复数.学生版

题型一：复数的概念
【例1】若复数()
()2321a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．1或2
D ．1-
【例2】若复数2
(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为（ ）
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．1-或1
【例3】已知02a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1，则z 的取值范围是（ ）
A ．()15，
B ．()13，
C ．()
15，
D ．()
13，
【例4】若复数(2)i bi ⋅+是纯虚数，则实数b = ．
【例5】设1z 是复数，211z z iz =-（其中1z 表示1z 的共轭复数），已知2z 的实部是1-，则2z 的虚部
为 ．
【例6】复数3
2
1i +
=（ ） A ．12i +
B ．12i -
C ．1-
D ．3
【例7】计算：0!
1!
2!
100!
i +i +i ++i
=L （i 表示虚数单位）
典例分析
复数
【例8】设22(253)(22)i z t t t t =+-+-+，t ∈R ，则下列命题中一定正确的是（ ）
A ．z 的对应点Z 在第一象限
B ．z 的对应点Z 在第四象限
C ．z 不是纯虚数
D ．z 是虚数
【例9】在下列命题中，正确命题的个数为（ ）
①两个复数不能比较大小；
②若22(1)(32)i x x x -+++是纯虚数，则实数1x =±； ③z 是虚数的一个充要条件是z z +∈R ； ④若a b ，是两个相等的实数，则()()i a b a b -++是纯虚数； ⑤z ∈R 的一个充要条件是z z =．
⑥1z =的充要条件是1
z z
=．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
题型二：复数的几何意义
【例10】复数i
i z -+=1)2(2
（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【例11】复数13i z =+，21i z =-，则复数
1
2
z z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【例12】在复平面内，复数2009
2
1i (1i)+-对应的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【例13】在复平面内，复数sin2cos2z i =+对应的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【例14】在复平面内，复数
2
1i
+对应的点与原点的距离是（ ） A ． 1 B ．
C ．2
D ．
【例15】若复数z 满足(1)1i z ai -=+，且复数z 在复平面上对应的点位于第二象限，则实数a 的取值
范围是（ ）
A ．1>a
B ．11<<-a
C ．1-<a
D ．11>-<a a 或
【例16】已知复数z ＝3＋4i 所对应的向量为OZ uuu r ，把OZ uuu r 依逆时针旋转θ得到一个新向量为1OZ u u u r
．若
1OZ u u u r
对应一个纯虚数，当θ取最小正角时，这个纯虚数是（ ）
A ．3i
B ．4i
C ．5i
D ．－5i
【例17】复数2i
12i
m z -=
+（m ∈R ，i 为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【例18】若3
5ππ4
4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，复数(cos sin )(sin cos )i θθθθ++-在复平面内所对应的点在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【例19】设A B ，为锐角三角形的两个内角，
则复数(cot tan )(tan cot )z B A B A i =-+-对应的点位于复平 面的（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【例20】如果复数z 满足i i 2z z ++-=，那么i 1z ++的最小值是（ ）
A ．1
B
C ．2 D
【例21】满足1z =及13
22
z z +
=-的复数z 的集合是（ ）
A ．112
2⎧⎫⎪
⎪--⎨⎬⎪⎪⎩⎭
， B ．1111i i 2222⎧⎫+-⎨⎬⎩⎭，
C ．⎫⎪-⎬⎪⎪⎩⎭
D ．1122⎧⎫⎪
⎪+-⎨⎬⎪⎪⎩⎭
，
【例22】已知复数(2)i()x y x y -+∈R ，y
x
的最大值为_______．
【例23】复数z 满足条件：21i z z +=-，那么z 对应的点的轨迹是（ ）
A ．圆
B ．椭圆
C ．双曲线
D ．抛物线
【例24】复数1z ，2z 满足120z z ≠，1212z z z z +=-，证明：2
122
0z z <．
【例25】已知复数1z ，2z
满足11z =
，21z =，且124z z -=，求
1
2
z z 与12z z +的值．
【例26】已知复数12z z ，满足121z z ==
，且12z z -=
，求证：12z z +=．
【例27】已知12z z ，∈C ，121z z ==
，12z z +=12z z -．
【例28】已知复数z 满足(23i)(23i)4z z -++-=，求d z =的最大值与最小值．
题型三：复数的四则运算
【例29】复数3
1i i ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
等于（ ）
A ．8
B ．8-
C ．8i
D ．8i -
【例30】设a ∈R ，且2()a i i +为正实数，则a =（ ）
A ．1±
B ．1
C ．0
D ．1-
【例31】已知复数1z i =-，则221
z z
z -=-（ ）
A ．2i
B ．2i -
C ．2
D ．2-
【例32】设z 的共轭复数是z ，若4z z +=，8z z ⋅=，则
z
z 等于（ ） A ．i
B ．i -
C ．1±
D ．i ±
【例33】已知集合(3)(3)
2i i z i
+-=
-，则||z =（ ）
A
B
