函数的定义域与值域知识点及题型总结

函数的定义域与值域知识点及题型总结
知识点精讲
一、函数的定义域
求解函数的定义域应注意： （1）分式的分母不为零；
（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：
（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1； （4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；
（5）三角函数中的正切tan y x =的定义域是{
,x x R ∈且,2x kx k Z π
⎫≠+
∈⎬⎭
； （6）已知()f x 的定义域求解()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域，或已知()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域求()f x 的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；
（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域. 二、函数的值域
求解函数值域主要有以下十种方法： （1）观察法；（2）配方法；（3）图像法；（4）基本不等式法，（5）换元法；（6）分离常数法；（7）判别式法；（8）单调性法，（9）有界性法；（10）导数法.
需要指出的是，定义域或值域的结果必须写成区间或集合的形式.
题型归纳及思路提示
题型1 函数定义域的求解 思路提示
对求函数定义域问题的思路是：
（1）先列出使式子()f x 有意义的不等式或不等式组； （2）解不等式组；（3）将解集写成集合或区间的形式. 二、给出函数解析式求解定义域 例2.10 函数
ln 1x y +=
的定义域为（ ）．
A.(-4,-1)
B.(-4,1)
C.(-1,1)
D.(-1,1]
分析 本题考查对数、分式根式有关的函数定义域的求解
解析 210,340x x x +>⎧
⎨--+>⎩
得11x -<<，故选C
变式1 函数()1y x =
- 的定义域为（）
A.(0，1) B[0，1） C.(0，1] D[0，1] 变式2求函数(
)2f x = 的定义域.
三、抽象函数定义域
已知()f x 的定义域求()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域，或已知()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域求()f x 的定义域，或已知
()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域求()f h x ⎡
⎤⎣⎦的定义域. 解题时注意：（1）定义域是指自变量的取值范围；（2）在同一对应法则∫的作用下括号内式子的范围相同. 例2.11 （1）已知函数()f x 的定义域为（0，1）求()
2f x 的定义域 （2）已知函数()2f x 的定义域为（2，4）求()f x 的定义域 （3）已知函数()
2f x 的定义域为（1，2）求()21f x +的定义域.
分析 已知函数()f x 的定义域为D ，求函数()f g x ⎡⎤⎣⎦的定又域'D ，只需(){}
'D x g x D =∈;已知函数
()f g x ⎡⎤⎣⎦ 的定义域'D ,求函数了()f x 的定义域，只需(){},'D t t g x t D ==∈，即求()g x 的值域.
解析 （1）()f x 的定义域为（0，1），即0<x<1.故2
01x <<，所以11x -<<且x ≠0，所以()
2f x 的定
义域为()()1,00,1-
(2) ()
2f x 的定义域为(2，4).即2<x<4.所以4<2
x <16，故()f x 的定义域为（4，16）；
（3）因为()
2f x 的定义域为（1，2）即1＜x ＜2，所以1＜2
x ＜4，故需1＜2x ＋1＜4．所以0＜x ＜3
2
， 故()21f x +的定义域为30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
评注 定义域是对自变量而言的，如()
2f x 的定义域为（1，2）指的是x 的范围而非2
x 的范围. 变式1 已知函数()
2x f 的定义域是［0，1］，求()21f x -的定义域． 变式2设()2lg
2x
f x x
+=-，则22x f f x ⎛⎫⎛⎫
+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的定义域为（） A(-4,0)U(0，4) B ()()4,41,4-- C. ()()2,11,2-- D ()()4,22,4--
三、实际问题中函数定义域的求解
例2.12 如图2-3所示，用长为1的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆形的框架，若半圆半径为x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数式y ＝()f x ，并写出其定义域.
分析 在求实际问题函数的定义域时，应注意根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义城.
解析 由题意：2,,CD x CD x π==于是122
x x
AD π--=，因此()212222x x x y f x x ππ--==•+ ，化简即为24
.2
y x x π+=-
+
又根据实际应有201202
x x x π>⎧
⎪⎨-->⎪⎩,得102x π<<+，即所求函数的定义域为10,2π⎛
⎫ ⎪+⎝⎭
评注 求实际问题函数的定义域时，除考虑函数的解析式有意义外、还要考虑使实际问题有意义，如本题
中要根据各种度量的存在性来确定函数的定义域 题型2 函数定义域的应用
思路提示 对函数定义域的应用，是逆向思维问题，常常转化为恒成立问题求解，必要时对参数进行分类讨论.
