钢结构设计原理第六章
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查表
µ = 1.16
K2 =
柱
C2
： 1 = 6+6 =3 K 4
查表
柱 C4,C6：K = 10 = 1.67 K 2 = 10 1 2+4 柱
µ = 1.16
10 + 10 = 1.67 4+8
µ = 1.13
C5 ：
K1 =
10 + 10 = 1.67 4+8
K2 = 0
µ = 2.22
6.4.2实腹式压弯构件的设计 实腹式压弯构件的设计
6.2拉弯和压弯构件的强度 拉弯和压弯构件的强度
极限状态：截面出现塑性铰，图6.5（d）所示
Ν≤
A f
w
y
图6.5 压弯构件截面应力的发展过程
根据内外力的平衡条件 （1）当中心轴在腹板范围内（Ν ≤ 有
( 2α + 1) 2 • 4α + 1
A
x px
w
f
y
）时
N N
2 2 P
+
M M
= 1 （6.3）
得设计公式
β tx M x +η ≤ f ϕyA ϕ bW 1 x
ϕ
b
可采用简化计算公式 见 Ρ 1 4 9 ∼ Ρ 1 5 0
例6.3 （注册结构工程师考试题型）
某框架柱内力设计值为N=174.2KN，Mx=386.6KN·m ，已知该柱的，柱截面特征 见表6.1，材料采用Q235B钢，在其弯矩作用平面外以应力(N/mm2)形式表达的计 算数值与（ ）最接近。 提示：按B类截面查 截 面
（拉应力）
σ max − σ mim 180 + 52 = = 1.29 < 1.6 σ max 180
腹板： h0
640 235 = = 64 < (16α 0 + 0.5λx + 25) = 73.29 10 tw fy
+
N
ϕ X A γ W (1 − 0.8 N ) x 1x '
N Ex
β mx M x
= 202 N
mm
2
< f = 215 N
mm 2
⑷平面外稳定：
500 λy = = 73.3 < [ λ ] = 150 ϕ y = 0.73 0.82 λy2 fy ϕ b = 1.07 − i = 0.948 < 1.0 44000 235
6.3压弯构件的稳定 压弯构件的稳定
弯矩作用平面内——弯曲失稳 弯矩作用平面外——弯扭失稳 若弯矩为 M x ，则：验算对x轴稳定为平面内 验算对y轴稳定为平面外
6.3.1弯矩作用平面内的稳定 弯矩作用平面内的稳定
6.3.1.1边缘纤维屈服准则 边缘纤维屈服准则 两端铰接，沿杆长受均匀外弯矩的压弯杆
βmxMx N 174.2×103 1.0×386.6×106 + = + = 205.1N 2 2 mm ϕx A γ W (1−0.8 N ) 0.825×136.7×10 1.05×2000×103 ×(1−0.8174.2) x 1x NEx' 4781
6.3.2弯矩作用平面外的稳定 弯矩作用平面外的稳定 N Ey Mx 2 N N 弯扭失稳的临界条件为 (1 − )(1 − • )−( ) =0 N Ey N Ey Nz M τσ x
ϕ
y
，
ϕb = 0.981
IX(cm4) 56100
βtx = 0.65
Wx(cm3) 2550
η = 1.0
ix(cm) 18.9 iy(cm) 7.18
表6.2 柱截面特征（x 轴为强轴） A（cm2） 157.4
HM440×300×11×18
（A）151.1
(B) 164.3 (C) 184.9 (D) 208.1
截 面 A（cm2） 136.7 IX(cm4) 38900 Wx(cm3) 2000 ix(cm) 16.9 iy(cm) 7.2
HM390×300×10×16
（A）173.7 (B) 182.1 (C) 191.4 (D) 205.1 解： π 2 EA (3.14159) 2 × 206000 × 136.7 × 10 2 N Ex = = = 4781KN 1.1λ x 2 1.1 × 72.7 2
相关曲线如图：
图6.9
偏于安全的取
NZ =1 N Ey
( Mx 2 N 2 ) = (1 − ) M crx N Ey
(6.15)
有
