isoperimetric inequality[J]. Amer. Math. Soc., 1978, 84(6): 1183–1186. [6] 周家足. 积分几何与等周不等式 [J]. 贵州师范大学学报 (自然科学版), 2002, 20(2): 1–3. [7] Flanders H. A proof of Minkowski’s inequality for convex curves[J]. Amer. Math. Monthly, 1968, 581–593. [8] Burago Y, Zalgaller V. Geometric inequalities[M]. Berlin: Springer-Verlag, 1988. [9] Grinberg E, Li Shougui, Zhang Gaoyong, Zhou Jiazu. Integral geometry and convexity[C]. Singapore: World Scientific, 2006. [10] 项武义. 等周问题的一个初等证明 [J]. 数学年刊 A 辑 (中文版), 2002, 23(1): 8–11. [11] Li Ming, Zhou Jiazu. An isoperimetric deficit upper bound of the convex domain in a surface of constant curvature[J]. Sci. China Math., 2010, 53(8): 1941–1946. [12] Zhou Jiazu, Xia Yunwei, Zeng Chunna. Some new Bonnesen-style inequalities[J]. J. Korean Math. Soc., 2011, 48(2): 421–430. [13] 何刚. 等周不等式与 Bol-Fujiwara 定理 [J]. 数学杂志, 2006, 26(3): 309–311. [14] 周家足, 任德麟. 从积分几何的观点看几何不等式 [J]. 数学物理学报, 2010, 30A(5): 1322–1339.
Li pi = Li (a cos φ + b sin φ) + Lj pj ,
0 2π
pi (pi + pi )dφ =
2π
L2 i L2 j
2π
pj (pj + pj )dφ.
0
将上式整理可得
0
(a cos φ + b sin φ)(pj + pj )dφ = 0. 因为 Kj 为凸集, 所以 pj + pj > 0, 则 a cos φ + b sin φ = 0. 由 φ ∈ [0, 2π ], 即 φ 的任意性, 可 Li 得 a = b = 0, 所以由 (3.5) 式知 pi = L pj . 即 Ki 与 Kj 位似. j 特别的当 Ki , Kj 其中一个取圆时, 不妨取 Kj 为半径为 r 的圆, 有 r2 2 (L − 4πAi ) ≥ 0. 4 i 因此由 Minkowski 不等式 (3.2) 式, 得到等周不等式. 推论 设 K 为 R2 中的凸集, 其周长和面积分别为 L, A, 则有 L2 − 4πA ≥ 0, 等号成立 当且仅当 K 为圆. A2 ij − Ai Aj =
2 Minkowski 混合面积
设 C : X = X (s), 0 ≤ s ≤ L 为欧式平面 R2 上的光滑闭曲线, 其曲率为 κ. 记 t = t(s) 为曲线的单位切向量, n = n(s) 为 C 的单位法向量. 那么 C 的 Frenet 标形为 dX = t, ds 曲线 C 的长度和曲线围成的面积分别为 L=