高考数学解题技巧-柯西不等式的证明及其应用

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i）当 n = 1 时，有 (a1b1 )2 = a12b22 ，不等式成立。 当 n=2 时， (a1b1 + a2b2 )2 = a12b22 + a22b22 + 2a1b1a2b2
2 2 2 2 2 (a12 + a2 )(b12 + b22 ) = a12b12 + a2 b2 + a12b22 + a2 b1 。
(a − d ) (
1 1 1 + + ) a −b b−c c−a 1 1 1 + + ) a −b b−c c−a
=[(a-b)+(b-c)+(c-d)] ( ≥ (1 + 1 + 1) =9
2
从而
1 1 1 9 。 + + ≥ a −b b−c c−a a −d
2 2 a12 + a2 + ... + an =1 2 2 x12 + x2 + ... + xn =1
n
2
变式 2
二、柯西不等式的证明： 常用的证明柯西不等式的方法有： 1）配方法：
n n n
2 作差：因为 (∑ ai2 )(∑ b2 j ) − (∑ ai bi )
i =1
j =1
i =1
n i =1
n j =1
n i =1
n j =1
= (∑ ai2 )(∑ b 2 j ) − ( ∑ ai bi )(∑ a j b j )
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1）证明不等式 在不等式的证明中，柯西不等式的作用是很突出的。有些不等式的证 明用常归方法很繁琐，而用柯西不等式却很简单。 例 3.1.1 已知 a>b>c>d，求证：
1 1 1 9 。 + + ≥ a −b b−c c−a a −d
证 因为 a-d=(a-b)+(b-c)+(c-d)>0,由柯西不等式知
2 = (a12 + a2 + …… + ak2+1 )(b12 + b22 + …… + bk2+1 ) 2 2 2 = (a12 + a2 + …… + an )(b12 + b22 + …… + bn )
当且仅当 a1bk +1 = b1ak +1 , a2bk +1 = b2 ak +1 ,……, ak bk +1 = bk ak +1 时等号成立，
当且仅当
a a1 a2 = = …… = n 时等号成立。 b1 b2 bn
那么当 n = k + 1 时，
(a1b1 + a2b2 + …… + ak bk + ak +1bk +1 ) 2
2 2 = (a1b1 + a2b2 + …… + ak bk )2 + 2ak +1bk +1 (a1b1 + a2 b2 + …… + ak bk ) + ak +1bk +1
�
�
且有 a ⋅ b = a1b2 + a2b2 + ……+ anbn 。
� � � � 因| cos θ | ≤ 1 ，故 a ⋅ b ≤ a b ，于是
| a1b1 + a2b2 + ……+ anbn |≤ a12 + a22 + ……+ an2 b12 + b22 + ……+ bn2 即
2 2 2 2 (a1b1 + a2b2 + …… + an bn )2 ≤ (a12 + a2 + …… + an )(b12 + b2 + …… + bn )
柯西不等式的证明及其应用
摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用六种不同的方法 证明了柯西不等式，并给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数 最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用，最后用其证明了点 到直线的距离公式，更好的解释了柯西不等式。 关键词：柯西不等式，证明，应用 Summary： Cauchy's inequality is a very important inequality, this article use six different methods to prove the Cauchy inequality, and gives some Cauchy inequality in inequality, solving the most value, solving equations, trigonometry and geometry problems in the areas of application, the last used it proved that point to the straight line distance formula, better explains the Cauchy inequality. Keywords ：Cauchy inequality, proof application 不等式是数学的重要组成部分，它遍及数学的每一个分支。本文主要 介绍著名不等式——柯西不等式的证明方法及其在初等数学解体中 的应用。柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用几种不同的方 法证明了柯西不等式，并给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函 数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用。
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�
�
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由以上，命题得证。 5) 利用均值不等式 当 ( a12 + a22 + ……+ an2 )( b12 + b22 + ……+ bn2 ) =0 时不等式显然成立 当 ( a12 + a22 + ……+ an2 )( b12 + b22 + ……+ bn2 ) ≠0 柯西不等式可化为
1 ≥
n
n
n
n
n
n
i =1
j =1
i =1
i =1
j =1
i =1
2 2 即 (a1b1 + a2b2 + ……+ anbn )2 ≤ (a12 + a22 + ……+ an )(b12 + b22 + ……+ bn )
当且仅当 ai b j − a j bi = 0(i, j = 1, 2,……, n)
2
n n ⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ 构造二次函数 f ( x ) = ⎜ ∑ ai2 ⎟ • x 2 − 2 ⎜ ∑ ai bi ⎟ x + ∑ bi2 = ∑ ( ai x − bi ) ≥ 0 对于 i =1 i =1 ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠
x ∈ R 恒成立，所以此二次函数 f ( x ) 的判别式△≤0，即得证。 3）用数学归纳法证明
4
即
a a a1 a2 = = …… = k = k +1 时等号成立。 b1 b2 bk bk +1
于是 n = k + 1 时不等式成立。 由 i）ii）可得对于任意的自然数 n，柯西不等式成立。 4）用向量法证明 设 n 维空间中有二个向 a = (a1 , a2 ,……, an ) ， b = (b1 , b2 ,……, bn ) ，其中
例 3.1.2：已知
，
求证： a1 x1 + a2 x2 + ... + anbn ≤ 1
a12 + x12 ≥ 2a1 x1 ,...
