连续介质力学1-5

不为零 的只有
i = j = k = l; i = k ≠ j = l;
i= j≠k=l i=l≠ j=k
(2)绕x3旋转 0 绕 旋转90
0 1 0 {β i′j } = − 1 0 0 0 0 1
x1′ = x 2 , x 2′ = − x1 , x 3′ = x 3
推论:在任意置换下，张量的每一分量被换成另一分量， 推论 在任意置换下，张量的每一分量被换成另一分量， 在任意置换下 如该张量为各向同性张量，则这两个分量相等。 如该张量为各向同性张量，则这两个分量相等。 (1)先说明置换是旋转变换的特例 先说明置换是旋转变换的特例
T11 T12 T13 T21 T22 T23 T T32 T33 31
第五章 各向同性张量
r = xi ′ ei ′ = xi ei xi ′ = β i ′i xi
x1′ cos θ = x 2′ − sin θ
问:是否可能 是否可能
x2′ x 2
θ
r
x1′
x1
sin θ x1 x cos θ 2 sin θ x1 x1 x = x cos θ 2 2
− 1 0 0 {β i′j } = 0 − 1 0 0 0 1
Aijkl = Ai′j′k′l ′ = β i′i β j′j β k′k β l ′l Aijkl
i ′、j ′、k ′、l ′中有单数个 3时， Ai ′j′k ′l ′ = 0
再由置换知， 2 3 1 再由置换知，、、任意一个数值 如在下标中只出现单数 次，则该项 Aijkl = 0。
A11 A21 A 31
{1→2,2→3,3→1}
Ai ′j′ = Aij
A11 A21 A 31
A12 A22 A32
A13 A23 A33
{1→2,2→3,3→1}
A22 A32 A 12
A23 A33 A13
A21 A31 A11
A1′3′3′ = β 1′ i β j 3′ β k 3′ Aijk = − A133
− 1 0 0 {β i′j } = 0 − 1 0 0 0 1
∴ A133 = 0
显然,指标中如果有两个 ， 显然 指标中如果有两个3，该项必为零 指标中如果有两个
A313=A331=A233=A323=A332=0 由置换可知， 中只要有两个指标相同，该项必为零。 由置换可知，Aijk中只要有两个指标相同，该项必为零。 这样，不为零的分量只剩下 这样，不为零的分量只剩下A123、 A132、 A213、 A231、 A321、 A312 。 、 再由置换可知 A123=A231=A312 A132=A213=A321
Aijkl = Ai′j′k′l ′ = β i′i β j′j β k′k β l ′l Aijkl
A1′1′2′2′ = β 1′ i β 1′ j β 2′ k β 2′ l Aijkl = A2211
= A1122
由置换可知， 的一类都相等； 由置换可知，i=j≠k=l的一类都相等； 的一类都相等 同理，i=j=k=l的一类相等； 同理， 的一类相等； 的一类相等 同理， 的一类相等。 同理，i=l≠j=k的一类相等。 的一类相等
0 0 1 {β i′j } = 1 0 0 0 1 0
Ti′j′ = β i′iTij β jj′
0 0 1 T11 T12 T13 0 1 0 1 0 0 T21 T22 T23 0 0 1 0 1 0 T T32 T33 1 0 0 31
对于矢量，不可能。 对于矢量，不可能。因为所有矢量 都是与方向有关的（除了零矢量） 都是与方向有关的（除了零矢量）
xi ′ = β i ′i xi
Ti ′j′ = β i ′i β j′jTij = ?T
ij
Ti ′j′ = β i ′i β j′jTij
β 1′1 β 2′1 β 3′1
sin θ x1 0 cos θ − 1 − sin θ cos θ − 1 x = 0 2
cos θ − 1 − sin θ
2
s θ + 1 − 2 cos θ + sin θ = 0 2(1 − cos θ ) = 0
{1→3,2→1,3→2}
T33 T31 T32 T13 T11 T12 T T21 T22 23
旋转变换
x1′ = x 3 x 2′ = x1 x = x 2 3′
x1′ 0 0 1 x1 x 2′ = 1 0 0 x 2 x 0 1 0 x 3 3′
§5-3 三阶各向同性张量 证明： 证明： 三阶各向同性张量必为λe 形式。 三阶各向同性张量必为 ijk形式。 为各向同性张量， 设Aijk为各向同性张量，则
Aijk = Ai′j′k′ = β i′i β jj′ β kk′ Aijk
数值上 (1)作1800旋转变换 作
− 1 0 0 {β i′j } = 0 − 1 0 0 0 1
= A123 最后 A123=A231=A312=λ ∴Aijk=λeijk A132=A213=A321=-λ
§5-4 四阶各向同性张量 证明： 证明： Aijkl=λδijδkl+αδikδjl+βδilδjk
(1)作1800旋转变换 x1′ = − x1 , x 2′ = − x 2 , x 3′ = x 3 作
T33 T31 T32 T13 T11 T12 = T T21 T22 23
(2)分量相等的意义 分量相等的意义
T11 T12 T13 T21 T22 T23 T T32 T33 31
{1→3,2→1,3→2}
T33 T31 T32 T13 T11 T12 T T21 T22 23
(2)绕x3旋转 0 绕 旋转90
0 1 0 {β i′j } = − 1 0 0 0 0 1
x1′ = x 2 , x 2′ = − x1 , x 3′ = x 3
Aijk = Ai′j′k′ = β i′i β jj′ β kk ′ Aijk
A1′2′3′ = β 1′ i β 2′ j β 3′ k Aijk = − A213
则v = ve1 = − ve1′
v1′ = − v ≠ v1
3. 二阶各向同性张量必为 ij形式 二阶各向同性张量必为λδ 证明： 证明： (1)先看 ij在置换 先看A 在置换{1→2,2→3,3→1}下的情形 先看 下的情形
A12 A22 A32 A13 A23 A33 A22 A32 A 12 A23 A33 A13 A21 A31 A11
?
