仿射变换原理解析

归纳：以几何变换的观点看待欧氏几何. 欧氏几何就是研究在正交变换群M的作用下 保持不变的几何量和几何性质, 即所有与距 离有关的几何量和几何性质.
几种特殊的仿射变换
二、相似变换
1. 位似变换
定义 设O为上取定的一点, 为上的一个点变换. 满足 (1) (O)O, (2) 对于OP, (P)P', 则P'在OP上, 且(P'PO)=k(k0), 则称为上的一个以O为位似中心, k为位似比的位似变换.
注. 位似变换的基本性质 (1) 对应点连线经过定点(位似中心); (2) 保持共线三点的简单比不变; (3) 使得直线(不过O)变为其平行直 线; (4) 使得任意一对对应线段的比值等 于位似比k.
几种特殊的仿射变换
定理 设在平面上取定了一个笛氏直角坐标系O-exey, k0为任 意实常数. 则上的一个点变换是以O为位似中心, k为位似比的 位似变换可表示为
P'Q' k PQ
(0 k R为常数)
(1.10)
则称为上的一个以k为相似比的相似变换.
注. 相似变换的基本性质 (1) 保持共线三点的简单比不变. (2) 使得任意图形变成其相似图形; 使平 行直线变为平行直线. (3) 保持任意两条线段的比值不变. 从而 保持两直线夹角不变. (4) 正交变换、位似变换都是其特例.
a13 a23
或
x' k

y
'



0
0 k


x y



a13 a23

(1.9)
一个一般的位似变换是一个以原点为中心的位似与一个平移 的积, 若k1则为平移, 故平移是特殊的位似.
几种特殊的仿射变换
2. 相似变换
定义 设为上的一个点变换, P, Q为上任意相异二点, (P)P', (Q)Q'. 满足
或

x' y'



a11 a21
a12 a22


x y



a13 a23

.
Hale Waihona Puke Baidu
(1.1)
其中(x, y)与(x', y')为的任一对对应点P, P'的坐标, 矩阵
A


a11 a21
a12
a22

称为的矩阵, 满足AAT=ATA=E, 为二阶正交矩阵.
注 若ex, ey为单位正交向量, 则O-exey成为笛卡儿直角坐标系.
仿射变换
定理 平面上的仿射变换将一个仿射坐标系O-exey变为另一
个仿射坐标系O'-e'xe'y.
定理 设在平面上取定了一个仿射坐标系O-exey, 点变换为 上的一个仿射变换有表达式

x y
' '

(1.5) (1.6)
注1. 显然, 轴反射是一个第二类正交变换.
注2. 应用(1.5)于上述平面, 即可将ABC变为A'B'C'.
几种特殊的仿射变换
定理 平面上的一个轴反射与一个第一类正交变换的乘积是一 个第二类正交变换.
从而, 平面上一个点变换是正交变换可表示为有限次平
移、旋转与轴反射的乘积.
证明 设A, B, C为平面上三点, 为正交变换, 且上述三点在
下的像依次为A', B', C'.
设A, C分别在B两边上且异于B, 则A', B'分别在B'的两边上.
且|AB|=|A'B'|, |BC|=|B'C'|, |AC|=|A'C'|. 即ABCA'B'C', 于是,
B =B', 即正交变换保持两直线的夹角不变.
几种特殊的仿射变换
定理 关于x轴的轴反射变换为
x' x

y
'

y
或

x y
' '



1 0
0 1

x y
.
关于y轴的轴反射变换为
x' x

y
'

y
或

x y
' '


1 0
0 1
x y
.
注. 仿射变换的基本性质 (1) 使共线点变为共线点的双射； (2) 平行直线变为平行直线； (3) 保持共线三点的简单比, 从而保持两平行线段的比值不变.
仿射变换
定义 设为平面上的一个点变换, 满足 (1) 为一个使共线点变为共线点的双射； (2) 使得共线三点的简单比等于其对应共线三点的简单比； (3) 使得相互平行的直线变为相互平行的直线, 则称为上的一个仿射变换.
定理 仿射变换是双射.设A表示平面上全体仿射变换的集合. 则有
(1) , A, 有A.
(2) 恒同变换iA.
(3) S, 存在1A, 满足11i.
上述性质使得A对于变换的乘法构成一个群, 叫做仿射变换群. 而 且MSA.
仿射变换
3. 仿射坐标系
定义 设在平面上取定一点O和以O为起点的两个线性无关向
换的定义有
| AB | | BC || AC | | A' B ' | | B 'C ' || A'C ' | .
即A', B', C'仍然为共线三点且B'在A', C'之间. 若A, B, C不共线, 则必有
| AB | | BC || AC | | AB | | BC || AC |
a12
a22

满足|A|0, 称为仿射变换的矩阵.
平面仿射几何就是研究在仿射变换群A的作用下保持不变的 几何性质与几何量. 由定义, 这些不变的性质和数量必定只与平行 性、共线三点的简单比有关.
几种特殊的仿射变换
一、正交变换
定义 保持平面上任意两点间的距离不变的点变换称为平面上 的一个正交变换.
定理 平面上的一个平移与一个旋转的乘积是一个第一类 正交变换. 进而, 平面上有限多个平移与旋转的乘积是一个 第一类正交变换. 第一类正交变换称为平面上的刚体运动.
几种特殊的仿射变换
(3). 轴反射变换
怎样的变换可以使得
ABC 重合于 A'B'C' ?
仅平移和旋转是不可能的.
定义 设l为平面上取定的一条直 线. 将平面上的每个点都变为关于l 的对称点的变换称为平面上的一个 轴反射变换, 简称轴反射, 直线l称为 反射轴.
利用三角恒等式展开, 可得
x ' r cos( ) r cos cos r sin sin x cos y sin