Mx N + =1 N Ey M crx
取
N Ey = ϕ y Ai f y
N
M crx = ϕbW1x i f y
并引入 β t x , η , γ （6.16）
R
确定框架柱的计算长度时，只考虑与柱端直接相连的约束作用， 假设柱子开始失稳时相交于上、下两端节点的横梁对 柱子提供约束， 则
I1
有
K1 =
l1
3
+
I2
''
I3
l2 H
2
I
'''
H
+ I
K2 =
l1
+
I4
l2 H1
I ''
H2
I' +
根据 K1
K 2 ，查附表5.1或附表5.2（ P317）可得
µ ，柱与
例6.5 图6.14所示材料为Q235钢焰切边工字行截面柱，两端铰支，中 间1/3长度处有侧向支承，截面无削弱，承受轴心力的设计值为900KN， 跨中集中力设计值为100KN。试验算此构件的承载力。
图6.14
例 6.5 图
解：（1）截面几何特征 A=140.8㎝2 Ix=103475㎝4 Iy=6554㎝4 W1x=3117㎝3 ix=27.11㎝ iy=6.82㎝
6.拉弯和压弯构件 拉弯和压弯构件
6.1概述 概述
同时承受轴向力和弯矩的构件称为拉弯或压弯构件
图6.1 压弯构件
图6.2 压弯构件
应用：有节间作用的桁架上、下弦杆 应用： 厂房框架柱门式刚桁架，多、高层框架柱
图6.3 单层工业厂房框架柱 图6.4 多层框架柱 计算内容： 计算内容：拉弯构件：强度和刚度。 压弯构件：强度、整体稳定、局部稳定和刚度。
（1）框架柱和两端支承的构件 ①无横向荷载作用时，
βmx = 0.65 + 0.35 M 2 M
1
②有端弯矩和横向荷载同时作用
同向曲率
βmx =1.0
反向曲率
β mx = 0.85
③只有横向荷载作用时
β mx = 1.0
(2)悬臂构件 β mx = 1.0 单轴对称截面，适用于下式验算受拉区强度
β mx M x N − ≤ f N A γ W (1 − 1 .25 ) x 2x N Ex
基础铰接时，取
K 2 = 0 , 刚接时取 K 2 ≥ 10
一般由支撑构件的布置情况确定 例6.4 图示为一有侧移双层框架，图中圆圈内数字为横梁或柱子的线刚 度，试求各柱子在框架平面内的计算长度系数值
6.4.1.3 框架柱在框架平面外的计算长度
10 6 K2 = = 1.67 K 柱 C1,C3 ： 1 = = 3 2+4 2
Mx N 800 ×10 33.3 × 10 KN + = + = 292 KN 2 < f = 310 2 3 mm mm 2 An γ xWnx 42.1× 10 1.05 × 310 ×10
验算长细比： λx =
600 = 66.7 8.99
λy =
600 = 259 < [ λ ] = 350 2.32
MPx = γ xWnx f y
f
引入抗力分项系数，得
M x N + ≤ An γ xW n x
（6.6）
双向拉弯（或压弯）构件
My Mx N + + ≤ f An γ xW nx γ yW nx
13 235 b 235 < ≤ 15 fy t fy
(6.7)
时
γ x = 1.0
需计算疲劳时，
γ y = γ x = 1.0
所计算段为BC段， BC
βtx = 1.0
η = 1.0
βtx M x N N +η = 214.5 N 2 < f = 215 mm mm2 ϕy A ϕbW1x
⑸局部稳定验算： N M h σ max = + X i 0 = 180 N mm 2 A Ix 2
σ mim =
α0 =
N M X h0 − i = 52 N mm 2 A Ix 2
= fy
（6.12）
6.1.3实腹式压弯构件整体稳定设计计算式 实腹式压弯构件整体稳定设计计算式
β mx M x N + = f ϕ x A γ W (1 − 0.8 N ) 1x x N Ex '
（6.13）
N——轴向压力设计值 Mx——所计算构件范围内的最大弯矩 W1x——最大受压纤维的毛截面模量 π 2 EA ' N Ex = (1.1λ x 2 ) β mx ——等效弯矩系数，取值如下：
N
ϕxA
+
M
x
W 1 x (1 − ϕ x
N ) N Ex
