大学物理静电场教案

例: 半径为R、带电量为q的均匀带电球面的场强分布.
解同E：半沿分径析rr方电的向场球。的面对上称E性大小相球等对。称dq1
dE2
dE
p （1）过 p 点
R
作半径为r的
r 球面为高斯面
q
r > R时 ：
根据高斯定理：
0
rp
dE1
dq2
sபைடு நூலகம்
E
ds
1 0
qi
E 4r 2 1
0
q内
E 4r 2 q 0
dr ,
r
提示：
E4r2
1 0
rR 0r(r ' )4r '2dr '
r
rR
E4r2
1 0
0R (r' )4r'2dr'
例2：无限长直导线均匀带电，电荷线密度为， 求场强？
解： 分析：场具有柱对称性
同E 沿一半r方径向r 。的柱面上
E
大小相等。
过场点作闭合柱面为高斯面
p
E
根据高斯定理
s
根据高斯定理：
E 4r 2
1 0
4
q R
3
4 3
r
3
3
E 4r 2 q 0
E
qr 40 R 3
r 30
R
qr
E
0R
R r
r ,o
结论: （1）r R 时：（2） r < R 时：
E
q 40r
2
E
qr 40 R 3
r 30
举一反三: 若带电球体电荷分布不均 匀但仍具有球对称性,即 = (r),场强分布如何？
推广到任意带电系统的电场：
s
E
用迭加原理
esE1sEds dssE2s
Ei ds
ds
s E3
ds
s
E4
q1 q2 q3
q4
ds
ds
q5
s E5
ds
1
1
0 ( q1 q2 q3 ) 0 S内 qi
0
（证毕）
qq><3反0、0映，，高电斯场定ssEE的理基dd的ss本意00性义质：，。，（有有电e电电磁力力场线线s的E发终基出止d本。s。方程q之0 一q ）
E
ds
1 0
qi
E cos ds E cos ds 1 l
侧面
1
上下面
0 0
r
E
E 2rl l 0
E
2 0 r
E
沿
r方向
l
E
2 0 r
举一反三：
（1）两平行输电线的场强？ （2)无限长带电圆柱面的场？
rr
E E
l
E
R
r
r R E0
rR
E
2 0r
同轴电缆(柱面)的场强分布?
例1、真空中，长为L的直棒均匀带正电 荷Q,求棒的 延长线上距棒端为a的p点的电场强度 E
解: 选择电荷元dq Q
dq
p
dE
建立坐标系
+++ + + +
L
a
X
dq Q dx
0
dE
L dq
4
0
(
L
a
x )2
Qdx
4
0
L(
L
a
x )2
画出p点处dE 的方向,取其他电荷元时dE 的方向不变,
所以可直接积分,即
q1q2 r2
rˆ
符号含在“q”内。
5 – 3 电场强度
一、静电场 电场由电荷产生，相对于观察者静止的电场叫静电场。 静电场的主要性质：
1、电场有力的性质： 电场中任何带电体都受到电场力作用。
2、电场有能的性质： 电场力可以移动电场中的带电体。 （电场力对带电体做功）
3、电场
对导体产生静电感应现象。 对绝缘体（介质） 产生极化现象。
dq 40r
2
rˆ
dq
p dE
r
E
dE
dq q 40r 2
rˆ
q 矢量积分
用积分法计算场强的解题步骤:
10 选择电荷元 dq;(视为点电荷)
20 建立坐标系,写出p点处 dE 的大小
dE
dq
4 0r 2
30 画出p点处 dE 的方向
40 当在带 电体其他处取电荷元时,看 P点处 dE 的方向是否发生改变.
