2021新高考数学(江苏专用)一轮复习课件：第五章 5.1 平面向量的概念及线性运算
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解析 依题意有E→F＝E→A＋A→F＝－21A→B＋13A→C， 所以 x＝－12，y＝13，所以 x＋y＝－16.
题型突破 典题深度剖析 重点多维探究
题型一 自主演练 平面向量的概念
1.(多选)给出下列命题，不正确的有
√A.若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同 →→ B.若A，B，C，D是不共线的四点，且 AB＝DC，则ABCD为平行四边形
√C.a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b √D.已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线
解析 A错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量 相等，不一定有相同的起点和终点； B 正确，因为A→B＝D→C，所以|A→B|＝|D→C|且A→B∥D→C，又 A，B，C，D 是不共线 的四点，所以四边形 ABCD 为平行四边形；
C错误，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b| 且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件； D错误，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定 共线. 故选ACD.
2.若a0为单位向量，a为平面内的某个向量，下列命题中： ①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0； ②若a与a0平行，则a＝|a|a0； ③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0， 假命题的个数是
SI WEI SHENG HUA
题型二 多维探究 平面向量的线性运算
命题点1 向量加、减法的几何意义
例1 (2017·全国Ⅱ)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则
√A.a⊥b
B.|a|＝|b|
C.a∥b
D.|a|>|b|
解析 方法一 利用向量加法的平行四边形法则. 在▱ABCD 中，设A→B＝a，A→D＝b，由|a＋b|＝|a－b|知，|A→C|＝|D→B|，
2.向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法 求两个向量和的运算
交换律：a＋b＝ b＋a ；
结合律：(a＋b)＋ c＝_a_＋__(_b_＋__c)_
求a与b的相反向量－b 减法
的和的运算
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a 的积的运算
|λa|＝ |λ||a| ，当λ>0时，λa与a
解析 ∵2O→A＋O→C＝2O→D＋O→B， ∴2(O→A－O→D)＝O→B－O→C，即 2D→A＝C→B， ∴D→A∥C→B，且|D→A|＝12|C→B|， ∴四边形ABCD是梯形.
题组三 易错自纠
4.对于非零向量a，b，“a＋2b＝0”是“a∥b”的
√A.充分不必要条件 C.充要条件
B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件
解析 若a＋2b＝0，则a＝－2b，所以a∥b. 若a∥b，则a＋2b＝0不一定成立， 故前者是后者的充分不必要条件.
5.(多选)下列四个命题中，错误的是
√A.若a∥b，则a＝b √C.若|a|＝|b|，则a∥b
√B.若|a|＝|b|，则a＝b
D.若a＝b，则|a|＝|b|
1 6.设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝__2__.
大一轮复习讲义
§5.1 平面向量的概念及线性运算
INDEX
基础落实 回扣基础知识 训练基础题目
知识梳理
1.向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有 方向 的量叫做向量，向量的大小叫做向量的 模 . (2)零向量：长度为 0 的向量，记作 0 . (3)单位向量：长度等于 1个单位 长度的向量. (4)平行向量：方向相同或 相反 的非零向量，又叫共线向量，规定：0与 任一向量平行. (5)相等向量：长度相等且方向 相同 的向量. (6)相反向量：长度相等且方向 相反 的向量.
A.0
B.1
√ C.2 D.3
解析 ①②③均为假命题.
思维升华
向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度. (2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制. (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等. (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度. (5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线.
基础自测Baidu Nhomakorabea
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.( √ )
(2)若a∥b，b∥c，则a∥c.( × )
(3)若向量
→
→
AB与向量CD
是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.(
×
)
(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之亦成立.( √ )
题组二 教材改编
2.已知▱ABCD
的对角线
AC
和
BD
相交于点
→
→
→
O，且OA＝a，OB＝b，则DC＝
__b－__a__，B→C＝_－_a__－_b__.(用 a，b 表示)
解析 如图，D→C＝A→B＝O→B－O→A＝b－a，
B→C＝O→C－O→B＝－O→A－O→B＝－a－b.
→→ →→ 3.在四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，若 2OA＋OC＝2OD＋OB， 则四边形 ABCD 的形状为___梯__形___.
解析 ∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0， 又向量λa＋b与a＋2b平行， 则存在唯一的实数μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立， 即 λa＋b＝μa＋2μb，则1λ＝＝μ2，μ， 解得 λ＝μ＝12.
7.在△ABC 中，点 E，F 满足A→E＝21A→B，C→F＝2F→A，若E→F＝xA→B＋yA→C，则 x＋y ＝ _－__16__.
的方向 相同 ；
λ(μa)＝ (λμ)a ； (λ＋μ)a＝ λa＋μa ；
当λ<0时，λa与a的方向 相反 ；
λ(a＋b)＝_λ_a_＋__λ_b_
当λ＝0时，λa＝_0_
3.向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个实数λ，使得 b＝λa .
概念方法微思考
1.若b与a共线，则存在实数λ使得b＝λa，对吗？ 提示 不对，因为当a＝0，b≠0时，不存在λ满足b＝λa. 2.如何理解数乘向量λa. 提示 λa的大小为|λa|＝|λ||a|，方向要分类讨论：当λ>0时，λa与a同方向； 当λ<0时，λa与a反方向；当λ＝0或a为零向量时，λa为零向量.