= f y （6.11）
适用于格构式构件
6.3.1.2最大强度准则 最大强度准则
采用数值计算方法，考虑构件初弯曲和残余应力分布，计算近200条压 弯构件极限承载力曲线
采用相关公式： ϕ A x
N
+
M
x
N W p x (1 − 0 .8 ) N Ex
（6.20）
6.3.4 压弯构件的局部稳定
采用限制板件的宽厚比 表6.3 压弯构件（弯矩作用在截面的竖直平面）的板的宽厚比限值 ( σ m a x − σ m in ) （表中取 ） 30 ≤ λ ≤ 100 α 0 = σ m ax
6.4 压弯构件（框架柱）的设计 压弯构件（框架柱）
6.4.1 框架柱的计算长度 6.4.1.1 单层厂房等截面框架柱在框架平面内的计算长度 有侧移，无侧移框架柱的失稳形式如图6.10
450 = 62.7 解： iy 7.18 查附表4.2（b类）得： ϕ y = 0.793
Leabharlann Baidu
λy =
loy
=
βtx Mx N 310×103 0.65× 486×106 +η = +1.0× = 151.1N 2 mm ϕx A ϕbW1x 0.973×157.4×102 0.981× 2550×103
6.3.3双向弯曲实腹式压弯构件的整体稳定 双向弯曲实腹式压弯构件的整体稳定
双轴对称工字形截面（含H型钢）和箱形截面
βtyMy βmxMx N + + ≤f ϕx A γ W (1− 0.8 N ) ϕbyW y 1 x 1x NEx'
（6.19）
βmyMy N βtxMx +η + ≤f ϕy A ϕbxWx γ W (1−0.8 N ) 1 y 1y NEy'
(6.14)
例6.2（注册结构工程师考试题型）
某框架柱内力设计值为N=174.2KN，Mx=386.6KN·m ，已知该柱 的柱截面特征见表6.1，材料采用Q235B钢，在其弯矩作用平面内 以应力(N/mm2)形式表达的计算数值与（ ）最接近。 β mx = 1.0 提示： ϕ x = 0.825 π = 3.14159 表6.1 柱截面特征（x轴为强轴）
α
=
A A
f w
(2)当中和轴在翼缘范围内即（ Ν >
有
Mx N 4α + 1 + • =1 NP 2 ( 2 α + 1) M p x
A f
w
）时
y
(6.4)
规范简化为直线相关公式 Mx N + ≤ f N P γ X W nx
（6.5）
图6.6 拉弯和压弯构件强度相关曲线
令
N P = An f y
横梁对柱的约束作用由 K1 来反应（梁线刚度与柱线刚度之比） 边柱： K
I1
1
I1
=
l H
I
中柱： K = 1
l1 I
+
I2
l2
H
则 计算长度
H 0 = µ iH
K1以及柱与基础的连接形式有关，可查
µ与
表6.5 （
P ） 154
6.4.1.2 多层等截面框架柱在框架截面内的计算长度
失稳形式如图6.11（多层框架的失稳形式 ）
6.4.2.1截面形式： 截面形式： 截面形式 弯矩较小时，采用与轴压构件相同的截面形式 弯矩较大时，采用在弯矩作用平面内截面高度较大的形式
图 6.13 弯矩较大的实腹式压弯构件的截面形式
6.4.2.2 截面选择验算
验算内容：①强度 ②整体稳定：弯矩作用平面内 弯矩作用平面外 ③局部稳定 ④刚度
6.4.2.2构造要求 构造要求
1 ⑵验算强度： M x = × 100 × 15 = 375 K N i m 4 M x N + = 1 7 8 .5 N mm2 An γ xW n x
⑶平面内稳定：λx
1500 = = 55.3 < [ λ ] = 150 ϕ x = 0.831 27.11 π 2 EA N Ex ' = = 8510 KN 2 β mx = 1.0 1.1λx
例6.1
图6.7所示的拉弯构件，间接承受动力荷载，轴向拉力的设计值为800KN, 横向均布荷载的设计值为7KN/m，试选择其截面，设计截面无削弱，材 料为Q345
解： 设采用普通工字钢I22a，截面积A=42.1cm2 ,自重重力0.33KN/m， Wx=310cm2,ix=8.99cm, iy=2.32cm 1 M x = × (7 + 0.33 × 1.2) × 62 = 33.3KN im 验算强度： 8 3 6
