级中考数学25题专题训练 (优选.)

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中考题型训练
1．在△ABC 中，∠A ＝60°，∠B ＝45°，点D 是边AB 上任意一点，连结CD ．
（1）如图1，若∠BCD ＝30°，且BD =2，求线段CD 的长．
（2）如图2，若∠BCD ＝15°，以线段CD 为边在CD 的右上方作正△CDE ，连结BE ，点F
在线段CD 上，且CF =BD ，连结BF ．求证：BE =BF ．
（3）如图3，若以点C 为直角顶点，线段CD 为腰在CD 的右上方作等腰Rt △CDE ，点O
是线段DE 的中点，连结BO ，猜想线段OB 与CD 有怎样的数量关系，请直接写出
结论（不需证明）．
B D A
C 25题图1
F
E
B
D
A
C 25题图2
O
E B
D A
C
25题图3
2．如图1，等边△ABC中，CE平分∠ACB，D为BC边上一点，且DE=CD，连接BE．
6，求线段BE的长；
（1）若CE=4，BC=3
（2）如图2，取BE中点P，连接AP，PD，AD，求证：AP⊥PD且AP=3PD；
（3）如图3，把图2中的△CDE绕点C顺时针旋转任意角度，然后连接BE，点P为BE中点，连接AP，PD，AD，问第（2）问中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，
请说明理由．
C
D
E
B A
图1
P
C
D
E
B
A
图2
图3
P
D C
E
B
A
3．在ABC ∆中，以AB 为斜边，作直角ABD ∆，使点D 落在ABC ∆内，090=∠ADB ． （1）如图1，若AC AB =，030=∠BAD ，36=AD ，点M P 、分别为BC 、AB 边的中点，连接PM ，求线段PM 的长；
（2）如图2，若AC AB =，把ABD ∆绕点A 逆时针旋转一定角度，得到ACE ∆，连接ED 并延长交BC 于点P ，求证：CP BP =；
（3）如图3，若BD AD =，过点D 的直线交AC 于点E ，交BC 于点F ，AC EF ⊥，且EC AE =，请直接写出线段AD FC BF 、、之间的关系（不需要证明）．
P
E
D C B
A
M
D C B A
F
E C
D
B
A
4．如图1，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC，∠ACB=90°，直线l经过点C，AF⊥l于点F，BE⊥l于点E，点D是AB的中点，连接ED．
（1）求证：△ACF≌△CBE；
（2）求证：AF=BE+DE；
（3）如图2，将直线l旋转到△ABC的外部，其他条件不变，（2）中的结论是否仍然成立，如果成立请说明理由，如果不成立AF、BE、DE又满足怎样的关系？并说明理由．
5．已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，分别以AB、AC为边，向Rt△ABC外作等边△ABD和等边△ACE
（1）如图1，连接BE、CD，若BC=2，求BE的长；
（2）如图2，连接DE交AB于点F，作BH⊥AD于H，连接FH．求证：BH=2FH；
（3）如图3，取AB 、CD 得中点M 、N ，连接M 、N ，试探求MN 和AE 的数量关系，并直接写出结论；
A
B
C D
E
A
D
C B
E F H
A
B C D
E
M N
图1
图2
图3
6、在△ABC 中，AB=AC ，D 为射线BC 上一点，DB=DA ，E 为射线AD 上一点，且AE=CD,连接BE 。