例2.13若函数(
)f x =
的定义域为R ，则实数a 的取值范围为_____.
分析 函数()f x 的定义域为R,即2221x ax a
+-- ≥0在R 上恒成立，再利用指数函数的单调性求解
解析 由题意知222
1x ax a
+--≥0在R 上恒成立,所以2
20212x
ax a
+-≥=,即有220x ax a +-≥恒成立,其等价于
△=2
44010a a a +≤⇒-≤≤, 则实数a 的取值范围为[―1,0] 变式1 若函数()21
43
f x ax ax =
++的定义域是R ，求则实数a 的取值范围是（）
A.{}
a a R ∈ B.304a a ⎧⎫≤≤
⎨⎬⎩
⎭ C.34a a ⎧
⎫>⎨⎬⎩
⎭ D.304a a ⎧
⎫
≤<⎨⎬⎩
⎭
变式2 函数()
2lg 1y ax ax =-+ 的定义域是R,求a 的取值范围.
变式3若函数
y =
的定义域为R ，求实数a 的取值范围. 题型3 函数值域的求解
思路提示 函数值域的求法主要有以下几种
(1)观察法:根据最基本函数值域（如2
x ≥0,0x
a >及函数的图像、性质、简单的计算、推理，凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域.
（2）配方法：对于形如()2
0y ax bx c a =++≠的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次
函数的定义城求出函数的值域.
（3）图像法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型.
（4
）基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等.
（5）换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形y ax b =+转化为二次型函数.
（7）判别式法：把函数解析式化为关于x 的―元二次方程，利用一元二次方程的判别式求值域，一般地，形如y Ax B =+ ，c bx a
x
++2
或f
ex d c bx a y x x ++++=
2
2
的函数值域问题可运用判别式法（注意x 的取值
范围必须为实数集R ）.
(8) 单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域.对于形如
d cx b ax y +++=或d cx b ax y +++=的函数，当ac>0时可利用单调性法.
（9）有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域.因为常出现反解出y 的表达式的过程，故又常称此为反解有界性法.
(10) 导数法：先利用导数求出函数的极大值和极小值，再确定最大（小）值，从而求出函数的值域. 一 观察法 例 2.14 求函数1+=
x y 的值域.
分析 由观察法直接得到函数的值域.
解析 因为0≥x ，所以函数的值域为),1[+∞. 变式1 函数)(1
2
2
R x y x x ∈+=
的值域是 . 变式2 函数)(1
|||
|R x x x y ∈+=的值域是 . 二 配方法
例 2.15 求函数x
x y 2
45-
+=的值域.
分析 对于根式中的二次函数，利用配方法求解. 解析 由0452
≥-
+x
x ，得]5,1[-∈x .
[0,3]y ==.
变式1 求函数)
1(11
)(x x x f --=
的值域.
变式2 求x x x f -++=53)(的值域. 变式3 设函数)0()(2
<++=
a c bx a x f x 的定义域为D ，若所有点),()),(,(D t s t f s ∈构成一个正方
形区域，则a 的值为（ ）.
A -2
B -4
C -8
D 不能确定 三 图像法（数形结合）
例 2.16 求函数y =
.
分析 由函数表达式易联想到两点间距离公式，可将其转化为动点与两定点的距离之和. 解析 如图2-4所示，1)
1(1)
1(2
2
2
2
++
+=
-+x x y ，所示动点P （x,1）到两定点A （-1,0）和B
（1,0）的距离之和，作点B （1,0）关于直线y=1的对称点,
(1,2)B ，连接
B¹A 交y=1于点P¹（0,1）,此时AB¹的长即为PA 与PB 的长之和的最小值，点P¹（0,1）到A,B 两点的距
离之和为
[,+∞﹚.
评注 本题中也可看着动点P （x,0）与两定点A¹(-1,1),B¹(1,1)的距离之和，同理利用数形结合思想，
|PA¹|+|PB¹
|'''||A B ≥=|PA¹|+|PB¹|
的最小值为.
