极坐标与参数方程专题复习

坐标系与参数方程

一、考试大纲解析：

1.坐标系

（1）理解坐标系的作用；

（2）了解平面坐标系伸缩变换作用下图形的变化情况；

（3）能在坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标和平面之间坐标系表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化；

（4）能在极坐标系中给出简单图形的方程，通过比较这些图形在极坐标和直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义；

2.参数方程

（1）了解参数方程和参数方程的意义；

（2）能选择适当的参数写出直线、圆、圆锥曲线的参数方程； （3）能用参数方程解决一些数学问题和实际的运用；

二、题型分布：

极坐标和参数方程是新课标考纲里的选考内容之一，在每年的高考试卷中，极坐标和参数方程都是放在选作题的一题中来考查。由于极坐标是新添的内容，考纲要求比较简单，所以在考试中一般不会有很难的题目。

三、知识点回顾

坐标系

1．伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨

⎧>⋅='>⋅=').

0(,y y 0),

(x,x :μμλλϕ的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简

称伸缩变换。

2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。

3．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM .

极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ.

4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。

如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。

5．极坐标与直角坐标的互化：

6．直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为： ⑴0ϕθ= ⑵θρcos a = ⑶θ

ρcos a

-= ⑷θρsin a =

⑸θ

ρsin a

-= ⑹)cos(ϕθρ-=a

对应图形如下：

7．圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为)0(>a ：

⑴a =ρ ⑵θρcos 2a = ⑶θρcos 2a -= ⑷θρsin 2a = ⑸ θρsin 2a -= ⑹)cos(2ϕθρ-=a

对应图形如下：

ϕ

θ=

θ

ρcos a

=

θ

ρcos a -

=

θ

ρsin a

=

图4

θ

ρsin a -

=图5

)

cos(ϕθρ-=

a

参数方程 1．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t

的函数⎩⎨

⎧==),

(),

(t g y t f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点),(y x M 都在这条

曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫做参变数，简

称参数。

相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。

2．常见曲线的参数方程如下：

（1）过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线：

α

αsin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数）

其中参数t 是以定点P （x 0，y 0）为起点，对应于t 点M （x ，y ）为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．

（2）中心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆：

θ

θsin cos 00r y y r x x +=+= （θ为参数）

θ

ρcos 2a =

图2

θ

ρsin 2a =图4

θ

ρsin 2a

-

=图5θ

ρcos 2a -=a

=ρ图1

)

cos(2ϕθρ-=a 图6

（3）中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的椭圆：

θθsin cos b y a x == （θ为参数） （或

θ

θ

sin cos a y b x ==）

（4）顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线：

pt

y pt x 222== （t 为参数，p ＞0）

四、直击考点：

考点一：坐标的变化以及轨迹方程中参数方程与标准方程的互化 极坐标与直角坐标的互化：

参数方程与标准方程的互化：

标准方程化为参数方程：熟记常见曲线的参数方程即可。

参数方程转化为标准方程：牢记参数放一边，然后利用三角函数的知识点消参数。

（22sin sin cos 1,tan cos k θ

θθθθ

+===

如）

例题：

1把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是（ ）．

A ．1

21

2x t y t -⎧=⎪⎨⎪=⎩

B ．sin 1sin x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩

C ．cos 1cos x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩

D ．tan 1tan x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩ x ⎩（直极互化 图）