（1）如图1，若∠ADB=120°，AC=3，求DE 的长。

（2）如图2，若BE=2CD ，连接CE 并延长，交AB 于点F ，求证：CE=2EF.（3）如图3，若BE ⊥AD ，垂足为
点E,求证：22211
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AE BE AD +=
7. 某商场某品牌电视机销售情况良好，据统计，去年上半年（1月至6月）的月销售量y（台）与月份x之间呈一次函数关系，其中2月的销量为560台，3月的销量为570台，
（1）求月销售量y（台）与月份x之间的函数关系式；
（2）据悉，6月份每台售价为3200元，受国际经济形势的影响，从7月份开始全国经济出现通货膨胀，商品价格普遍上涨．去年7月份该品牌电视机的售价比6月份上涨了m%，但7月的销售量比6月份下降了2m%．商场为了促进销量，8月份决定对该品牌电视机实行九折优惠促销．受此政策的刺激，该品牌电视机销售量比7月份增加了220台，且总销售额比6月份增加了15.5%，求m的值．
8重庆一中后勤部门每年都要更新一定数量的书桌和椅子.已知2012年采购的书桌价格为120元/张，椅子价格为40元/张，总支出费用34000元；2013年采购的书桌价格上涨为130元/张，椅子价格保持不变，且采购的书桌和椅子的数量与2012年分别相同，总支出费用比2012年多2000元.
（1）求2012年采购的书桌和椅子分别是多少张？
（2）与2012年相比，2014年书桌的价格上涨了%a （其中500<<a ），椅子的
价格上涨了%10，但采购的书桌的数量减少了%21a ，椅子的数量减少了50张，且2014年学校桌子和椅子的总支出费用为34720元，求a 的值. X|
9、每年的3月15日是 “国际消费者权益日”，许多商家都会利用这个契机进行打折促销活动．甲卖家的A 商品成本为500元，在标价800元的基础上打9折销售．
（1）现在甲卖家欲继续降价吸引买主，问最多降价多少元，才能使利润率不低于10%？
（2）据媒体爆料，有一些卖家先提高商品价格后再降价促销，存在欺诈行为．乙卖家也销售A 商品，成本、标价与甲卖家一致，以前每周可售出50件，为扩大销量，尽快减少库存，他决定打折促销.但他先将标价提高m 3％，再大幅降价m 26元，使得A 商品在3月15日那一天卖出的数量就比原来一周卖出的数量增加了
m 5
12％，这样一天的利润达到了20000元，求m .
10、.若整数a 能被整数b 整除，则一定存在整数n ，使得
n b a =，即bn a =。

例如若整数a 能被整数3整除，则一定存在整数n ，使得n a =3
，即n a 3=。

（1）若一个多位自然数的末三位数字所表示的数与末三位数以前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被13整除，那么原多位自然数一定能被13整除。

例如：将数字306371分解为306和371，因为371-306=65，65是13的倍数，,所
以306371能被13整除。

请你证明任意一个四位数都满足上述规律。

（2）如果一个自然数各数位上的数字从最高位到个位仅有两个数交替排列组成，那么我们把这样的自然数叫做“摆动数”，例如：自然数12121212从最高位到个位是由1和2交替出现组成，所以12121212是“摆动数”，再如：656,9898,37373，171717，……，都是“摆动数”，请你证明任意一个6位摆动数都能被13整除。

11．若一个正整数，它的各位数字是左右对称的，则称这个数是对称数，如22，797，12321都是对称数．最小的对称数是11，没有最大的对称数，因为数位是无穷的．
（1）有一种产生对称数的方式是：将某些自然数与它的逆序数相加，得出的和再与和的逆序数相加，连续进行下去，便可得到一个对称数．如：17的逆序数为71，17＋71=88，88是一个对称数；39的逆序数为93，39＋93=132，132的逆序数为231，132＋231=363，363是一个对称数．请你根据以上材料，求以687产生的第一个对称数；
（2）若将任意一个四位对称数分解为前两位数所表示的数，和后两位数所表示的数，请你证明这两个数的差一定能被9整除；
（3）若将一个三位对称数减去其各位数字之和，所得的结果能被11整除，则满足条件的三位对称数共有多少个？
12、我们可以将任意三位数表示为abc （其中a 、b 、c 分别表示百位上的数字，十位上的数字和个位上的数字，且0a ≠）.显然，10010abc a b c =++；我们把形如xyz 和zyx 的两个三位数称为一对“姊妹数”（其中x 、y 、z 是三个连续的自然数）如：123和321是一对姊妹数，678和876是一对“姊妹数”。

（1）写出任意三对“姊妹数”， 并判断2331是否一对“姊妹数”的和
（2）如果用x 表示百位数字，求证：任意一对“姊妹数”的和能被37整除。

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赠人玫瑰，手留余香。