变式1 求函数y=|x+1|+|x-2|的值域. 变式2
函数()2)f x x π=
≤≤的值域是（ ）.
A
2⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
B []1,0- C
⎡⎤⎣⎦ D
⎡⎤⎣⎦
变式3
函数()f x =
的值域是（ ）.
A
665
5⎡⎢
⎣⎦ B
6355⎡⎢⎣⎦ C
2⎤
⎥⎣⎦
D
⎡-⎢⎣⎦
四 基本不等式法
例2.17 已知x>2,求函数245
()24
x x f x x -+=-的值域.
解析 令24(0,)t x =-∈+∞,则4
2
t x +=
， 22
4445412244t t t t y t t t ++⎛⎫
-⨯+ ⎪+⎝⎭===+
≥1=（当且仅当14t t
=，即t=2,x=3时取等号）.故函
变式1 求函数1
1
y x x =+
+的值域. 五、换元法（代数换元与三角换元）
【例2.18】求函数]2,1[,3243)(-∈+-⋅=x x f x
x
的值域.
解析 令]2,1[,2-∈=x t x
，则]4,21[∈t ，得]4,2
1[,332
∈+-=t t t y .因为函数332
+-=t t y 的对称轴
61=
t ，所以函数在区间]4,21[上单调递增，所以值域为]47,413[.故函数)(x f 的值域为]47,4
13
[.
变式1：求函数x x y -+=2的值域.
变式2：求函数22x x y -+=的值域.
六、分离常数法
【例2.19】求2
1
2++=x x e e y 的值域.
分析 本例中的函数是关于x
e 的齐次分式，故可以考虑使用分离常数法加以求解.
解析 由题意得2322342112+-=+-+=++=x x x x x e e e e e y ，因为0>x
e ，所以2
3230<+<x
e . 22
3
221,02323<+-<<+-<-
x x e e ，故值域为)2,21(.
变式1：求函数1
5
3--x x y 的值域.
变式2：求函数6
6
522-++-=x x x x y 的值域.
七、判别式法
【例2.20】求函数221
1
x x y x x -+=++的值域.
解析 因为04
3
)2
1(12
2
≠+
+=++x x x 恒成立，所以函数的定义域为R. 原式可化为1)1(2
2
+-=++x x x x y .整理得01)1()1(2
=-+++-y x y x y .若1=y ，即02=x ，即
0=x ；若1≠y ，因为R x ∈，即有0≥∆，所以0)1(4)1(22≥--+y y ，解得33
1
≤≤y 且1≠y .综上所
述，函数的值域为]3,3
1
[.
变式1：已知函数1
)(2++=x b
ax x f 的值域为]4,1[-，求b a ,的值.
变式2：已知函数1
8log )(2
23+++=x n
x mx x f 的定义域为R ，值域为]2,0[，求n m ,的值.
八、单调性法 【例2.21】求函数11++-=
x x y 的值域.
解析 由函数的定义域为),1[+∞，且函数11++-=
x x y 在区间),1[+∞上单调递增.当1=x 时，
2=y ，所以函数的值域为),2[+∞.
变式1：求函数11--+=x x y 的值域.
变式2：函数x x x f 3245)(---=的值域是_______________.
变式3：求函数225222+++++=x x x x y 的值域.
变式4：求函数225222++-++=x x x x y 的值域.
九、有界性法
【例2.22】求函数)(2
22
2
R x x x y ∈+=的值域. 解析 解法一（有界性法）：由题意可得y x y x y yx x x y 2)2(22222222
2
-=-⇒=+⇒+=，即有222--=
y y x ，由R x ∈，可知02
≥x ，故02
22≥--=
y y x ，可得20<≤y ，因此所求函数的值域为)2,0[. 解法二（分离常数法）：24224)2(2222+-=+-+=x x x y ，由R
x ∈，可知222
≥+x ，故22
402≤+<x ，因此函数的值域为)2,0[.
变式1：已知函数])1,0[(2
2∈+=x e e y x
x
，求函数的值域.
变式2：已知函数34)(,1)(2
-+-=-=x x x g e x f x
，若有)()(b f a f =，则b 的取值范围为（ ）
]22,22.[+-A )22,22.(+-B ]3,1.[C )3,1.(D
【例2.23】已知π<<x 0，求函数x
x
y sin cos 2-=
的值域.