2
(a
2 1
2 + a12 + ... + an )( b12 + b22 + ... + bn2 )
当且仅当
a a1 a2 = = …… = n (bi ≠ 0, i = 1, 2, ……, n) 时等号成立。 从而柯西不等式得证。 b1 b2 bn
而变式一 二可由柯西不等式稍加变形容易得到。
三、柯西不等式的应用：
2 ai 2 (∑ ai ) , ≥ ∑ i =1 bi ∑ bi
变式 1 设 ai ∈ R, bi > 0(i = 1, 2,..., n),
n
等号成立当且仅当 bi = λ ai (1 ≤ i ≤ n)
a ( a) 设 ai,bi 同号且不为 0（i=1，2，…，n）则 ∑ i ≥ ∑ i , i =1 bi ∑ aibi
1
一、相关定理 柯西不等式是指下面的定理
n n
2
定理 设 ai , bi ∈ R(i = 1, 2,..., n), 则 (∑ ai bi ) ≤ (∑ ai )(∑ bi )
2
n
2
i =1
i =1
i =1
当数组 a1，a2，…，an ,b1，b2，…，bn 不全为 0 时，等号成立当且仅 当 bi = λ ai (1 ≤ i ≤ n) . 柯西不等式有两个很好的变式：
因为 a12b22 + a22b12 ≥ 2a1b1a2b2 ，故有 (a1b1 + a2b2 )2 ≤ (a12 + a22 )(b12 + b22 ) 当且仅当 a1b2 = a2b1 ，即
a1 a2 = 时等号成立。 b1 b2
ii）假设 n = k 时不等式成立。即
2 2 (a1b1 + a2b2 + ……+ ak bk )2 ≤ (a12 + a2 + ……+ ak )(b12 + b22 + ……+ bk2 )
=
1 n n 2 2 2 (ai b j − 2ai b j a j bi + a 2 ∑∑ j bi ) 2 i =1 j =1
=
1 n n (ai b j − a j bi ) 2 ≥ 0 ∑∑ 2 i =1 j =1
2 2 2 2 所以 (∑ ai2 )(∑ b2 j ) − (∑ ai bi ) ≥ 0 ，即 (∑ ai )(∑ b j ) ≥ ( ∑ ai bi )
ai a j = (i = 1, 2,……, n; j = 1, 2,……, n; b j ≠ 0) 时等号成立。 bi b j
即
2）利用判别式证明（构造二次函数法）
n n
若 ∑ ai2 = 0 ，则 a1 = a2 = .... = an = 0. 此时不等式显然成立。若 ∑ ai2 ≠ 0 ，
i =1 i =1
2
n
n
n
n
= ∑∑ ai2b 2 j − ∑∑ ai bi a j b j
i =1 j =1 i =1 j =1
=
n n 1 n n 2 2 n n 2 2 (∑∑ ai b j + ∑∑ a j bi − 2∑∑ aib j a j bi ) 2 i =1 j =1 i =1 j =1 i =1 j =1
a1 , a2 ,……, an ; b1 , b2 , ……, bn 为任意两组实数。
�
�
由向量的长度定义，有 a = a12 + a22 + ……+ an2 |, b = b12 + b22 + ……+ bn2
� � � 又由内积的定义， a ⋅ b = a b cos θ ,其中 θ 是 a , b 的夹角， � � � � �
2 2 2 2 ≤ ( a12 + a2 + …… + ak2 )(b12 + b2 + …… + bk2 ) + 2ak +1bk +1 ( a1b1 + a2b2 + …… + ak bk ) + ak +1bk +1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ≤ (a12 + a2 + …… + ak )(b12 + b2 + …… + bk2 ) + a12bk2+1 + b12 ak +1 + …… + ak bk +1 + bk ak +1 + ak +1bk +1
( a1b1 + a2b2 + ... + anbn )
2
(a
2 1
2 + a12 + ... + an )( b12 + b22 + ... + bn2 )
。百度文库
由均值不等式可知
⎛ a1 ⎜ 2 2 ⎜ a + a + ……+ a 2 2 n ⎝ 1
2
( a1b1 + a2b2 + ... + anbn )
2
(a
2 1
2 + a12 + ... + an )( b12 + b22 + ... + bn2 )
2
≤
⎞ ⎛ bn ⎟ +⎜ 2 2 ⎟ ⎜ b + b + ……+ b 2 2 n ⎠ ⎝ 1
2
⎞ ⎛ b1 ⎟ +⎜ 2 2 ⎟ ⎜ b + b + ……+ b 2 2 n ⎠ ⎝ 1
⎞ ⎛ an ⎟ + ... + ⎜ 2 2 ⎟ ⎜ a + a + ……+ a 2 2 n ⎠ ⎝ 1 2
当且仅当| cos θ | = 1 时，即 a 与 b 共线时等号成立。 由 a , b 共线可知 a1 = λb1 , a2 = λb2 , ……, an = λbn ( λ ∈ R ) 即
a a1 a2 = = …… = n (bi ≠ 0, i = 1, 2, ……, n) b1 b2 bn
5
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
2
=
2 a12 b12 an bn2 + + ... + + 2 2 2 2 a12 + a2 + ……+ an b12 + b22 + ……+ bn2 a12 + a2 + ……+ an b12 + b22 + ……+ bn2 2
=1 即 1≥
( a1b1 + a2b2 + ... + anbn )