概率论与数理统计大纲各章节作业

第一章随机事件与概率
1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件A,B,C分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。

试写出样本空间及事件AB,C中的样本点。

解：Q ={(正，正),(正，反),(反，正),(反，反)}；
A={(正，反)，(正，正)}；
B={(正，正),(反，反)}；
C={(正，反),(正，正)，(反，正)}。

2. 设P(A) 1 , P(B) 1，试就以下三种情况分别求P( BA):
3 2
(1) AB , (2) A B , (3) P(AB) 1
8
解：
(1)P(BA)P(B AB)P(B)P(AB)P(B)0.5
(2)P(BA)P(B AB)P(B)P(AB)P(B)P(A) 0.5 1/3 1/6
(3)P(BA)P(B AB)P(B)P(AB)0.50.125 0.375
3. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少？如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？
解：记H表拨号不超过三次而能接通。

Ai表第i次拨号能接通。

注意：第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码。

H A1 A,A2 A1A2 A3三种情况互斥
P(H) P(A i) P(AjP(A2 | A I) P(AJP(A2 | AjP(A3 | A^)
_1 _9 1 _9 8 1 3
10 10 9 10 9 8 10
如果已知最后一个数字是奇数(记为事件B)问题变为在B已发生的条件下，求H再发生的概率。

P(H|B) PA1|B A1A2| B AA2A3IB)
P(A | B) P(A i |B)P(A |BA i) P(A I |B)P(A2 | BA I)P(A3〔B AA)
1 4 1 4 3 13
5 5 4 5 4 3 5
4. 进行一系列独立试验，每次试验成功的概率均为.,试求以下事件的概率：
(1)直到第r次才成功；
(2)在n次中取得r(1 r n)次成功；
解：(1) P (1 P)r1P (2) P c n p r(1 p)nr
5. 设事件A,B的概率都大于零，说明以下四种叙述分别属于那一种：
(a)必然对，(b)必然错，(c)可能对也可能错，并说明理由。

(1)若A, B互不相容，则它们相互独立。

(2)若A与B相互独立，则它们互不相容。

(3)P(A) P(B) 0.6，则A与B互不相容。

(4)P(A) P(B) 0.6，则A与B相互独立。

解:(1)b, 互斥事件，一定不是独立事件
(2) c, 独立事件不一定是互斥事件，
(3) b, P(A B) P(A) P(B) P(AB)若A 与B 互不相容，则
P(AB) 0
而P(A B) P(A) P(B) P(AB) 1.2 1
(4) a, 若A与B相互独立,则P(AB) P(A)P(B)
这时P(A B) P(A) P(B) P(AB) 1.2 0.36 0.84
6. 有甲、乙两个盒子，甲盒中放有3个白球，2个红球；乙盒
中放有4个白球，4个红球，现从甲盒中随机地取一个球放到乙盒中，
再从乙盒中取出一球，试求：
(1) 从乙盒中取出的球是白球的概率；
(2) 若已知从乙盒中取出的球是白球，则从甲盒中取出的球是白球的概率。

解：(1)记A1, A2分别表“从甲袋中取得白球，红球放入乙袋” 再记B表“再从乙袋中取得白球”。

v B二A1B+A2且A1, A2 互斥
3 4 1 2 4
P(B)二P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)= 32441 3 2 4 4 1 =
⑵ P=3 / 5
7. 思考题：讨论对立、互斥(互不相容)和独立性之间的关系。

解:独立事件不是对立事件，也不一定是互斥事件；对立事件是互斥事件,不能是独立事件；互斥事件一般不是对立事件，一定不是独立事
件.
第二章随机变量及其概率分布
1. 设X的概率分布列为：
F(x)为其分布的函数，则F (2)二?
解：F(2) P{X 2} P{X 0} P{X 1} P{X 2}
0.3
c
2. 设随机变量X 的概率密度为f (x )二芬,
0,
解：由于
3. 一办公室内有5台计算机，调查表明在任一时刻每台计算机被使 用的概率为0.6，计算机是否被使用相互独立，问在同一时刻 (1) 恰有2台计算机被使用的概率是多少？ (2) 至少有3台计算机被使用的概率是多少？ (3) 至多有3台计算机被使用的概率是多少？ (4) 至少有1台计算机被使用的概率是多少？ 解：(1) P{X 2} C ；0.620.43 0.2304
(2) P{X 3} 1 P{X 4} P{X 5}
1 c ；0.640.4
0.65
0.66304
(3)
1
4
2
2
3
3
3
2
P{X 3} P{X 1} P{X 2} P{X 3} C 50.6 0.4 C 50.6 0.4 C 50.6 0.4
=0.0768+0.2304+0.1728=0.48 (4) P{X 1}
1 P{X 0}
1 0.45
0.98976
4. 设随机变量K 在区间(0, 5) 上服从均匀分布，求方程4 x 2 +
4Kx + K + 2 = 0
有实根的概率。