题型突破 典题深度剖析 重点多维探究
题型一 自主演练 平面向量的概念
1.(多选)给出下列命题，不正确的有
√A.若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同 →→ B.若A，B，C，D是不共线的四点，且 AB＝DC，则ABCD为平行四边形
√C.a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b √D.已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线
解析 A错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量 相等，不一定有相同的起点和终点； B 正确，因为A→B＝D→C，所以|A→B|＝|D→C|且A→B∥D→C，又 A，B，C，D 是不共线 的四点，所以四边形 ABCD 为平行四边形；
C错误，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b| 且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件； D错误，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定 共线. 故选ACD.
2.若a0为单位向量，a为平面内的某个向量，下列命题中： ①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0； ②若a与a0平行，则a＝|a|a0； ③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0， 假命题的个数是
SI WEI SHENG HUA
题型二 多维探究 平面向量的线性运算
命题点1 向量加、减法的几何意义
例1 (2017·全国Ⅱ)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则
√A.a⊥b
B.|a|＝|b|
C.a∥b
D.|a|>|b|
解析 方法一 利用向量加法的平行四边形法则. 在▱ABCD 中，设A→B＝a，A→D＝b，由|a＋b|＝|a－b|知，|A→C|＝|D→B|，
2.向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法 求两个向量和的运算
交换律：a＋b＝ b＋a ；
结合律：(a＋b)＋ c＝_a_＋__(_b_＋__c)_
求a与b的相反向量－b 减法
的和的运算
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a 的积的运算
|λa|＝ |λ||a| ，当λ>0时，λa与a
解析 ∵2O→A＋O→C＝2O→D＋O→B， ∴2(O→A－O→D)＝O→B－O→C，即 2D→A＝C→B， ∴D→A∥C→B，且|D→A|＝12|C→B|， ∴四边形ABCD是梯形.
题组三 易错自纠
4.对于非零向量a，b，“a＋2b＝0”是“a∥b”的
√A.充分不必要条件 C.充要条件
B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件
解析 若a＋2b＝0，则a＝－2b，所以a∥b. 若a∥b，则a＋2b＝0不一定成立， 故前者是后者的充分不必要条件.
5.(多选)下列四个命题中，错误的是
√A.若a∥b，则a＝b √C.若|a|＝|b|，则a∥b
√B.若|a|＝|b|，则a＝b
D.若a＝b，则|a|＝|b|
1 6.设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝__2__.
大一轮复习讲义
§5.1 平面向量的概念及线性运算
INDEX
基础落实 回扣基础知识 训练基础题目
知识梳理
1.向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有 方向 的量叫做向量，向量的大小叫做向量的 模 . (2)零向量：长度为 0 的向量，记作 0 . (3)单位向量：长度等于 1个单位 长度的向量. (4)平行向量：方向相同或 相反 的非零向量，又叫共线向量，规定：0与 任一向量平行. (5)相等向量：长度相等且方向 相同 的向量. (6)相反向量：长度相等且方向 相反 的向量.
A.0
B.1
√ C.2 D.3
解析 ①②③均为假命题.
思维升华
向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度. (2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制. (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等. (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度. (5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线.
基础自测Baidu Nhomakorabea
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.( √ )
(2)若a∥b，b∥c，则a∥c.( × )
(3)若向量
→
→
AB与向量CD
是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.(
×
)
(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之亦成立.( √ )
题组二 教材改编
2.已知▱ABCD
的对角线
AC
和
BD
相交于点
→
→
→
O，且OA＝a，OB＝b，则DC＝
__b－__a__，B→C＝_－_a__－_b__.(用 a，b 表示)
解析 如图，D→C＝A→B＝O→B－O→A＝b－a，
B→C＝O→C－O→B＝－O→A－O→B＝－a－b.
→→ →→ 3.在四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，若 2OA＋OC＝2OD＋OB， 则四边形 ABCD 的形状为___梯__形___.
解析 ∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0， 又向量λa＋b与a＋2b平行， 则存在唯一的实数μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立， 即 λa＋b＝μa＋2μb，则1λ＝＝μ2，μ， 解得 λ＝μ＝12.
7.在△ABC 中，点 E，F 满足A→E＝21A→B，C→F＝2F→A，若E→F＝xA→B＋yA→C，则 x＋y ＝ _－__16__.
的方向 相同 ；
λ(μa)＝ (λμ)a ； (λ＋μ)a＝ λa＋μa ；
当λ<0时，λa与a的方向 相反 ；
λ(a＋b)＝_λ_a_＋__λ_b_
当λ＝0时，λa＝_0_
3.向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个实数λ，使得 b＝λa .
概念方法微思考
1.若b与a共线，则存在实数λ使得b＝λa，对吗？ 提示 不对，因为当a＝0，b≠0时，不存在λ满足b＝λa. 2.如何理解数乘向量λa. 提示 λa的大小为|λa|＝|λ||a|，方向要分类讨论：当λ>0时，λa与a同方向； 当λ<0时，λa与a反方向；当λ＝0或a为零向量时，λa为零向量.