．
C
D
．
【例34】已知复数12232i 23i ,(2i)z z +=-=
+，则1
2
z z =（ ）
A ． 49
B ．7
C ． 25
D ． 5
【例35】若将复数
11i
i
+-表示为a bi +（a ，b ∈R ，i 是虚数单位）的形式，则a b += ．
【例36】若复数
3i
12i
a ++（a ∈R ，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．2- B ．4 C ．6- D ．6
【例37】i 是虚数单位，若
17(,)2i
a bi a
b R i
+=+∈-，则乘积ab 的值是（ ） A ．15- B ．3- C ．3 D ．15
【例38】设a b ∈R ，且0b ≠，若复数3
()a bi +是实数，则（ ）
A ．223b a =
B ．223a b =
C ．229b a =
D ．229a b =
【例39】若a 为实数，
i i
ai 2212-=++，则a 等于（ ）
A ． 2
B ．－ 2
C ．2 2
D ．－2 2
【例40】若复数z=i a 3)2(+- （R a ∈）是纯虚数，则
ai
i
a ++1=
【例41】定义运算(,)(,)a b c d ac cd ⊗=-，则符合条件(,12)(1,1)0z i i i +⊗+-=的复数z 的所对应
的点在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【例42】定义运算
a b ad bc c d
=-，则符合条件
120121z i i
i
+=--的复数z 对应的点在（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【例43】投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，
则复数(i)(i)m n n m +-为实数的概率为（ ） A ．
13 B ．14 C ．16 D ．112
【例44】已知复数z 满足01,120082009=++=z z z ，则复数z ＝_____________
【例45】已知m ∈R ，若6(i)64i m m +=-，则m 等于（ ）
A ．2-
B ．
C ．
D ．4
【例46】4
）
A ．1
B ．1-+
C ．1-
D ．1-
【例47】12
．
【例48】已知复数1cos i z θ=-，2sin i z θ=+，则12z z ⋅的最大值为（ ）
A ．
32
B C ．
D ．3
【例49】若复数1i z =+，求实数a b ，使22(2)az bz a z +=+．
（其中z 为z 的共轭复数）
【例50】设x 、y 为实数，且
511213x y i i i
+=---，则x y +=________．
【例51】对任意一个非零复数z ，定义集合{|}n z M w w z n ==∈N ，
．
⑴设z 是方程1
0x x
+
=的一个根，试用列举法表示集合z M ．若在z M 中任取两个数，求其和为零的概率P ；
⑵若集合z M 中只有3个元素，试写出满足条件的一个z 值，并说明理由．
【例52】解关于x 的方程256(2)i 0x x x -++-=．
【例53】已知21z x =+22()i z x a =+，对于任意x ∈R ，均有12z z >成立，试求实数a 的取值
范围．
【例54】关于x 的方程2(2)i 10x a i x a +--+=有实根，求实数a 的取值范围．
【例55】设方程220x x k -+=的根分别为α，β，且αβ-=k 的值．
【例56】用数学归纳法证明：(cos isin )cos()isin()n n n n θθθθ++=+∈N ，
． 并证明1(cos isin )cos isin θθθθ-+=-，从而(cos isin )cos()isin()n n n θθθθ-+=-．
【例57】若cos isin αα+是方程121210n n n n n x a x a x a x a ---+++++=L （12n a a a ∈R L ，，，）的解，
求证：12sin sin 2sin 0n a a a n ααα+++=L ．
【例58】已知
1
z
z -是纯虚数，求z 在复平面内对应点的轨迹．
【例59】设复数1z ，2z 满足12120z z A z A z ⋅+⋅+⋅=，其中A =，求12z A z A +⋅+的值．
【例60】设复数z 满足2z =，求24z z -+的最值．
【例61】若()23i f z z z =+-，()63i f z i +=-，试求()f z -．
【例62】已知虚数ω为1的一个立方根， 即满足31ω=，且ω对应的点在第二象限，证明2ωω=，并
求23111
ωωω++与2
11ω
ω
++的值．
【例63】若232012320n n a a a a a ωωωω+++++=L （012212n n a a a a ω+∈∈=-N R L ，，，，，，）
， 求证：036147258a a a a a a a a a +++=+++=+++L L L
【例64】设z 是虚数，1
w z z
=+
是实数，且12w -<<． ⑴求z 的值及z 的实部的取值范围； ⑵设11z
u z
-=
+，求证：u 为纯虚数； ⑶求2w u -的最小值．
【例65】对任意一个非零复数z ，定义集合21{|}n z M w w z n -==∈N ，
．
⑴ 设σ是方程1
x x
+
=M σ； ⑵设复数z M ω∈，求证：z M M ω⊆．
【例66】已知复数01i(0)z m m =->，i z x y =+和i w x y ''=+，其中x y x y ''，，，均为实数，i 为虚数单
位，且对于任意复数z ，有0w z z =⋅，2w z =．
⑴ 试求m 的值，并分别写出x '和y '用x y ，表示的关系式；
⑵将()x y ，作为点P 的坐标，()x y ''，作为点Q 的坐标，上述关系式可以看作是坐标平面上点
的一个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点Q．
当点P在直线1
=+上移动时，试求点P经该变换后得到的点Q的轨迹方程；
y x
⑶是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上?若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由．。