解：由 16k 2 4 4 (k 2) 16k 2 16k 32 0 可得：k 1,k
2
所以P{K 2}
2
5 假设打一次电话所用时间(单位：分)X 服从
0.2的指数分布，
x 1
；
则常数C 等于?
x 1,
解：F(2) P{X 2} P{X 0} P{X 1} P{X 2} 0.3
5
如某人正好在你前面走进电话亭，试求你等待： （1）超过10分钟的
P(|X|>2),P(X>3);
(2)确定 c ,使得 P(X>c) = P(X<c)。

0.8413 1 06915=0.5328
7.设随机变量X 与Y 相互独立，且X, Y 的分布律分别为
X 0
1
P
1 3 4
4
Y 1
2
P
2 3 5
5
试求：（1） 二维随机变量（X , Y ） 的分布律；（2）随机变量
Z=XY
的分布律.
概率; (2) 10分钟 到20分钟的概
率。

解：X ~ f(x) 0.2e 0.2x ,x 0
P{X 10} 1
10
0 2 x
P{X 10} 1 o 0.2e . dx P{10
20
0.2x
2
4
X 20}
10°.2e
dx e
e
1 1 e 2
=1 (1
(0.5)) 1
(2.5) 1 0.9938 0.6915 0.6977
P{X 3} 1 P{X 3} 1
1 0.5 0.5
P{X
c} 1 P{X
c} 1
P{X c}
(c
2
c 3
所以
(
2 )
0.5
故c 3
3
)
6. 随机变量X 〜N （3, 4）, (1)求 P(2<X < 5)
,P(-
4<X < 10),
5 3
解:
P{2 X 5}
(1) (0.5) (1) 1 (0.5)
P{ 4 P{X
10 3、
X 10}
2} 1 P{ X 2}
1
（于 号）
(3.5) (3.5) 2 (3.5) 1 1
3 2 3
) 1
( 0.5)
( 2.5)
解:
8. 思考题:举出几个随机变量的例子。

解：抛一枚硬币，出现正面与反面的概率；掷一枚筛子每个面朝上的概率；
第三章多维随机变量及其概率分布
1.设盒子中有2个红球，2个白球，1个黑球，从中随机地取3 个，用X表示取到的红球个数，用Y表示取到的白球个数，写出（X, Y）的联合分布律及边缘分布律。

解:
布律为：
试根据下列条件分别求a 和b 的值;
(1) P(X 1) 0.6 ；
(2) P(X 1 |Y 2)
0.5 ；
⑶设F(x)是Y 的分布函数，
F(1.5)
0.5。

解：(1) P{X 1} 0.1 b 0.2 0.6, b 0.3
求(1)常数 k;(2)P(X<1/2,Y<1/2) ;(3) P(X+Y<1);(4) P(X<1/2)。

求(1)常数 k ; (2) P(X+Y<1) ; (3) P(X<1/2)
1 x
f(x, y)dxdy 0「kxydxdy 今 1 故 k 2
(2) P{X 0} P{X 1}
1 P{X
0} 1 P{X 1} 0.4 0.3 a a 0.1
5
3. (X 、Y)的联合密度函数为:
f(x, y)
k(x y) 0 x 1,0 y 1 0 其
他
2.设二维随机变量(X,Y)的联合分
解:(1)
f(x,y)dxdy 0
1
0k(x y)dxdy
1
1
,故 k 1
P{X
2Y
y)dxdy
P{X 1}
x
(x y) dxdy
p{X
1 1
2
0 (x
y)dxdy -
8
4. (X 、Y)的联合密度函数为:
f (x, y)
kxy 0 x 1,0 y x 0 其
他
解:(1)
5.
设(X, Y)的联合密度函数如下，分别求 X 与Y 的边缘密度函
函数。