如
T11 T12 T13 λ 0 T T22 T23 = 0 λ 21 T31 T32 T33 0 0
0 0 = λI λ
成立，其他还有吗？ 成立，其他还有吗？
§5-1 各向同性张量之定义 定义:一个张量，在旋转变换下， 定义 一个张量，在旋转变换下，每一分量保持不变 一个张量 (数值不变 ，称之为各向同性张量。 数值不变)， 数值不变 称之为各向同性张量。
即Ai′j′k′⋯n′ = Aijk⋯n
注意， 注意，此处不是 张量方程，而是相应 张量方程， 位置的分量相等。 位置的分量相等。
例如δ i′j′ 1 0 0 1 0 0 = 0 1 0 , δ ij = 0 1 0 0 0 1 0 0 1
置换定义的扩展: 置换定义的扩展 (1)偶排列与奇排列：从(1,2,3)开始，将指标中的两个互换， 偶排列与奇排列： 开始，将指标中的两个互换， 偶排列与奇排列 开始 共交换2n次 得到的(i,j,k)称为 称为(1,2,3)的一个偶排列；如交 的一个偶排列； 共交换 次，得到的 称为 的一个偶排列 称为(1,2,3)的一个奇排列。 的一个奇排列。 换2n-1次，所得 次 所得(i,j,k)称为 称为 的一个奇排列 (2)置换：如(i,j,k)为(1,2,3)的一个偶排列，则称 置换： 的一个偶排列， 置换 为 的一个偶排列 {1→i,2→j,3→k}为一个置换。 为一个置换。 为一个置换 例如： 的一个偶排列， 例如：(2,3,1)为(1,2,3)的一个偶排列，{1→2,2→3,3→1}可 为 的一个偶排列 可 视为一次完成的，称之为置换。 视为一次完成的，称之为置换。
x1′ = − x1 , x 2′ = − x 2 , x 3′ = x 3
A1′1′1′ = β 1′ i β j 1′ β k 1′ Aijk = − A111
= A111 ∴ A111 = 0
由置换可知, 由置换可知 A222=A333=0
Aijk = Ai′j′k′ = β i′i β jj′ β kk′ Aijk
A11→A22
A22→A33
A33→A11 A11=A22=A33
A12→A23
A23→A31
A31→A12 A12=A23=A31
A21→A32
A32→A13
A13→A21 A21=A32=A13
(2)作旋转变换 作旋转变换
x1′ = − x1 , x 2′ = − x 2 , x 3′ = x 3
Ai′j′k′⋯n′ = Aijk⋯n
A3′1′ = A31 A3′1′
§5-2 零～二阶各向同性张量 1. 零阶各向同性张量 只有一个分量，在任意坐标变换下不变， 只有一个分量，在任意坐标变换下不变，故 一定是各向同性的。 一定是各向同性的。 2. 一阶各向同性张量 除零矢量外，所有矢量都不是各向同性张量。 除零矢量外，所有矢量都不是各向同性张量。 证明： 证明： ∀v ≠ 0, 取基矢量 e1与v 相同，则 v = ve1 , 分量为(v ,0,0 ) 相同， 旋转变换， 旋转变换，使 e1′ = − e1 , e 2′ = − e 2 , e 3′ = e 3
− 1 0 0 {β i′j } = 0 − 1 0 0 0 1
Ai′j′ = β i′i Aij β jj′
A2′3′ = β 2′ i Aij β j 3′ = β 2′2 A23 β 33′ = − A23
A23 ∴ A23 = 0 同理A32 = 0
A11=A22=A33 A12=A23=A31 A21=A32=A13
x1′ cos θ = x 2′ − sin θ
?
经过坐标变换， 经过坐标变换，坐 标分量保持不变？ 标分量保持不变？
x1′ cos θ = x 2′ − sin θ
sin θ x1 x1 x = x cos θ 2 2
β 1′2 β 2′2 β 3′2
β 1′3 T11 T12 T13 β 1′1 β 2′3 T21 T22 T23 β 1′2 β 3′3 T31 T32 T33 β 1′3
β 2′1 β 3′1 T11 T12 T13 β 2′2 β 3′2 = T21 T22 T23 β 2′3 β 3′3 T31 T32 T33