一道美国数学竞赛题的解法新探

一道美国数学竞赛题的解法新探

吴家华（四川省遂宁中学校 629000）

摘 要 本文在文]1[对一道美国数学竞赛题的多种解法的基础上，又给出了它的几种不同的新解法.

关键词 美国数学；竞赛题；解法

美国第七届中学数学竞赛中有如下一道试题：

已知e d c b a ,,,,是实数且满足e d c b a ++++8=，1622222=++++e d c b a ，试确定e 的最大值.

笔者最近在查阅资料时，看到文]1[中给出了本题的五种解法，它们分别是判别式法，平均值不等式法，平均值代换法，构造函数法，空间解析几何法等. 笔者通过对它进行一番分析、研究后，又得到它的另外几种解法，现介绍如下：

解法1 （三角代换法）由已知得：01622222≥-=+++e d c b a ，则可令 γβαcos cos cos 162e a -=，γβαcos cos sin 162e b -=，

γβcos sin 162e c -=，γsin 162e d -=，)2,0[,πβα∈，),0[πγ∈. ∵8=++++e d c b a ，

∴d c b a e +++=-8，

)sin cos sin cos cos sin cos cos (cos 162γγβγβαγβα+++-=e ,

]sin cos sin cos cos )4sin(2[162γγβγβπ

α+++-=e ，

}sin cos ]sin cos )4sin(2{[162γγββπα+++

-=e ， ]sin cos )sin(1)4

(sin 2[1622γγϕβπ

α++++-=e （其中2tan =ϕ）， ]sin cos )sin(112[162γγϕβ+++⨯-≤e ，

]sin cos )sin(3[162γγϕβ++-≤e ，

)]sin(1)(sin 3[1622θγϕβ+++-=e （其中)sin(3tan ϕβθ+=）

， )sin(162)]sin(113[1622θγθγ+-=++⨯-≤e e ， 2162e -≤， 即e e

-≥-81622.

解之，得：5160≤

≤e . 故e 的最大值为5

16. 评注 本解法中的三角代换得益于空间直角坐标系与球坐标系间的坐标变换关系的启发，是它的一种推广.

解法2 （Cauchy 不等式法）∵8=++++e d c b a ，∴e d c b a -=+++8. 又∵1622222=++++e d c b a ，∴2222216e d c b a -=+++.

由Cauchy 不等式得：

222222222)1111()1111)((⋅+⋅+⋅+⋅≥++++++d c b a d c b a ，

当且仅当d c b a ===时，等号成立.

即228)16(4）（e e -≥

-. 解之，得：5

160≤≤e . 由⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=====++++5168e d c b a e d c b a 解之，得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=====51656e d c b a . ∴当且仅当56=

===d c b a 时，e 取得最大值516. 故e 的最大值为5

16. 解法3（向量法）设),,,(d c b a =，),1,1,1,1(=，与的夹角为θ)0(πθ≤≤，则e d c b a d c b a -=+++=⋅+⋅+⋅+⋅=⋅81111，

2222216||e d c b a m -=+++=，2||=. ∵θcos ||||n m n m =⋅,∴||||||n m n m ≤⋅, 即2162|8|e e -≤-. 解之，得：5160≤

≤e . 故e 的最大值为5

16. 解法4（利用方差的非负性）取一组数据d c b a ,,,且满足e d c b a -=+++8，则它们的平均数为)8(4

1)(41e d c b a x -=+++=.

∴这组数据的方差为

])()()()[(4

122222x d x c x b x a s -+-+-+-= 0)8(16

1)16(41)(412222222≥---=-+++=e e x d c b a . ∴0)8()16(422≥---e e . 解之，得：5160≤

≤e . 故e 的最大值为5

16. 参考文献

1.兰振万.一道美国数学竞赛题的多种解法.中学教研（数学），1988年Z1期.