误差的合成与分配

y2
2
n f f f f 2 2 xi 2 j 2 xn 2 2 x12 ... x1 xn xi x j 1 i j
2
2
yN 2
n f f f f 2 2 x1 N ... xnN 2 xiN jN 1 i j xi x j x1 xn
2 2 2 y x 1 x 2 , ..., xn
函数的极限误差: lim y 2 lim x1 2 lim x 2 , ..., 2 lim xn
一、函数误差 函数系统误差计算
例3-1 用弓高弦长法间接 测量最大直径 D，直接测得其 弓高 h 和 弦长 s ，然后通 过函数关系计算求得直径。 如果： h 50mm, lim h 0.05mm
s 500mm, lim s 0.1mm
h s
D
求测量结果。
s2 D= +h 4h
一、函数误差 误差间的相关
各误差间的相关性对计算结果有直接影响。函数随 机误差公式中的相关项反映了各随机误差相互间的线性关 联对函数总误差的影响大小。
2 2 2 2 2 y a12 x a2 x ... an x 2 ij ai a j xi xj
为了求得用各个测量值的标准差表示函数的标准 差公式，设对各个测量值皆进行了 N 次等精度测 量，其相应的随机误差为：
x1 : x11 , x12 , ..., x1 N
x2 : x21 , x22 , ..., x2 N
xn : xn1 , xn 2 , ..., xnN
则
一、函数误差 函数随机误差计算
当各个测量值的随机误差为同一分布时，上 式中的标准差用极限误差代替，可得函数的极限 误差公式为:
2 lim y a12 2 lim x 1 a2 2 2 lim x 2 , ..., an 2 linx 2
若 ai 1 函数的标准差:
yN
f f f x1 N x2 N ... xnN x1 x2 xn
一、函数误差 函数随机误差计算
将上面方程组中的每个方程平方得到：
y1
2 n f f f f 2 2 xi 1 j 1 x n1 2 x11 ... x1 xn xi x j 1 i j 2 2
一、函数误差
间接测量是通过直接测量与被测的量之间 有一定函数关系的其他量，按照已知的函数关 系式计算出被测的量。因此间接测量的量是直 接测量所得到的各个测量值的函数，而间接测 量误差则是各个直接测量的函数，故称这种误 差为函数误差。研究函数误差的内容，实质上 就是研究误差的传递问题.
一、函数误差 函数系统误差计算
2
2
2
上式就是函数随机误差公式 如果各测量值的随机误差是相互独立的，且N 适当大时 N xim x jm
kij
m 1
N
0
一、函数误差 函数随机误差计算
y
2
f 2 f 2 f 2 xn x1 x 2 , ..., x1 x2 xn
2 2 2
2
2

2
f 2 f 2 f 2 y xn x1 x 2 , ..., x1 x2 xn
令
f ai xi
2 2 2 y a12 x 1 a2 2 x 2 , ..., an 2 xn
f f f sin x1 x2 ... xn x1 x2 xn
一、函数误差 函数系统误差计算
在角度测量中，需要求得的误差不是三角函数 误差，而是所求角度的误差.
dsin dsin cos d d cos
用系统误差代替上式中相应的微分量, 则有 sin cos 可得正弦函数的角度系统误差公式为：
一、函数误差 误差间的相关
一般两误差间的关系是处于上述两种极 端情况之间，既有联系而又不具有确定性关 系。 线性依赖关系是指在平均意义上的线性
关系，即一个误差值随另一个误差值的变化
具有线性关系的倾向，但两者取值又不服从 确定的线性关系，而具有一定的随机性。
一、函数误差 误差间的相关
相关系数 两误差间有线性关系时，其相关性强弱由相关系数来 反映，在误差合成时应求得相关系数，并计算出相关项大 小。若两误差 ξ 与 η 之间的相关系数为 ρ ，根据相 关系数定义，则有 K
h s
D
s2 D= +h 4h
一、函数误差 函数随机误差计算
随机误差是用表征其取值分散程度的标准差来 评定的,对于函数的随机误差,也是用函数的标准差 来进行评定.因此,函数随机误差计算,就是研究函 数y的标准差与各测量值标准差之间的关系。 函数： y f ( x1 , x2 ,... xn )
当函数为各测量值之和时，其函数系统误差 也为各测量值系统误差之和。
一、函数误差 函数系统误差计算
在间接测量中，也常遇到角度测量，其函数关 系为三角函数式，对于三角函数的系统误差，可按 上述同样方法进行计算。 若三角函数为：
sin f ( x1 , x2 , ..., xn )
可得函数的系统误差：