x c
e 0 y x 0 其他
f X (x) f (x, y)dx e x dx e y , (0 y
y
7. (X, Y) 的联合分布律如下,
P{X Y 1}
i y
『2xydxdy
1 24
1
P {X 2}
2xydxdy
1 64
f(x,y)
2
(1 x 2)(1 y 2)
解 : f x (x)
f (x, y)dy
1 2 2 (1 x )(1
T)dy
1 (1 x 2) f Y (y)
f (x, y)dx
1
n 2
2 dx
(1 x )(1 y )
1 (1 y 2)
6.设(X, Y)的联合密度函数如下，分别求
X 与Y 的边缘密度
f(x,y)
解：f x (x)
f (x,y)dy
x
dy
x
xe , (0 x
(1) P(Y 1) 1/3 ；
(2) P(X 1| Y 2)
0.5 ;
(3)已知X 与Y 相互独立。

(2)1/6+1/6+1/9+b+1/18+1/9=1,b=7/18
互独立?
2
cxy 0 x 1, 0 y 1 0 其
他
f x (x) f Y (y) f (x, y),故 X 与 Y 相互独立.
9. 思考题：联合分布能决定边缘分布吗？反之呢？ 解:联合分布可以得到边缘分布，反之不真.
第四章 随机变量的数字特征
1.盒中有5个球，其中2个红球，随机地取3个，用X 表示取 到的红球的个数，则EX 是：B
试根据下列条件分别求a 和b 的值;
解：(1) P{Y 1}
8.(X, Y) 的联合密度函数如下，求常数 C ,并讨论X 与Y 是否相
f(x,y)
f x (x)
f(x,y)dxdy
f(x,y)dy
cxy 2dxdy
6 1,c =6
1
2
06xy dy 2x , f y (y)
f (x, y)dy
；6xy 2dx 3y 2
(A) 1; (B) 1.2 ;(C) 1.5 ;(D) 2.
2.设X 有密度函数：f(x)
3.设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为
已知 E(XY) 0.65,
则a 禾口 b 的值是：D (B ) a=0.3, b=0.1 ； (C ) a=0.2, b=0.2 ；
(D ) a=0.15, b=0.25
EX, EY, E(XY 1)。

E(X), E(2X 1), E(」y),并求X 大于数学期望
X 2
2
一 dx
8
E(X)的概率。

解:E(X)
4
3x
x 2
3 4 x 32 15 ~2 E(2X 1) 4 2
(2x
1)3x
2
一 dx
(-x 4 16
3
)
1
E
1 3x 2
4
2
x 2
8
dx
P(X E(X)) P(X 7.5)
P(X 7.5)
(A )a=0.1, b=0.3 ； (X, Y) 的联合密度函数如下：求
xy f(x,y) y
1,0
E(X)
解：
2
o x xydxdy
1x 2
dx
2 0
ydy
1 2 1 2 2 4
E(Y) 0 0y xydxdy 0xdx 0y dy -
E(XY 1)
5.设X有分布律:
是：D
(A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) 4.
6. 丢一颗均匀的骰子，用X表示点数，求EX, DX .
解: X的分布为P(X k)
123,4,5,6
6
1 1111 1 217
E(X) 1 - 3 -4— 5 - 6 -—
6 6666 6 62
2 1 2 1 21.21_ 2 1 _ 2 1 91
E(X)1 --3—4— 5 6— -----------
66666 6 6
2 219
D(X) E(X2) (E(X))2
6
7. X 有密度函数：f(x) (X 1)/40 X 2，求D(X).
0 其他
解：E(X) "x ^^dx -，E(X2) \2 -】dx -
0 4 6 0 4 3
2 2 5 7 2 11
D(X) E(X ) (E(X))-(匚)
3 6 36
8. 设X : R2) , Y~ B(3, 0.6),相互独立，则E(X 2Y), D(X 2Y)的
值分别是：A
(A)-1.6 和 4.88 ；(B)-1 和4; (C) 1.6 和4.88 ；(D)
1.6 和-4.88.
9. 设X ~ U(a, b), 丫〜N(4, 3)，X与Y有相同的期望和方差，求
a, b的值。