x r时
E 1 40
q x2
例4、半径为 R 的均匀带电圆盘，面电荷密度为 +，
求：轴线上任一点 p 的场强。 R
解：可视为许多小圆环组成。
取半径为 r 宽为 dr 的圆环
dq 2rdr
r dr p
o
x
Ex
dE
代替上式中的 q 得
dE
2
x 40
2rdr (r2 x2)
3
2
E
xq 40 (r 2
L
Qdx
Q
E
0
4 0 L( L a x )2
4 0a( a L )
方向沿X轴正向
例2、半径为 R 的 1/4 圆弧上均匀带电，电荷线密
度为 ，求圆心 处场强 ？ dl
解：取d q dq dl Rd
dq
dE
dq 40 R 2
Rd 40 R 2
d
R
dE y
y
dEx
x
dE E
Ex
例：真空中有一均匀带电球体半径为R ， 总电量+q ，求：场强分布？
r
解：把球体看成是由无限多个
p
同心薄球面叠加而成.因此,球体 的电场线分布应与这些同心球
dr
o
同E面半沿的径r电r方场的向线球。分面布上相E同大,小即相等。
E
q 40r
2
p （1）过 p 点作半 （2） r < R 时：
R
q
r
径r的球面为高斯 面 , r R时 ：
r a E0
arb
E 20r
rb E0
ab
r E
r
（3）无限长带电圆柱体的场？
R
r R:
E
R2 20r
(R2 1 20r
)
20r
r
r R : E r
p
20
dr
（4）若无限长带电柱体电荷分布不均匀
但 仍具有轴对称 性,即 = (r),场强分布又如何？
提示： r R
E
2rl
1
2、非均匀场中：
n
各点的 E 大小不等，方向不同。
E
ds
在 通任过d意S曲的面元S通上量取d一e面积E元 ddsS
Eds
通过S的电通量 e de s E
cos ds
s
E
cos
s ds
2注 100对意于e：是闭标合量曲，面有：正n、一负般定外法线22方向((为))正
E
E
E ds E
q
E 4 0r 2
（2） r < R 时：
E 0
结论:
球外 r R
E
q
40r 2
E 沿 r方向
（与点电荷场相同）
q r
R
r
E
球内 r R E 0
注意r = R 时的突变
E
0
q 40
R2
R
r
举一反三: 若两个均匀带电同心球面,半径分别为r、R; 带电量分别为q、Q.能否用高斯定理计算场强分布?
2 0
若有多块带电平板
2 x 0, E !
3
x
2
R时，E
0q 40
x
2
（相当于点电荷的场）
例5、无限大均匀带电平面中间有一圆孔，求轴上 E =？
R
x
E
两种方法
圆环 R
相减法
例6、均匀带电球面，求轴上
E
=？
dl
d R
r
E
d
关键：圆环宽度 dl Rd
圆环电量
dq 2rdl 2R sin Rd
dE x
dE
cos
0
2
40
R
cos
d
40 R
E y
dEy
2
dE sin
sind
0 4 0 R
4 0 R
E
4 0 R
i
4 0 R
j或
E tg
E
2 x
E
2 y
Ey 1 Ex
2 40 R
45
例3、半径为 r 的均匀带电圆环，总电量为 q ，
求：轴线上任一点的p场强？ dq
说明静电场是有源场 正电荷是电场的源头，
q
负电荷是电场的尾闾。
注意：
10 高斯定理既适用于静电场也适用于变化的电场。
20E明 :确所式有中(曲各面量内意和义曲：面外)电s E荷在d高s 斯 面10上产q生i 的电场。
q问i :题闭：合q 曲移面动内，E电 、荷的e 代变数否和？。
四、高斯定理的应用 计算对称分布的场强
rˆ表示 q 指向 p 点“q的”为单“位+矢”时径，。E 与rˆ 方向一致。
符号含在q中
“q”为“-”时 ，E 与rˆ
方向相反。
四 电场强度叠加原理 试验电荷 q0 在点电荷系q1、
q2、… q n 的电场中p点, 实验证明: r
E p E1 E2 En
F1 F2 Fn
dq
i) 否: 对 dE 直接积分,即
q
p dE
r
E dE 方向与 dE 方向一致
ii) 是: 将dE向坐标轴投影, 得到
别对 dEx ,dE y 积分,即
