球面距离计算

球面距离问题的求解

玉邴图

在高中数学课本和中学数学报刊资料中，关于球面距离问题仅给出定义，相关概念和例题论述较少，而在高考、竞赛及实际生活中，涉及球面问题的却有许多，且有一定的难度，为解决这个难点，本文介绍一个球心角定理及其推论，然后举例说明它们的应用，其过程反映了球面距离问题的一种求解方法，供读者参考。

一、几个相关概念

纬度：经过某一点的地球的半径与赤道所在的大圆面所成的角。

经度：经过某一点的经线和地轴确定的半平面与本初子午线和地轴确定的半平面所成的二面角的度数。

两地的位置关系：地球上两点A、B的位置关系有以下三种：

（1）A、B两地经度相同，纬度不同；

（2）A、B两地纬度相同，经度不同；

（3）A、B两地纬度不同，经度也不同。

球面距离：某两点的大圆在这两点的一段劣弧的长度，即A、B两点的球面距离为弧AB=（其中是A、B两点的球心角，单位为弧度制，R为球的半径）。

所以求球面距离问题的本质就是求出球心角。

二、有关定理及其推论

为了方便叙述，本文采用有向角的概念，规定东经为正，西经为负，北纬为正，南纬为负，例如西经记为，南纬记为。

于是我们有如下的球心角的余弦定理。

定理1 设A、B是地球表面上的任意两地，A地的经度为，纬度为，B地的

经度为，纬度为，地球的中心为O，球心角∠AOB=（），则

。

证明：设地球半径为，A、B两地所在的纬度圈分别为圆和圆，由球的截

面性质知⊥圆，⊥圆，且两圆所在的平面平行，故知，O、三点共线，由有向角的概念知

。（1）

设NOS为地轴，在半圆面NSA内，作所在的平面，垂足为，则

，，在三角形中，由余弦定理得

（2）

当∠时，因为有，故（2）也成立，在直角三角形中，由勾股定理得

（3）

将（1）、（2）代入（3）得

（4）

在三角形AOB中，由余弦定理得

（5）

将（4）代入（5）代简得。

有了定理1，我们容易得到地球表面上的任意两地的距离公式。

定理2 设A、B是地球表面上的任意两地，A地的经度为，纬度为，B地的经度为，纬度为，地球的半径为R，则A、B两地的球面距离为劣弧

AB=

。

证明：设A、B两地的球心角为，则由定理1得

，

所以，，

所以，A、B两地的球面距离为劣弧

AB=。

推论1 若A、B两地位于同一经度，则（1）；

（2）球面距离。

证明：因为，由定理1、定理2即可得证。

推论2 若A、B两地位于同一纬度，则

（1）；

（2）球面距离。

证明：因为，由定理1、定理2即可得证。

推论3 若A、B两地经度差为，则

（1）；

（2）球面距离。

证明：因为，由定理1、定理2即可得证。

推论4 若A、B两地经度差为，则

（1）；

（2）球面距离.

证明：因为，由定理1、定理2即可得证。

推论5 若A、B两地位于同一纬度，经度差为，则。

证明：由题意及推论2得

。

所以。

由纬度定义知，所以。

这些公式虽然在考试中不能直接使用，但若我们掌握了它们的证明思路后，则球面距离问题便迎刃而解。

三、应用例说

例1（2004年希望杯培训题）设A、B两地分别位于东经、南纬和西经、北纬，O是地球中心，试求∠AOB的大小（小于平角的一个）。

解：因为，，，，由定理1得

，故知∠AOB=。

例2（2003年吉林省高中数学竞赛题）设地球半径为R，球面上有两点A、B，其中A点在北纬，B点在南纬，A、B两点经度相同，求A、B两点的球面距离。

解：因为，由题意和推论1的（2）得劣弧BA=

。所以A、B两点的球面距离是。

例3 （2005年全国高考山东卷）已知地球半径为R，球面上有两点A、B，其中A点在北纬东经，B点在南纬东经，求A、B两点的球面距离。

解：，，由题意和推论1的（2）得，故A、B两点的球面距离劣弧

。

例4（2006年全国高考浙江卷）已知A、B、C三点在球心为O、半径为1的球面上，且OA、OB、OC两两互相垂直，E、F分别是大圆弧AB和大圆弧AC的中点，求E、F两点的球面距离。

解：将A点放在北极端点上，B、C两点放在赤道线上，画出图形结合已知条件可知E、F两点的纬度均为，即，两点的经度差为，故由推论

3的（1）得，所以球心角，

所以A、B两点的球面距离是

。

例5（2006年全国高考北京卷）已知A、B、C三点在球心为O、半径为R的球面上，AC⊥BC，AB=R，求A、B两点的球面距离。

解：画出图形结合已知条件可知A、B两点的纬度均为，即，两

点的经度差为，故由推论4的（1）得，所以球心角，所以A、B两点的球面距离是。

例6（2006年全国高考四川卷）已知A、B、C三点在球心为O、半径为1的球面上，A、B两点的球面距离是，A、C两点的球面距离是，B、C两点的球面距离是，求二面角C-OA-B的大小。

解：将A点放在北极端点上，B点放在本初子午线上，画出图形结合已知条件可

知B、C两点的纬度均为，即，球心角，故由推论2的（1）

得，所以两点的经度差为，故知二面角C-OA-B的大小。

例7（2007年高考四川卷）设球O的半径为1，A、B、C是球面上三点，已知A

到B、C两点的球面距离都是，且二面角的大小为，则从点A沿球面经B、C两点再回到A点的最短距离是___________。

解：因为球O的半径为1，故由题意知∠AOB=∠AOC=，又二面角的大小为，所以B、C都在0弧度纬度上（赤道线上），经度差为，故由推论2的（2）知B、C两点的球面距离BC=。

所以点A沿球面经B、C两点再回到A点的最短距离是。

例8 地球上有两地A、B都位于同一纬度为的圆圈上，它们的经度差为，求A、B两地的球面距离（地球的半径为R）。

解：由题意及推论5得，所以A、B两地的球面距离。（角度以度为单位）。

例9 众所周知，第28届奥运会已于2004年在希腊首都雅典举行，它们于东经

北纬，而第29届奥运会将于2008年在我国首都北京举行，它位于东经北纬，你能计算北京和雅典的球面距离吗？

解：设雅典的经度为，纬度为，北京的经度为，纬度为，从地图上可知，，，，将它们代入定理1的（1）查表计算得