(A) 0 和8; (B) 1 和7; (C) 2 和6; (D) 3 和
5.
10. 下列结论不正确的是(B )
(A)X与Y相互独立，则X与Y不相关；
(B)X与Y相关，则X与Y不相互独立；
(C)E(XY) E(X)E(Y)，则X 与Y 相互独立；
(D)f(x,y) f x(x)f Y(y)，则X 与Y 不相关；
11. 若COV(X,Y) 0，则不正确的是(D )
(A) E(XY) E(X)E(Y) ； (B) E(X Y) E(X) E(Y)；
(C) D(XY) D(X)D(Y) ；(D) D(X Y) D(X) D(Y)；
12. ( X,Y )有联合分布律如下，试分析X与Y的相关性和独立
性。

d 解：由于P{X 1}?P{Y 1}——一而P{X 1,Y 1}-
8 8 64 8 所以X与Y不独立.
由于E(X) 0,E(Y) 0,E(XY) 0,所以0, X与Y不相关
13. E(XY) E(X)E(Y)是 X 与 Y 不相关的(B )
(A )必要条件；(B )充分条件：(C )充要条件；(D )既不必要, 也
不充分。

14. E(XY) E(X)E(Y)是X 与Y 相互独立的(A )
(A )必要条件；(B )充分条件：(C )充要条件；(D )既不必要，也 不充
分。

15. 思考题：(1)设随机变量(X, Y)有联合密度函数如下：试 验证X 与Y 不相关，但不独立
V x2 y 1，试验证 E(XY) E(X)E(Y)，但 0 其 他
X 与Y 不相互独立
f x (x) f y (y) f (x, y),所以 X 与Y 不独立.
21x 2y/4 2
x y 1 0
其 /、
他 讨论E(XY) E(X)E(Y)与独立性,
相关性与独立性之间的关系
解：(1) 2
1 1
21x y
E(X) “x 4 dxdy
1
E(Y) 1
21x 2y 7 dxdy 一 4 9
E(XY)
1 1 1x2
xy
4
2
^^Udxdy 0,
0,不相关
f x (x)
2
1
21x y 」
2^^
dy
x
4
2 2
21x (1 x ). 彳 ,1x1 8
f Y (y)
—c 2
y
21x y , dx y 4
5
吟八1
显然: f(x, y)
(2)设(X,Y)有 f(x, y)
⑵解：若X 与丫相互独立，则E(XY) E(X)E(Y),反之不成立 独立一定不相
关，反之不真.
第五章大数定律及中心极限定理
1. 一批元件的寿命(以小时计)服从参数为 0.004的指数分布， 现有元件30只，一只在用，其余29只备用，当使用的一只损坏时， 立即换上备用件，利用中心极限定理求 30只元件至少能使用一年 (8760小时)的近似概率。

解：设第i 只元件的寿命为 X j (i 1,2,…30), EX , 225, DX j 50625,
30
则 Y X i 是这 30 只元件寿命的总
i 1
合,EY 225* 30 6750, DY 50625* 30 1518750, 则所求的概率为：
2. 某一随机试验，“成功”的概率为0.04，独立重复100次，由
中心极限定理求最多“成功” 6次的概率的近似值。

解： 设成功 的次数为 X , 则
X ~ B(100,0.04) , np 4, , npq .4*0.96
1.9596
30
P{Y 8760} P{ X i 8760}
i 1
30
X i 6750 P{ i 1
V30 225
8760 6750
「1518750
(1.63) 0.0516
X 4
6 4
第六章样本与统计量
1. 有 n=10 的样本；1.2 , 1.4 , 1.9 ,
2.0 , 1.5 , 1.5 , 1.6 , 1.4 , 1.8 , 1.4，则样本均值X = 1.57 ，样本均方差S 0.2541 , 样本方差S 2 0.06456。

2 .设总体方差为b 2有样本X 1,X 2, ,X n ，样本均值为X ，则
b Cov(X 1, X)
n
3.
查有关的附表，下列分位点的值： ％二？，
0.1(5) =9.236，
t o.9(10)=-1.3722。

4.设 X 1,X 2, ,X n 是总体 2(m)的样本，求 E(X), D(X)。

解：E(X) m, D(X)-
n
5.设总体X~N( , 2)，样本X 1,X 2, ,X n ，样本均值X ，样本方 差S 2，则
P{X
6}
1.9596
1.9596
(1.02) 0.8461
T(n
1),
X)2
2
(n
1)
2
(n)
第七章 参数估计
1.设总体X 的密度函数为:
f(x)
X
他1 '有样本
X 4 6 4
X1,X2, ,X n，求未知参数的矩估计。