y'

r
sin(

)

r
sin
cos

r
cos
sin

x sin

y
cos
几种特殊的仿射变换
注：显然, 旋转变换是正交变换.
x ' kx

y
'

ky
或

x y
' '


k 0
0 x
k


y

(1.8)
其中(x,y)与(x',y')为平面上任一点P与其在下的像点P'的坐标.
若位似中心的坐标为C(c1, c2), 则(1.8)可化为

x y
' '

kx ky

注2. , '的交线称为透视仿射的轴. 若//'则没有轴.
仿射变换
2. 仿射变换
定义 对于空间中一组平面, 1, 2, …, n, ', 设以下对应均为
透视仿射对应： 0 : 1, 1 : 1 2 , ..., n : n '
则称这n个透视仿射的积为到'的一个仿射对应. 若', 则称 为平面上的一个仿射变换.
定理 设在平面上取定了一个笛氏直角坐标系O-exey, 并给定一
个向量c(c1, c2). 则由此可惟一确定平面上的一个平移, 其直角坐
标表示为

x' y'

x y

c1 c2
或
x' 1

y
'


0
0 1


x y



c1 c2
上述性质使得M对于变换的乘法构成一个群, 叫做正交变换群.
几种特殊的仿射变换
定理 正交变换使平面上共线三点变成共线三点; 不共线三点 变成不共线三点, 而且保持两直线的夹角不变.
证明 设A, B, C为平面上三点, 为正交变换, 且上述三点在
下的像依次为A', B', C'. 若A, B, C共线且B在A, C之间, 则有|AB|+|BC|=|AC|. 由正交变
标表示为
x ' x cos y sin

y
'

x
sin

y
cos
或
x ' cos

y
'



sin
sin x
cos


y

.
(1.4)
证明 设|OP|=|OP'|=r, OP与x轴正向夹角为. 则
x r cos, y r sin; x ' r cos( ), y ' r sin( )
a11x a21x

a12 a22
y y

a13 a23
或

x' y'



a11 a21
a12 a22


x y



a13 a23

.
其中(x, y)与(x', y')为任一对对应点P, P' 的坐标, 矩阵
A


a11 a21
量ex, ey, 则由此构成平面上一个仿射坐标系(或仿射坐标架), 记作 O-exey. 平面上任一点P的仿射坐标(x, y)由下式唯一确定,

x


OPx OEx
(PxExO)


y

OPy OEy
(Py EyO)
uuur OP xex yey.
反之, 对任意给定的有序实数偶(x, y), 由 (1.12)式可唯一确定仿射平面上的一个点 具有坐标(x, y). 建立了仿射坐标系的平面 称为仿射平面, ex, ey称为基向量.
仿射变换
仿射变换
1. 透视仿射对应
定义 对于空间中两平面, ',
给定一个与两平面不平行的投射
方向, 则确定了到'的一个透视仿
射对应(平行投影).
上任一点P在'上的像即为过 P且平行于投射方向的直线与'的
交点P'.
注1. 透视仿射对应的基本性质 (1) 使共线点变为共线点的双射, 且对应点连线相互平行； (2) 平行直线变为平行直线； (3) 保持共线三点的简单比, 从而保持两平行线段的比值不变.
注：设为平面上的一个正交变换, A, B为平面上两个点, 且 (A)=A', (B)=B' , 则|AB|=|A'B'|.
定理 正交变换是双射.设M表示平面上全体正交变换的集合. 则有
(1) , M, 有M.
(2) 恒同变换iM.
(3) M, 存在1M, 满足1=1=i.
正交变换将平面上的一个直角坐标系O-exey变为另一个直角
坐标系O'-e'xe'y,有下述可能
右手系→右手系
右手系→左手系
几种特殊的仿射变换
定理 对于平面上的一个取定的直角坐标系, 点变换是正交 变换具有表达式

x y
' '

a11x a21x

a12 a22
y y

a13 a23
推论 (1) 正交变换使得一个三角形变为与其全等的三角形. 进而, 正交变换使得任何封闭图形变为与其全等的封闭图形, 使得任何平面图形变为可以与其叠合(合同)的图形.
(2) 正交变换使得平行直线变为平行直线, 矩形变为与之全 等的矩形.
几种特殊的仿射变换
推论 正交变换使平面上的直角坐标系变为直角坐标系.

即A', B', C'仍然为不共线三点.
| A' B ' | | B 'C ' || A'C ' | | A' B ' | | B 'C ' || A'C ' |
几种特殊的仿射变换
定理 正交变换使平面上共线三点变成共线三点; 不共线三点 变成不共线三点, 而且保持两直线的夹角不变.
注：对于正交变换的矩阵A, 显然有A1=AT, 且|A|=1.
当|A|=1时, 将右手系变为右手系, 称为第一类正交变换； 当|A|= 1时, 将右手系变为左手系, 称为第二类正交变换.
几种特殊的仿射变换
正交变换特例
(1). 平移变换 定义 将平面上的每个点都向着同一 个方向移动相同的距离的变换称为平面 上的一个平移变换, 简称平移.

(1.3)
其中(x,y)与(x',y')为平面上任一点P与其在下的像点P'的坐标.
注：显然, 平移是正交变换.
几种特殊的仿射变换
(2). 旋转变换
定义 将平面上的每个点都绕着同一个
点旋转相同的角度的变换称为平面上的一 个旋转变换, 简称旋转.
定理 设旋转使得平面上的每个点都 绕着坐标原点O旋转角度, 则的直角坐