交大版《离散的数学结构》标准答案

交大版《离散的数学结构》标准答案

离散数学辅助教材概念分析结构思想与推理证明离散数学习题解答习题六1．从日常生活中列举出三个例子，并这些例子自然地导出两个无向图及一个向图。[解] ①用V代表全国城市的集合，E代表各城市间的铁路线的集合，则所成之图G=是全国铁路交通图。是一个无向图。②V用代表中国象棋盘中的格子点集，E代表任两个相邻小方格的对角线的集合，则所成之图G=是中国象棋中“马”所能走的路线图。是一个无向图。③用V代表FORTRAN 程序的块集合，E代表任两个程序块之间的调用关系，则所成之图G+是FORTRAN程序的调用关系图。是一个有向图。2．画出下左图的补图。[解] 左图的补图如右图所示。3．证明下面两图同构。图

G v1 1 v1′ v6 v6′ v2′ v5 v5′[证] 存在双射函数?:V→V′及双射函数? : E→E′ ? (v1)=v1′ ? (v2)=v2′ ? (v3)=v3′ ? (v4)=v4′ ? (v5)=v5′ ? (v6)=v6′ ? (v1，v2)=(v1′，v2′) ? (v2，v3)=(v2′，v3′) ? (v3，v4)=(v3′，v4′) ? (v4，v5)=(v4′，v5) ? (v5，v6)=(v5′，v6′) ? (v6，v1)=(v6′，v1′) ? (v1，v4)=(v1′，v4′) ? (v2，v5)=(v2′，v5′) ? (v3，v6)=(v3′，v6′) 显然使下式成立：? (vi，vj)=(vi,vj′)? ? (vi)=v i′∧? (vj)=vj′(1≤i·j≤6) 于是图G与图G′同构。4．证明，中的两个图都是不同构的。v1 v5 v2G G′ G G′ v6 v8 v7 v4 v1? v5? v3 v2? v6? v8? v7? v3? v3 v4? v2 v1 v5v2? v4 v3? v1? v5 v4? 2 图G 中有一个长度为4的圈v1v2v6v5v1，其各顶点的度均为3点，而在图G′中却没有这样的圈，因为它中的四个度为3的顶点v1?，v5?，v7?，v3?不成长度的4的圈。图G中′有四个二度结点，

v6?，v8?，v4?，它们每个都和两个三度结点相邻，而G中一个区样的结点都没有。在中，图G?中有一2度结点v3?，它相邻的两个项点v2?，v4?的度均为4，而在图G中却没有这样的点。5．一个图若同构于它的外图，则称此图为自补图。在满足下列条件的无向简单图中：1) 给出一个五个结点的自补图；2)有三个或一结点的自补图吗？为什么？3）证明：若一个图为自补图，则它对应的完全图的边数不清必然为偶数。[解] 1) 五个结点的自补图如左图G所示同构函数? : V→V及? : E→E如下：? (a)=a?

(b)=c? (c)=e? (d)=b?

(e)=d ?(a，b)=(a，

c) ?(b，c)=(c，e) ?(c，d)=(e，d) ?(d，e)=(b，

d) (e，a)=(d，a) G G b c d a e b a e c d 2)没有三个结点的自补图。因为三个结点的完备图的边数为3(3?1)=3为2奇数，所以下面3)的结论，不可能有自补图。

有五个结点的自补图。1）中的例子即是一个五个结点的自补图。3）证：一个图是一个自补图，则它对应的完全图的边数必为偶数。 3 因为若一个图G是自补图，则G∪G=对应的完全图，而且E∩E=φ，G现G同构，因此它们的边数相等，即|E|=|E|，因此对应的完全图的边数|E*|=|E|+|E|=2|E|，是偶数。实际上，n个项点的自补图G，于其对应的完全图的边数|E*|=n(n?1)n(n?1)，因此有=2|E|，为偶数。这里n≥4。对于所有大于或等22于4的正整数，都可表达成n=4k，4k+1，4k+2，4k+3的形式，这里k=1，2，?。其中只有n=4k，4k+1，才能使或4k+1形式，6．证明在任何两个或两个以上人的组内，总存在两个人在组内有相同个数的朋友。[证] 令上述组内的人的集合为图G的项点集V，若两人互相是朋友，则其间联以一边。所得之图G是组内人员的朋友关系图。显然图G是简单图，图中项点的度恰表示该人在组内朋友的个数，利

用图G，上述问题就抽象成如下的图认论问题：在简单图G中，若|V|≥2，则在G中恒存在着两个项点，v1，v2∈V，使得它们的度相等，即deg(v1)=deg(v2)。其证明如下：若存在着一个项点v ∈V，使得deg(v)=0，则图G中各项点的度最大不超过n-2。因此n个项点的度在集合{0，1，2，?，n-2}里取值，而这个集合只有n-1个元素，因此，根据鸽笼原理，必有两个项点的度相同。若不存在一个度为零的项点，则图G中各项点的度最大不超过n-1。因此n个项点的度在集合{1，2，?，n-1}中取值，这个集合只有n-1个元素，因此，根据鸽笼原理，必有两具项点的度相同。7．设图G的图示如右所示：1) 找出从A到F的所有初级路；2）找出从A到F的所有简单路；3）求A到F的距离。[解] 1）从A到F的初级路有7条 D E F A B C n(n?1)为偶数，所以自补图的项点数只能是4k2P1 : (A，B，C，F)，P2 (A，B，C，

E，F)，P3 : (A，B，E，F) P4 : (A，B，E，C，F)，P5 : (A，D，C，E，F)，P6 : (A，D，E，C，F) P7 : (A，D，E，B，C，F)。2）从A到F的简单路有9条除了上述1）中7条外，不有P8 : (A，D，E，C，B，E，F) 4 P9 : (A，D，E，B，C，E，F)。3）从A到F 的距离为3。图可看出，显然从A 到F，一步不可能到达，二步也不可到达；但有长度为3的路，比如P1，P3，P5等能从A到F，故从A到F的距离为3。8．在下面的图中，哪此是边通图？哪些是简单图？

(b)(c) [解] 图与图不连通，它们能分成两个边通支。所以只有图是连能图。图是简单图，图为它显然无平等边，无自环。图、是多重图有平行边有自环。9．求出所有具有四个结点的简单无向连通图。[解] 在不同构的意义下，具有四个结点的简单无向连通图共有6个。如下面所示：G1 G2 G2 G3