2
X
1 X
1 _ _ L
解：E(X) x 、 x Tx —,故
、厂1
2.
每分钟通过某桥量的汽车辆数 X ~
()，为估计 的值，在实
地随机地调查了 20次，每次1分钟，结果如下：次数：2 3
4
5
6
量数：9
5
3
7
4
试求 的一阶矩估计和二阶矩估计。

3.设总体X 的密度函数为：f(x)
(
0 — 其，有样本
X 1,X 2, ,X n ，求未知参数
的极大似然估计
解：由题设，似然函数为：
n _
_
L()
(「1)X i
( 一 1)n (X 1X 2...X n )
i 1
nln( .
1) . ( ln x) dlnL()
i 1
d
解得的极大似然估计为？ (1 -v^)2
In x i
i 1
4. 纤度是衡量纤维粗细程度的一个量，某厂化纤纤度
X~N( ,
2
),抽取9根纤维，测量其纤度为：1.36，1.49,1.43,1.41，
1.27，1.40，1.32，1.42，1.47，试求 的置信度为0.95的置信区间，
的矩估计：？ 解:X 5.2, s 2
6.8, EX [DX
-,所以
0.1923
X
1
0.3835
s
ln L()
解：(1) x 1.3967, 0.05的置信区间为(1)若20.0482, (2)若2未知
解：(1) x 1.3967, 0.05的置信区间为 x 1.96 ,x 1.96 1.3653,1.4281
j n v n (2) X 1.3967, s 2 0.0049,
0.05 时，t o.°25(8) 2.3060 置信区间为：1.3967 2.3060007 ,1.3967 2.3060_007
1.3429,1.4505
3 3 5. 为分析某自动设备加工的另件的精度，抽查 16个另件，测量 其长度，得X 12.075mm, s = 0.049
4 mm,设另件长度X ~ N( , 2),取 置信度为0.9
5 , (1)求2的置信区间，(2)求 的置信区间。

解：s 2
0.00244036 , (n 1)s 2 0.0366054 , 爲5(15) 6.262 , O .025(15) 27.448
的置信区间为:[0.0361,0.0762]
第八章假设检验
1. 某种电子元件的阻值(欧姆) X ~ N(1000, 400),随机抽取25 个元件，测得平均电阻值x 992，试在 0.1下检验电阻值的期望 是 否符合要求？
解:检验假设：H ° :
1000 , H 1 : 1000 由已知可得：u 992 1000
2 查表得:U 005
1.64,故拒绝原假设， 20/5 电阻值的期望不符合要求
2 在上题中若2未知，而25个元件的均方差s 25，则需如何检
所以2置信区间为: 0.0366054 0.0366054
27.448 , 6.262 0.0013,0.0058 .
验，结论是什么?
解：由于方差未知，故用t检验.
检验假设：H。

：1000,比：1000 t 992咖 1.6
25/5
查表t°.05（24） 1.7109由于t 1.6 1.7109,故接收原假设，电阻值的期望符合要求，
3. 成年男子肺活量为3750毫升的正态分布，选取20名成年男
子参加某项体育锻练一定时期后，测定他们的肺活量，得平均值为X 3808毫升，设方差为2 1202，试检验肺活量均值的提高是否显著
（取0.02）？
解：检验假设：H0：3750 , H1 : 3750, u 3808 3750 2.1615
120/120
查表得：U0.01 2.33 ,故接收原假设，即提高不显著.
强化实践能力培养的等级评价标准
总分为30分，按3个档次给分，依据学生对作业的完成情况与读书报告写作情况先确定其所属档次，再根据题目具体完成情况给分。

题目完成情况按照应用知识点是否正确，结果是否正确给分。

结果不对，但依然应用了正确知识点，认为基本正确。

第一档（优）：（20-30分）
（1）每章至少完成了一道大纲作业题，题目完成基本正确，给予满分30分。

2）如果能完成8道以上大纲作业题（允许存在部分基本准确题目）外加一篇对课程有基本准确认识的读书报告，也给予满分30 分（3）每业章至少完成了一道大纲作题，部分题目结果不准确，但应用了正确的课程知识点，识大纲作业完成情况给予23-28 分。

第二档（良）：（10-20 分）
（1）所完成大纲作业题涉及不超过50%章节且没有读书报告。

（2）未完成任何大纲作业题目仅提交读书报告最多给20 分。

（3）完成5道以下大纲作业题加读书报告给15-20 分。

第三档（差）（0-10 分）
（1）仅完成 5 道以下大纲作业题。

（2）没有自己的课程读书报告。