清华大学信号与系统课件第七章离散系统的时域分析

– 自由项含有 且 是K次重齐次根
(D n D n D )a 则特解
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k 1
k 1 2课件
n
k 1
24
•特解： •自由项为 正弦或余弦表达式
则特解为 D(n) D1 sin n0 D2 cos n0 • nk 是差分方程的特征方程的m次重根时，
则特解是 (D1nk D2nk1 Dk1)nk
x(1) 2, x(2) 4
y(0) 3y(1) 2y(2) x(0) x(1)
y(1) 3y(0) 2y(1) x(1) x(0)
y(1) 1 y(2) 5
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2
课件
4
30
n0
y(n) C1(1)n C2 (2)n
y(1) C1(1)1 y(2) C1(1)
Cl
n
l
k
n k
k 1
C1( j )n C2( j )n
课件
23
• 特解：
– 自由项为 nk 的多项式
则特解为 D1nk D2nk1 Dk1
a a Da – 自由项含有 n 且 不是齐次根，则特解 n
a a – 自由项含有 n 且 是单次齐次根，
则特解 (D1n D2 )an
a a n
b1
1 E
a2
b2
课件
20
§7.3常系数差分方程的求解
• 迭代法 • 时域经典法 • 离散卷积法：利用齐次解得零输入
解，再利用卷积和求零状态解。 • 变换域法（Z变换法） • 状态变量分析法
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课件
21
一、迭代法
• 当差分方程阶次较低时常用此法
y(n) ay(n 1) x(n) x(n) (n)
nu(n) D(n) D1n D2
D(n) (D1n D2 )n2
D1
1 6
D2
1 2
y(n)
C1n
C2
1 6
n3
1 2
n2
y(n) 11 n 1 1 n3 1 n2
12
62
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课件
y(0) 1, y(1) 3 4
特解和齐次 解相重，
升幂 1 是差分方程 的2 次重根
y(n 1) (1 T ) y(n) T x(n)
RC
RC
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课件
15
四、已知网络结构建立离散 系统数学模型
网络结构图：
x(n)
1 a
1 E
y(n) 1 y(n 1) x(n) a
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16
1 x(n 1)
E
b1
y(n) a1y(n 1) b0x(n) b1x(n 1)
• 已知网络结构建立离散系统 数学模型
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课件
8
一、离散线性时不变系统
• 线性： xi (n)
h(n)
yi (n)
1。可加性：M xi (n) i0
2。均匀性：M ai xi (n) i0
M
yi (n)
i0
M
ai yi (n)
i0
• 时不变性 xi (n m)
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62
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课件
34
§7.4 离散系统单位样值响应
• (t) 和 (n) 的定义的区别
• (t)的定义
(t)dt 1
• (n) 的定义
0
t
(n)
1 0
n0 n0
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课件
0
n
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一、求系统单位样值响应（1）
• 一般时域经典方法求h(n)
• 将 (n)转化为起始条件，于是齐次解，即
k 1
r 0
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延时
加法器
乘法器
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x(n) 1
x(n 1)
Z
y(n) 1
Z
y(n 1)
x(n)
y(n) y(n 1) x(n)
y(n 1)
x(n)
y(n) ax(n)
a
课件
12
例1： y(n) x(n) ay(n 1)
x(n)
y(n) ay(n 1) x(n)
b0
x(n)
1 E
x(n 1) b1
a0
1 E
a1 y(n 1)
1 E
x(n 2) b2
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1 E
a2 y(n 2)
课件
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x(n)
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y(n) a1y(n 1) a2 y(n 2) b0x(n) bb01x(n 1) b2x(n 2)
a0
1 E
a1
课件
10
二、离散系统的数学模型
• 输入是离散序列及其时移函数
x(n), x(n 1), x(n 2),....
• 输出是离散序列及其时移函数
y(n), y(n 1), y(n 2),....
• 系统模型是输入输出的线性组合
系数乘，相加，延时单元
N
M
y(n) ak y(n k) br x(n r)
零输入解就是单位样值响应 h(n。)
• 在 n 0 时，接入的激励转化为起始条
件
• 在 n 0时，接入的激励用线性时不变
性来进行计算。
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课件
36
例 y(n) 3y(n 1) 3y(n 2) y(n 3) x(n)
三重根
1
y(n) (C1n2 C2n C3 )(1)n
y(n) D0n D1
特解的形式
D0n D1 2D0(n 1) 2D1 2n 1
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3D0 n 3D1 2D0 2n 1
D0
2 3
D1
1 9
y(n) 2 n 1 39
课件特解
代入差分方程
27
完全解=齐次解+特解
y(n)
C1(2)n
2 3
n
1 9
代入边界条件求出待定系数 C1 ，
n 0 y(0) ay(1) x(0) 0 (n) 1
n 1 y(1) ay(0) x(1) a 0 a
n 2 y(2) ay(1) x(2) a.a 0 a2
n n y(n) ay(n 1) x(n) an
y(n) anu(n)
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课件
a1
E
例2：
y(n 1)
y(n 1) ay(n) x(n)
x(n)
1 E
a
后向差分方程 多用于因果系统
y(n) 1 [ y(n 1) x(n)] a
前向差份方程 多用于状态方程
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课件
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三、从常系数微分方程得到 差分方程
• 在连续和离散之间作某种近似
y(t) y(n)
y(1)
C1(2)1
2 3
(1)
1 9
1
C1
8 9
得到完全解的闭式
y(n) 8 (2)n 2 n 1
9
39
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课件
28
例
n
y(n) 2y(n 1) 2y(n 2) sin y(0) 1, y(1) 0
2
齐次解