µ = 1.16
K2 =
柱
C2
： 1 = 6+6 =3 K 4
查表
柱 C4,C6：K = 10 = 1.67 K 2 = 10 1 2+4 柱
µ = 1.16
10 + 10 = 1.67 4+8
µ = 1.13
C5 ：
K1 =
10 + 10 = 1.67 4+8
K2 = 0
µ = 2.22
6.4.2实腹式压弯构件的设计 实腹式压弯构件的设计
6.2拉弯和压弯构件的强度 拉弯和压弯构件的强度
极限状态：截面出现塑性铰，图6.5（d）所示
Ν≤
A f
w
y
图6.5 压弯构件截面应力的发展过程
根据内外力的平衡条件 （1）当中心轴在腹板范围内（Ν ≤ 有
( 2α + 1) 2 • 4α + 1
A
x px
w
f
y
）时
N N
2 2 P
+
M M
= 1 （6.3）
得设计公式
β tx M x +η ≤ f ϕyA ϕ bW 1 x
ϕ
b
可采用简化计算公式 见 Ρ 1 4 9 ∼ Ρ 1 5 0
例6.3 （注册结构工程师考试题型）
某框架柱内力设计值为N=174.2KN，Mx=386.6KN·m ，已知该柱的，柱截面特征 见表6.1，材料采用Q235B钢，在其弯矩作用平面外以应力(N/mm2)形式表达的计 算数值与（ ）最接近。 提示：按B类截面查 截 面
（拉应力）
σ max − σ mim 180 + 52 = = 1.29 < 1.6 σ max 180
腹板： h0
640 235 = = 64 < (16α 0 + 0.5λx + 25) = 73.29 10 tw fy
+
N
ϕ X A γ W (1 − 0.8 N ) x 1x '
N Ex
β mx M x
= 202 N
mm
2
< f = 215 N
mm 2
⑷平面外稳定：
500 λy = = 73.3 < [ λ ] = 150 ϕ y = 0.73 0.82 λy2 fy ϕ b = 1.07 − i = 0.948 < 1.0 44000 235
6.3压弯构件的稳定 压弯构件的稳定
弯矩作用平面内——弯曲失稳 弯矩作用平面外——弯扭失稳 若弯矩为 M x ，则：验算对x轴稳定为平面内 验算对y轴稳定为平面外
6.3.1弯矩作用平面内的稳定 弯矩作用平面内的稳定
6.3.1.1边缘纤维屈服准则 边缘纤维屈服准则 两端铰接，沿杆长受均匀外弯矩的压弯杆
βmxMx N 174.2×103 1.0×386.6×106 + = + = 205.1N 2 2 mm ϕx A γ W (1−0.8 N ) 0.825×136.7×10 1.05×2000×103 ×(1−0.8174.2) x 1x NEx' 4781
6.3.2弯矩作用平面外的稳定 弯矩作用平面外的稳定 N Ey Mx 2 N N 弯扭失稳的临界条件为 (1 − )(1 − • )−( ) =0 N Ey N Ey Nz M τσ x
ϕ
y
，
ϕb = 0.981
IX(cm4) 56100
βtx = 0.65
Wx(cm3) 2550
η = 1.0
ix(cm) 18.9 iy(cm) 7.18
表6.2 柱截面特征（x 轴为强轴） A（cm2） 157.4
HM440×300×11×18
（A）151.1
(B) 164.3 (C) 184.9 (D) 208.1
截 面 A（cm2） 136.7 IX(cm4) 38900 Wx(cm3) 2000 ix(cm) 16.9 iy(cm) 7.2
HM390×300×10×16
（A）173.7 (B) 182.1 (C) 191.4 (D) 205.1 解： π 2 EA (3.14159) 2 × 206000 × 136.7 × 10 2 N Ex = = = 4781KN 1.1λ x 2 1.1 × 72.7 2
相关曲线如图：
图6.9
偏于安全的取
NZ =1 N Ey
( Mx 2 N 2 ) = (1 − ) M crx N Ey
(6.15)
有
Mx N + =1 N Ey M crx
取
N Ey = ϕ y Ai f y
N
