基于van Genuchten-Mualem模型的饱和-非饱和介质流动随机数值分析

法分解 把压力水头表示为多项式 通过摄动方法得到一系列关于水头展开式的偏微分方程 用有限差分法
进行求解 获得了压力水头的随机描述 并计算其均值和方差 应用本文的随机模型研究了二维非饱和以及饱和
非饱和介质流动的实例 结果与动量方法的计算结果一致 而且计算效率高于传统的动量方法
关键词 随机模型 饱和 非饱和流
饱和 非饱和流的随机偏微分方程
饱和 非饱和介质中的水流运动满足以下控制方程
初始条件和边界条件如下
收稿日期
基金项目 国家自然科学基金项目资助
作者简介 李少龙
男 湖北人 博士生 主要从事地下水环境方面的研究
式中
为
流速
为压力水头
为源汇项
为容水度
导度 为空间向量 方向以向上为正
为边界上的单位外Βιβλιοθήκη Baidu线向量
为水力传 和
均水头相同 图
两者计算的水头标准差存在一点偏差 图
计算水头标准差 谱方法只需
要展开前 项就可获得与动量方法近似的结果 项以后的展开项对结果没有太大影响
将上边界的入渗率提高到 ? 同时增大 和
的变异性 取
计
算结果如图 所示 可以看到 计算水头标准差需要 展开前 项 在该例中 谱方法和动量方法的
计算结果也有一点偏差 通过模拟 可以发现水头标准差在离开下边界后快速增加 到达重力占优区后
基本保持不变 接近上边界时又增加 这一计算结果与动量方法的结果 是一致的
图 两种方法计算水头统计矩的比较
从这两个算例可以看到 随着输入方差和入渗率的加大 要求 展开 和
的项数也在同
时增加 当展开达到一定项数后 后面的展开项对结果的影响是很小的 这样 我们就可以用较少的展
开项获得较好的近似结果 本文还用谱方法将水头计算到二阶 结果表明水头的二阶展开项对平均水
不相关的情况 当将 和
作为随机场时
就成为随机偏微分方程 它的解不再是
确定性的值 而是具有一定概率分布的随机函数
随机场的数学描述
随机场的
展开 空间随机函数
谱展开的基础上进行的 有界 对称 正定的
数构成了一个完备集 随机场的 展开为
的 展开是在
的协方差函数
具有相互正交的特征函数 这些特征函
式中
为随机空间函数的均值
水力坡度明显增大 最大的水头标准差也出现在弱透水层处
结论
本文联合运用
展开 混沌多项式展开和摄动方法 对饱和 非饱和流问题进行随机
图 饱和 非饱和介质中的平均流场和水头标准差
图 含弱透水层的饱和 非饱和介质中的平均流场和水头标准差
数值分析 将土壤特性参数作为随机场 采用 展开 水头用混沌多项式展开 通过摄动方法 推导
的次数与区域剖分的节点数目 成正比 而谱方法与 展开项数 成正比 较 明显要小很多
理论分析和计算结果都表明 谱方法比动量方法有更高的计算效率 因而也具有较好的实用性
与已有的一些随机模型不同 本文采用了
非饱和水分特征模型 本文的随机
模型考虑了饱和水力传导度 和孔隙分布参数 的空间变异性 但是忽略了模型参数 的变异性 为
上面第二个例子中 动量方法求解摄动方程大约 次 计算耗时 而谱方法仅求解了约 次 计
算耗时 很明显 基于 展开的谱方法的计算效率高于动量方法
饱和 非饱和土壤中的水流 模拟区域为宽
长
的剖面 剖分为
个单元 上边
界给定入渗率 ? 下边界为隔水边界 左右边界的下部分为定水头边界 水头分别为
和
上部分为无流量边界 其它参数为 饱和水力传导度的几何平均
为零均值正交随机变量序列
和 分别为协方差
的特征函数和对应的特征值
与已有的随机模型的处理一样 本文假定 和
是二阶平稳随机场 其协方差函数为离散指
数型 在二维情况下有
式中 空间向量
为随机空间函数的方差 和 分别是两个方向上的相
关长度
对于矩形区域
可以获得特征函数和特征值的解析解
将和
表示为均值和扰动之和
对于 和
分别为初始水头 一类边界水头和二类边界流量
非饱和水力传导度和容水度是水头和空间位置的函数 显然需要通过数学模型来表征它们的函数
关系 常用的经验模型有
模型和
模型 已有的随机分析大多采用相
对简单的
模型
模型在数学形式上较
模型复杂 但是
它能较好地拟合田间实验数据 目前在国际国内应用广泛 本文采用
模型
?
式中
为饱和水力传导度
不相关的情况 可以用两个相互独立的正交随机变量序列
和
将它们
分别用 展开表示
随机场的混沌多项式展开 由于待求的 展开 可将水头用混沌多项式展开
的协方差函数事先无法知道 因此不能采用
式中 在
们都是
是 阶混沌多项式 通常采用
多项式
中的所有项都是相互正交的 构成了二阶随机函数空间的一个基
的多项式 因此可将式 表示为以下形式
得到了一系列关于水头展开的确定性偏微分方程 最后用有限差分法求解 得到水头的随机描述后 利
用高斯正交随机变量的性质 统计矩可以从水头的随机描述中直接得到
通过非饱和流以及饱和 非饱和流的实例分析 并将模拟结果与动量方法进行比较 本文阐述了基
于 展开的随机模型的正确性和应用性 将统计矩计算到随机输入方差的一阶 动量方法求解方程
基本保持不变 最后在上边界处取得最大值 在饱和 非饱和介质中 流动矩的空间变异性较单独的饱
和区或非饱和区都要复杂得多 本文的模拟结果和文献 是一致的
此外 本文还考察了介质非平稳特性对水头统计矩的影响 在上例的基础上 嵌入饱和水力传导度
的几何平均
? 的弱透水层 该土层厚
宽
其中心位于地面以下
其余参数
不变 模拟结果如图 所示 可以看到介质的非平稳特性加剧了流动矩的空间变异性 弱透水层处的
了更为全面的掌握土壤参数空间变异性对地下水运动的影响 还必须进一步探索多随机输入情况下的
随机模型分析方法
参考文献
杨金忠 蔡树英 黄冠华 叶自桐 多孔介质中水分及溶质运移的随机理论 北京 科学出版社
责任编辑 吕斌秀
项都需要求解 只需
求解关于
项的摄动方程 这些性质使得数值计算具有较高的效率
实例分析
非饱和土壤中的入渗 本文考虑剖面二维流问题 模拟矩形区域为
下边界为定水头边界
左右边界为隔水边界 输入参数如下
何平均
?