1,2 1 j
j
2e 4 ,
y(n)
2
n(
x(n) e jarg[x(n)] x(n) e j(n0 )
• 任意离散序列
x(t)
x(n) x(m) (n m) m
(n m)
m
加权表示
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课件
x(n)
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§7.2 离散时间系统数学模型
• 离散线性时不变系统
• 离散系统的数学模型
• 从常系数微分方程得到差分 方程
A1
c os
n
4
A2 sin
n )
4
n
n
D(n) D1 sin 2 D2 cos 2
2D2
D1sin
n
2
2D2
D1
c
os
n
2
sin
n 32
D1 1
1 5
y(0) 1, y(1) 0, A1 5 A2 5
D2
2 5
y(n)
2
n
3
cos
n
1
sin
n
1
sin
n
2
cos
n
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课件
yi (n m)
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连续系统的数学模型
C0
d nr(t) dt n
C1
d n1r(t) dt n1
...Cn1
dr(t) dt
Cn r (t )
E0
d me(t) dt m
E1
d m1e(t) dt m1
...Em1
de(t) dt
Em e(t )
基本运算：各阶导数，系数乘，相加
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x(0) 1, x(1) 0, x(2) 0,
h(0) 1, h(1) 0, h(2) 0,
1
3
C1 2 C2 2 C3 1
齐次解
确定初始 条件
h(n) 1 (n2 3n 2)u(n) 2
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课件
37
例 y(n) 5y(n 1) 6y(n 2) x(n) 3x(n 2)
(n 0) (n 0)
1
(n n0 ) 0
(n n0 ) (n n0 )
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课件
(n)
0
n
(n n0 )
0
n0
n
2
• 离散单位阶跃信号
1 (n 0)
u(n)
0
(n 0)
• 离散矩形序列
1
0 1 2 3 4..... n
1 Gn (n) 0
(0 n N 1) (n 0 or n N)
x(n) b0
1 E
a1 y(n 1)
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课件
17
x(n)
y(n) a1y(n 1)
a2 y(n 2) x(n)
1 E
a1 y(n 1)
1 E
a2
y(n 2)
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课件
18
y(n) a1y(n 1) a2 y(n 2) b0x(n) b1x(n 1) b2x(n 2)
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二、时域经典法
• 差分方程
N
M
ak y(n k ) br x(n r)
k 0
r 0
N
• 特征根： ak y(n k ) 有 0N个特征根 k k 0
• 齐次解： – 非重根时的齐次解
N
y(n)
Ck
n k
k 0
– L次重根时的齐次解
– 共轭根时的齐次解
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l
y(n)
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课件
பைடு நூலகம்
25
• 完全解=齐次解+特解
• 代入边界条件求出待定系数 Ci ，于是
得到完全解的闭式
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课件
26
例：
y(n) 2y(n 1) x(n) x(n 1)
x(n) n2 y(1) 1
解： 2 y(n) C1(2)n 齐次解
right n2 (n 1)2 2n 1
C2
(2)1
1 2
2
C2 (2)2
5 4
CC21
2 3
n 0 同 n<0 一样
n 1 x(n) (2)n u(n)
D(n) D1n(2)n
D1 1
y(2) 3y(1) 2y(0) x(2) x(1) y(2) 2
y(n) B1(1)n B2 (2)n n(2)n
k
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第七章 离散系统的时域分析
• 连续系统 • 微分方程 • 卷积积分 • 拉氏变换 • 连续傅立叶变换 • 卷积定理
• 离散系统 • 差分方程 • 卷积和 • Z变换 • 离散傅立叶变换 • 卷积定理
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课件
1
§7.1 离散时间信号
• 单位样值信号（Unit Sample)
(n)
1 0
5
4
5 课件
4 5
25 2 29
例 y(n) 3y(n 1) 2y(n 2) x(n) x(n 1)
n 0 x(n) 0
n 0 x(0) (n)
n 1 x(n) (2)n u(n)
y(0) 0 y(1) 0
解： 此类问题要分区来考虑系统的初始状态：
x(1) 0, x(0) 1 y(0) 0 y(1) 0
dy(t) 1
[ y(n 1) y(n)]
dt
Ts
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课件
14
x(t)
y(t)
RC dy(t) y(t) x(t) dt
取近似： y(t) y(n) RC dy(t) RC [ y(n 1) y(n)]
dt Ts
RC [ y(n 1) y(n)] y(n) x(n) Ts
1 a 0
a 1
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课件
5
• 正弦序列
t = nTs
f (t) Asin 0t
x(n) Asin(0nTs )
Asin(n0 )
0
2
N
0Ts
0 fs
x(n) Acos n0
012 3 4
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课件
N 1
n
6
• 复指数序列
x(n) Acosn0 jBsin n0
1
u(n) u(n n0)
012 3 4
n
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课件
3
• 斜变序列
R(n) nu(n)
r(n) n2u(n)
12 3 45
0
n
0 1 2 3 4 5.....
25 16
9
04
n
0 1 2 3 4 5.....
2020/6/16
课件
4
• 指数序列
a 1
x(n) anu(n) 0 a 1
课件
31
y(n) C1(1)n C2 (2)n B1(1)n B2 (2)n n(2)n
y(n) [2(1)n 3(2)n ]u(n) [2(1)n (n 2)(2)n ]u(n 1)
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课件
32
例 y(n) 2y(n 1) y(n 2) n.u(n)
n 0 1,2 1 y(n) C1n C2
33
n 0 y(1) 2 y(0) y(1) 1, y(0) 2 y(1) y(2) 0,
y(1) 9 4
y(2) 7 2
特解为 0 y(n) C1n C2
C1
5 4
C2 1
y(n) ( 5 n 1)u(n 1) 4
( 11 n 1 1 n3 1 n2 )u(n)
12