解析 由x x y cos 2sin -=，得2cos sin =+x x y 2)sin(12=++⇒
ϕx y ，且y
1
tan =
ϕ，故11
2)sin(2
≤+=
+y x ϕ.得3≥y 或3-≤y .又0sin ),,0(>∈x x π，0cos 2>-x ，则0>y .故
3≥y .因此函数的值域为),3[+∞.
评注 本题也可以用数形结合思想求解，设x v x u cos ,sin =-=，则y 的几何意义为点)2,0(与点),(v u 所确定直线的斜率，其中),(v u 为单位圆在y 轴左侧部分.
变式1：已知)2,0[π∈x ，求函数x
x
y cos 2sin 1--=的值域.
十、导数法
【例2.24】求函数])3,3[(12)(3
-∈-=x x x x f 的值域.
解析 由0312)('2
=-=x x f ，得2,221=-=x x .由表21-看出，)(x f 的最大值
)(,16)}2(),3(m ax {)(max x f f f x f =-=的最小值16)}3(),2(m in{)(min -=-=f f x f ，故)(x f 的值域
为]16,16[-.
()
()
()
2-133,222,222,33()00()
9
9
x f x f x -----'-
+
-
-表极小值
极大值
评注 对于三次函数以及复杂的函数求值域一般都用导数法求解，此类解法在第三章导数中有更为系统的介绍.
变式1：若函数cx bx x y ++=2
3
在区间]0,(-∞及),2[+∞上都是增函数，而在)2,0(上是减函数，求此函数在]4,1[-上的值域.
最有效训练题
1.已知R a ∈，则下列函数中定义域和值域都可能是R 的是（ ）
a x y A +=2
. 1.2
+=ax y B 1.2
++=x ax y C 1.2
++=ax x y D 2.若函数3
44)(2
++-=
mx mx x x f 的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ）
R A . )43,0.(B ),43.(+∞C )4
3,0.[D
3.定义域为R 是函数)(x f y =的值域为],[b a ，则函数)(a x f y +=的值域是（ ） ],2.[b a a A + ],0.[a b B - ],.[b a C ],[b a a +-
4.函数x y 416-=的值域是（ ）
),0.[+∞A ]4,0.[B )4,0.[C )4,0.(D
5.设函数)(2)(2
R x x x g ∈-=，⎩
⎨⎧≥-<++=))(()())
((4)()(x g x x x g x g x x x g x f ，则)(x f 的值域是（ ）
),1(]0,49.[+∞-
A ),0.[+∞
B ),49.[+∞-
C ),2(]0,4
9
.[+∞- D 6.对任意两实数b a ,，定义运算“*”如下：⎩⎨⎧>≤=)()
(*b a b b a a b a 若若，函数x x x f 22
1log *)23(log )(-=的值域
为（ ）
)0,.(-∞A ),0.(+∞B ]0,.(-∞C ),0.[+∞D 7.函数)2lg(1x x y -++=的定义域是________________.
8.函数],0[,2
sin 1
cos π∈--=
x x x y 的值域为________________.
9.若函数)(x f y =的值域为]3,1[，则函数)3(21)(+-=x f x F 的值域是____________. 10.已知函数430(2
--=x x x f ，定义域为],0[m ，值域为]4,4
25
[--，则m 的取值范围是_________________. 11.求下列函数的定义域. （1）1|
|21
2-+-=
x x y ；
（2）02
)45()
34lg(-++=x x x y ；
（3）x x y cos lg 252+-=
；
（4）)34(log 2
5.0x x y -=； （5）x
e
y -=
11；
（6）2
29)2lg()(x
x x x f --=
；
（7）已知函数)(x f 的定义域是]4,2[-，求)3(2
x x f -的定义域； （8）已知函数)1(+x f 的定义域为]3,2[-，求)22(2
-x f 的定义域.
12.求下列函数的值域.
（1）)30(1422
≤≤+-=x x x y ； （2）x
x
y 2121+-=； （3）2234x x y -+-=；
（4）x x y 212-+=；
（5）21x x y -+=；
（6）x
x y sin 2sin -=
； （7）)1)(111(log 5.0>+-+=x x x y ； （8）1322+-+-=x x x x y .。