M crx = ϕbW1x i f y
并引入 β t x , η , γ （6.16）
R
确定框架柱的计算长度时，只考虑与柱端直接相连的约束作用， 假设柱子开始失稳时相交于上、下两端节点的横梁对 柱子提供约束， 则
I1
有
K1 =
l1
3
+
I2
''
I3
l2 H
2
I
'''
H
+ I
K2 =
l1
+
I4
l2 H1
I ''
H2
I' +
根据 K1
K 2 ，查附表5.1或附表5.2（ P317）可得
µ ，柱与
例6.5 图6.14所示材料为Q235钢焰切边工字行截面柱，两端铰支，中 间1/3长度处有侧向支承，截面无削弱，承受轴心力的设计值为900KN， 跨中集中力设计值为100KN。试验算此构件的承载力。
图6.14
例 6.5 图
解：（1）截面几何特征 A=140.8㎝2 Ix=103475㎝4 Iy=6554㎝4 W1x=3117㎝3 ix=27.11㎝ iy=6.82㎝
6.拉弯和压弯构件 拉弯和压弯构件
6.1概述 概述
同时承受轴向力和弯矩的构件称为拉弯或压弯构件
图6.1 压弯构件
图6.2 压弯构件
应用：有节间作用的桁架上、下弦杆 应用： 厂房框架柱门式刚桁架，多、高层框架柱
图6.3 单层工业厂房框架柱 图6.4 多层框架柱 计算内容： 计算内容：拉弯构件：强度和刚度。 压弯构件：强度、整体稳定、局部稳定和刚度。
（1）框架柱和两端支承的构件 ①无横向荷载作用时，
βmx = 0.65 + 0.35 M 2 M
1
②有端弯矩和横向荷载同时作用
同向曲率
βmx =1.0
反向曲率
β mx = 0.85
③只有横向荷载作用时
β mx = 1.0
(2)悬臂构件 β mx = 1.0 单轴对称截面，适用于下式验算受拉区强度
β mx M x N − ≤ f N A γ W (1 − 1 .25 ) x 2x N Ex
基础铰接时，取
K 2 = 0 , 刚接时取 K 2 ≥ 10
一般由支撑构件的布置情况确定 例6.4 图示为一有侧移双层框架，图中圆圈内数字为横梁或柱子的线刚 度，试求各柱子在框架平面内的计算长度系数值
6.4.1.3 框架柱在框架平面外的计算长度
10 6 K2 = = 1.67 K 柱 C1,C3 ： 1 = = 3 2+4 2
Mx N 800 ×10 33.3 × 10 KN + = + = 292 KN 2 < f = 310 2 3 mm mm 2 An γ xWnx 42.1× 10 1.05 × 310 ×10
验算长细比： λx =
600 = 66.7 8.99
λy =
600 = 259 < [ λ ] = 350 2.32
MPx = γ xWnx f y
f
引入抗力分项系数，得
M x N + ≤ An γ xW n x
（6.6）
双向拉弯（或压弯）构件
My Mx N + + ≤ f An γ xW nx γ yW nx
13 235 b 235 < ≤ 15 fy t fy
(6.7)
时
γ x = 1.0
需计算疲劳时，
γ y = γ x = 1.0
所计算段为BC段， BC
βtx = 1.0
η = 1.0
βtx M x N N +η = 214.5 N 2 < f = 215 mm mm2 ϕy A ϕbW1x
⑸局部稳定验算： N M h σ max = + X i 0 = 180 N mm 2 A Ix 2
σ mim =
α0 =
N M X h0 − i = 52 N mm 2 A Ix 2
= fy
（6.12）
6.1.3实腹式压弯构件整体稳定设计计算式 实腹式压弯构件整体稳定设计计算式
β mx M x N + = f ϕ x A γ W (1 − 0.8 N ) 1x x N Ex '
（6.13）
N——轴向压力设计值 Mx——所计算构件范围内的最大弯矩 W1x——最大受压纤维的毛截面模量 π 2 EA ' N Ex = (1.1λ x 2 ) β mx ——等效弯矩系数，取值如下：
N
ϕxA
+
M
x
W 1 x (1 − ϕ x
N ) N Ex
= f y （6.11）
适用于格构式构件
6.3.1.2最大强度准则 最大强度准则