: 误差 ξ 的标准差 : 误差 η 的标准差
2 2
2
一、函数误差 函数随机误差计算
将方程两边同时除以 N ，可得
y
2
f 2 f 2 f 2 xn x1 x 2 , ..., x1 x2 xn n N f f xim jm 2 ( ) xi x j N 1 i j m 1
1 2 n
n
1 i j
2 2 2 y a12 x 1 a2 2 x 2 , ..., an 2 xn ij 0
ij 1 y a1 x1 a2 x 2 ... an xn
一、函数误差 误差间的相关
通常所遇到的测量实践多属误差间线性无关或近似线 性无关，但线性相关的也常见。所以当各误差间相关或相 关性不能忽略时，必须先求出各个误差间的相关系数，然 后才能进行误差合成计算。 误差间的线性相关关系 误差间的线性相关关系是指它们具有线性依赖关系， 这种依赖关系有强有弱。联系最强时，在平均意义上，一 个误差的取值完全决定了另一个误差的取值，此时两误差 间具有确定的线性函数关系。当两误差间的线性依赖关系 最弱时，一个误差的取值与另一个误差的取值无关，这是 互不相关的情况。
1 f f f 1 n f ( x1 x2 ... xn ) x xi cos x1 x2 xn cos i 1 i
一、函数误差 函数系统误差计算
例3-1 用弓高弦长法间接 测量最大直径 D，直接测得其 弓高 h 和 弦长 s ，然后通 过函数关系计算求得直径。 如果： h 50mm , h 0.1mm s 500mm , s 1mm 求测量结果。
为各个直接测量值的误差传递系数 。
一、函数误差 函数系统误差计算
若函数形式为线性公式： y a1 x1 a2 x2 ...an xn
则函数的系统误差为：
y a1x1 a2x2 a3x3 ... anxn
当 ai 1 时，则有：
y x1 x2 ...xn
一、函数误差 函数随机误差计算
N 个函数值为：
y1 f x11 , x21 ,, xn1 y2 f x12 , x22 ,, xn2
yN f x1n , x2n ,, xnn
一、函数误差 函数随机误差计算
函数随机误差为：
y1
y2
f f f x11 x21 ... xn1 x1 x2 xn f f f x12 x22 ... xn 2 x1 x2 xn
f f f dx1 dx2 ... dxn 多元函数增量： dy x1 x2 xn
随机误差： x1 , x2 ,, xn
系统随机误差： y
f f f x1 x2 ... xn x1 x2 xn
一、函数误差 函数随机误差计算
在间接测量中，函数的形式主要为初等函数，且 一般为多元函数，其表达式为：
y f ( x1 , x2 ,... xn )
对于多元函数，其增量可用函数的全微分表示， 则上式的函数增量为：
f f f dy dx1 dx2 ... dxn x1 x2 xn
若已知各个直接测量值的系统误差为：
2
2
2
定义
kij
m 1
x
N
im
x jm
ij
K ij
N
xi xj
kij ij xi xj
一、函数误差 函数随机误差计算
y
2
f 2 f 2 f 2 xn x1 x 2 , ..., x1 x2 xn n N f f 2 ( ij xj xj ) x i x j 1 i j m 1
误差合成与分配
函数误差 随机误差的合成 系统误差的合成 系统误差与随机误差的合成 误差分配 微小误差取舍准则 最佳测量方案的确定
一、函数误差
函数系统误差计算
函数随机误差计算
误差间的相关关系和相
关系数
一、函数误差
由两个或多个误差值合并成一个误差值，叫作误差的合成. 它是间接测量计算误差的基本方法。反过来，己知对一间接的 被测量的要求，进而要确定具体测量时对直接测量参数的要求， 这就是误差的分配或误差分解。 误差的分配或误差分解是设计仪器和装置时不可缺少的步 骤，即从仪器的总的精度要求出发，确定仪器各组成部分和环 节(包括零件、部件和装调等)的精度要求。 要解决误差的合成与分配问题，首先要明确总的合成误差 和各单项误差之间的函数关系，再按它们之间的变量关系进行 计算.这实际上就是由多元函数的各个自变量的增量综合求函 数增量或做相反计算的问题
2
2
一、函数误差 函数随机误差计算
将方程组中各方程相加，可得：
y1 y2 , ... yn1
2 2 2
f ( x112 x12 2 , ..., x1 N 2 ) x1 f ( x212 x22 2 , ..., x2 N 2 ) x 2 f , ..., ( xn12 xn 2 2 , ..., xnN 2 ) x n n N f f 2 ( xim jm ) x i x j 1 i j m 1
x1 , x2 ,, xn
一、函数误差 函数系统误差计算
用它来近似代替上式中的微分量，从而可得到函 数的系统误差：
f f f y x1 x2 ... xn x1 x2 xn f ( i 1, 2, ..., n) xi
上式称为函数系统误差公式。