dEx ,dEy
,然后分
E x dE x
E y dE y
结果: E Exi Ey j
或
E
E
2 x
E
2 y
tg E y E x
x2 )3
2
E
dE
0R
xrdr 20 (r 2 x 2
)3
2
x
(
20 x
x )
x2 R2
方向：圆盘带电“ + ”，E 沿 x 正向。
（若圆盘带电“- ”： E 沿 x 负向。）
x
x
R
E (
)
20 x
x2 R2
讨论（1）R 无限大带电平面
r
o
dr
E
x ! 电场与距离无关！
p
Ex
dE
解：取
d
q
dE
dq 40(r 2
x2
)
q
r
o
由对称性知，E 沿 x 方向，
x
只需计算EX 即可。E=EX
p
E
x
dE
E
dEx
dE cos
q
dq 40 (r 2
x2 ) (r2
x x 2 )1
2
40 (r
x 2
x2
)3
2
q
dq
40 (r
xq 2
x2 )3 2
方向： 沿x正向。 讨论：
x 0时 即x r E 0
实验证明：F2
k
q1q2 r2
rˆ
F1
q1
r
q2
F2
F2 : q2所受的（q1给它的）力。 反之 F1 ( F2 )
rˆ :由施力电荷指向受力电荷的矢径方向上的单位矢量。
k : 1 9 109 N m2 c2
40
0
:
1 4k
8.85 1012C
N
1
m2
真空中介电常数
库仑定律：
F
1 40
s3
E3
ds
1 0
qi
1 0
qi
E1S1 E2 S2
0 1 S 0
2E
E 20
方向：垂直于 S 向外。
0
举一反三: 平行板电容器：
+
-
板间
E
20 20 0
板外 E 0 20 20
+1
-2
+3
若有多块带电平板
5 – 4 电场强度通量 高斯定理
一、电场线
电力线上每点切线的方向表示该点场强的方向。
电力线疏密的程度表示场强的大小 E dN
dN是通过面积元 dS 的电场线数.
dS
1、 电场线（E线）：一系列曲线。
+q
-q
2、电力线的特征：
（1） 起始于正电荷，终止于负电荷，有头有尾，不 会在无电荷处中断。
0
r ( r' )2r'ldr'
0
rR
R
dr ,
r
r,
r
E2rl 1
0
R ( r' )2r'ldr'
0
例3、无限大薄平板均匀带电，电荷面密度为 ，求场强？
E1
解： 场平面对称
E2
E
平板
s1
s
s2
与板等距离平面上E 相等
s3
过场点作闭合柱面为高斯面
s
E
ds
s1
E1
ds
s2
E2
ds
（2）在没有点电荷的空间，任何两条电力线不会相交。
（3）电力线不会形成闭合曲线。 二、电场强度通量
通过某面积的电力线总条数叫做通过该 面积的电场强度通量e 。
n
1、均匀电场（如图）：
电力线为平行线，给定的
S 面法线方向与电力线成
E
角。 E
S
S
S
通过 S 面的电通量为：
e ES ES cos E S
作包围q 的球面 S ，穿过球面的电通量为：
e
E cosds
s
q
s 40r 2 ds
q 40r 2
s
ds
q 40r 2
4r 2
q 0
q
ds
r s'
E
s
此结果与球面半径 r 无关,也与闭合曲面的形状无关。
若电荷q在闭合曲面外时，
穿过闭合曲面的电通量 e = 0
q
（q因在为面电内力对线电穿通入量、有穿贡出献此，曲q 在面面的外数对目电一通样量）无贡献s'。'
第五章 静 电 场
电场
电荷 电荷
1、引入描述电场性质的两个物理量：
电场强度 E
研究 E、 V 之间的关系。
电势 V
介绍计算E、 V 的几种方法。
2、导出反映静电场性质的两条基本规律： 静电场的高斯定理 静电场的环路定理
3、简单介绍带电体系的静电能 5 – 1 电荷的量子化 电荷守恒定律
一 电荷的量子化
1二、、电电场场强强度度E
：电场
“力的性质”
用E
描述。
定义：E
F
q0
(N c
Q
, V m)
大小:等于单位正电荷受到的力。
q0
F
E
方向:沿正电荷受力方向。
三 点电荷的电场强度
由 E 的定义：
q
r q0 p
E
F
1
4 0
qq0 r2
rˆ
q0
q0