采用数值计算方法，考虑构件初弯曲和残余应力分布，计算近200条压 弯构件极限承载力曲线
采用相关公式： ϕ A x
N
+
M
x
N W p x (1 − 0 .8 ) N Ex
（6.20）
6.3.4 压弯构件的局部稳定
采用限制板件的宽厚比 表6.3 压弯构件（弯矩作用在截面的竖直平面）的板的宽厚比限值 ( σ m a x − σ m in ) （表中取 ） 30 ≤ λ ≤ 100 α 0 = σ m ax
6.4 压弯构件（框架柱）的设计 压弯构件（框架柱）
6.4.1 框架柱的计算长度 6.4.1.1 单层厂房等截面框架柱在框架平面内的计算长度 有侧移，无侧移框架柱的失稳形式如图6.10
450 = 62.7 解： iy 7.18 查附表4.2（b类）得： ϕ y = 0.793
Leabharlann Baidu
λy =
loy
=
βtx Mx N 310×103 0.65× 486×106 +η = +1.0× = 151.1N 2 mm ϕx A ϕbW1x 0.973×157.4×102 0.981× 2550×103
6.3.3双向弯曲实腹式压弯构件的整体稳定 双向弯曲实腹式压弯构件的整体稳定
双轴对称工字形截面（含H型钢）和箱形截面
βtyMy βmxMx N + + ≤f ϕx A γ W (1− 0.8 N ) ϕbyW y 1 x 1x NEx'
（6.19）
βmyMy N βtxMx +η + ≤f ϕy A ϕbxWx γ W (1−0.8 N ) 1 y 1y NEy'
(6.14)
例6.2（注册结构工程师考试题型）
某框架柱内力设计值为N=174.2KN，Mx=386.6KN·m ，已知该柱 的柱截面特征见表6.1，材料采用Q235B钢，在其弯矩作用平面内 以应力(N/mm2)形式表达的计算数值与（ ）最接近。 β mx = 1.0 提示： ϕ x = 0.825 π = 3.14159 表6.1 柱截面特征（x轴为强轴）
α
=
A A
f w
(2)当中和轴在翼缘范围内即（ Ν >
有
Mx N 4α + 1 + • =1 NP 2 ( 2 α + 1) M p x
A f
w
）时
y
(6.4)
规范简化为直线相关公式 Mx N + ≤ f N P γ X W nx
（6.5）
图6.6 拉弯和压弯构件强度相关曲线
令
N P = An f y
横梁对柱的约束作用由 K1 来反应（梁线刚度与柱线刚度之比） 边柱： K
I1
1
I1
=
l H
I
中柱： K = 1
l1 I
+
I2
l2
H
则 计算长度
H 0 = µ iH
K1以及柱与基础的连接形式有关，可查
µ与
表6.5 （
P ） 154
6.4.1.2 多层等截面框架柱在框架截面内的计算长度
失稳形式如图6.11（多层框架的失稳形式 ）
6.4.2.1截面形式： 截面形式： 截面形式 弯矩较小时，采用与轴压构件相同的截面形式 弯矩较大时，采用在弯矩作用平面内截面高度较大的形式
图 6.13 弯矩较大的实腹式压弯构件的截面形式
6.4.2.2 截面选择验算
验算内容：①强度 ②整体稳定：弯矩作用平面内 弯矩作用平面外 ③局部稳定 ④刚度
6.4.2.2构造要求 构造要求
1 ⑵验算强度： M x = × 100 × 15 = 375 K N i m 4 M x N + = 1 7 8 .5 N mm2 An γ xW n x
⑶平面内稳定：λx
1500 = = 55.3 < [ λ ] = 150 ϕ x = 0.831 27.11 π 2 EA N Ex ' = = 8510 KN 2 β mx = 1.0 1.1λx
例6.1
图6.7所示的拉弯构件，间接承受动力荷载，轴向拉力的设计值为800KN, 横向均布荷载的设计值为7KN/m，试选择其截面，设计截面无削弱，材 料为Q345
解： 设采用普通工字钢I22a，截面积A=42.1cm2 ,自重重力0.33KN/m， Wx=310cm2,ix=8.99cm, iy=2.32cm 1 M x = × (7 + 0.33 × 1.2) × 62 = 33.3KN im 验算强度： 8 3 6