?
上边界为入渗边界 即饱和水力传导度的几
图 两种方法计算的水头均值和标准差
图 为分别用谱方法和动量方法计算的水头统计矩 谱方法得到的零阶平均水头与动量方法的平
差分法求解 用中心差分近似空间导数 用隐式差分近似时间导数 零阶方程是非线性的 采用迭代法
求解 线性的高阶方程按照顺序逐一求解 值得指出的是 所有的摄动方程除了
这些项不同以外 都具有相同的形式 因此在每个时间步长 基本的系数矩阵只需计算一次 没有必要对
每个方程都重新计算系数矩阵 另外 水头展开到二阶后 并不是所有的
年月 文章编号
水利学报
第 卷第期
基于
模型的饱和 非饱和 介质流动随机数值分析
李少龙 杨金忠 蔡树英
武汉大学 水资源与水电工程科学国家重点实验室 湖北 武汉
摘要 基于
非饱和水分特征模型 联合运用
展开法 混沌多项式展开以及摄动
方法 对饱和 非饱和流问题进行随机数值分析 将土壤特性参数假定为协方差已知的随机函数 并按
当
时 可以得到零阶平均水流方程 当
可以得到相应阶数的水流方程 这些方程中包
含有随机变量序列
和
结合随机微分方程的扰动展开 可以得到如下确定性偏微分方
程
式中 分别为 和 求解这些方程后就可得到水头的随机描述 水头的统计矩也可以通过计算得到
式
式 都是确定性的偏微分方程 可以用现有的任何一种数值方法求解 本文采用有限
为孔隙分布参数 为模型参数 有
?
?
为有效饱和度
分别是有效体积含水率 饱和体积含水率以及残余体积含水率 其中
从式 可以看出
因此式 是水力传导度的一个通式
容水度
?
由式 可得
?
?
式中 是贮水率
本文将对数饱和水力传导度
和对数孔隙分布参数
假定为服从正态
分布的随机场 并且协方差函数已知 这一假定与文献 一致 为使问题简化 本文仅研究 和
展开 数值分析
中图分类号
文献标识码
由于土壤和含水层的地质沉积过程的随机性 含水层的水文地质特征以及土壤的结构 构造和组成
等特性具有明显的空间变异性 在孔隙介质空间变异性的影响下 地下水运动和溶质运移具有不确定
性 近 多年来 已有大量的随机模型应用于水流和溶质运移的不确定性研究
研究方法主要
包括
模拟和动量方法
?
流动达到稳定状态时的模拟结果如图 所示 图 中 实线为总水头的等势线 带箭头的实线为
流线 在非饱和区 水流是垂直下渗的 在饱和区 由于左边界的总水头高于右边界的总水头 产生了从
左向右的平均流动 水头标准差如图 所示 在饱和区 水头标准差在边界处为 离开边界后逐渐
增加 在区域中心附近达到最大值 在非饱和区 由水面向上水头标准差迅速增大 到达重力占优区后
由于它
考虑到 和
的 展开 有
当式 和式 中的确定性系数计算出来后 就可以获得
淆的情况下 将
省略
的所有概率特征 后面在不引起混
摄动方程
为了数学上处理方便 利用变换
由式 可得
?
水头
的变异性依赖于 和
将这些函数展开为级数形式
同时将这些级数展开和式 代入式 式
的变异性 而
和
合并同阶项后可得
的变异性又依赖于 利用式
模拟是在概念上比较直接的求解随机偏微分方程的方
法 但是计算工作量非常大 一般用来检验其它随机方法的正确性 动量方法应用广泛 通过摄动展开
得到统计矩的偏微分方程 然后求解 动量方法也需较大的计算量 一般仅计算一阶解 近来 联合运
用
展开 展开 混沌多项式展开和摄动展开的谱分析方法发展起来 该方法具有较
高的计算效率 已经用于求解稳定饱和流问题 和非稳定饱和流问题 最近此方法应用到饱和 非饱
头计算结果的影响不大 从图 和图 还看到 谱方法和动量方法的计算结果有一点差异 可能是由于
求解方程时的数值误差引起的 然而偏差很小 表明本文的随机模型是正确的
为了计算水头方差 动量方法在处理两随机场的情况下 必须在所有的节点上求解关于
的摄动方程 求解次数约为节点数目的 倍 而基于 展开的
谱方法 只需求解少量的关于水头展开系数的摄动方程 求解次数约为 展开截断项 的 倍 在
和流问题
本文在采用
非饱和水分特征模型的基础上 联合运用 展开 混沌多项式
展开和摄动方法 对饱和 非饱和流问题进行随机数值分析 首先 将土壤特性参数用 展开 同时
将水头表示为多项式展开 然后通过摄动方法得到一系列关于水头展开的偏微分方程 并用有限差分法
进行求解 水头的统计矩可通过它的随机描述直接计算得到