运筹学基础(整数规划1)

多个最优方案

整数规划
整数规划的解，不是连续的，是离散的。 对于求解整数解的线性规划问题，有时候不是简单地 用四舍五入法，或者去尾法对于非整数解加以处理就 能够解决的，而要用专门的整数规划的方法。 有些整数规划问题，如果所有变量取值只限于0和1， 这类问题称之为0-1规划。
整数规划例题
指派问题

指派问题
有四个工人，要分别指派他们完成思想不同的工作， 每人做各项工作所消耗的时间如表所示，问应如何指 派，才能使总的消耗时间为最少。
A 甲 15 B 18 C 21 D 24
乙
丙 丁
19
26 19
23
17 21
22
16 23
18
19 17
分枝定界法
分支定界法是先求解整数规划相应的线性规划问题， 如果其最优解不符合整数条件，则求出整数规划的上 下界，用增加约束条件的方法，并把相应的线性规划 的可行域分成子区域（称为分枝），再求解这些子区 域上的线性规划问题，不断缩小整数规划的上下界的 距离，最后取得整数规划的最优解。 大多数求解整数规划的商用软件就是基于分支定界法 而编制成的。
某公司拟用集装箱托运甲、乙两种货物，这两种货 物每件的体积、重量，可获得的利润以及托运所受 限制如表所示。
货物 甲 乙 托运限制 每件体积（立方米） 每件重量（百千克） 每件利润（千元） 195 273 1365 4 40 140 2 3
甲种货物至多托运4件，问：两种货物各托运多少 件，可使得利润最大。
图解法的启示

结论
任何求最大目标函数值的纯整数规划或者混合整数规 划的最大目标函数值，小于或者等于相应的线性规划 的最大目标函数值； 任何求最小目标函数值的纯整数规划或者混合整数规 划的最小目标函数值，大于或者等于相应的线性规划 的最小目标函数值。
整数规划数学模型

相关概念
整数线性规划问题可以分为下列几种类型：
纯整数线性规划：全部决策变量都取整数值的线性规 划； 混合整数线性规划：决策变量中，一部分必须取整数 值，另一部分可以不取整数值的线性规划； 0-1型整数线性规划：决策变量只能取0或者1的线性规 划。
投资场所的选择
某品牌代理商计划在市区的东、南、西、北四个区建立销售 终端，有10个位置Ai（i=1，2，3，…，10）可供选择，考 虑到居民分布和消费水平，市场调研部门反馈的建议如下：
选择出基变量
以出发点所在闭回路顶点的序号中（出发点序号为1，逆（或顺）时针依 次对顶点编号），在所有偶数顶点中，找出调运量最小的顶点，以该格子 为出基变量。
得到新方案
以该格子的值为调整量，闭回路上所有奇数顶点的运输量都加这一数值， 所有偶数顶点的运输量都减去这一数值，从而得到一新的运输方案。
在东区由A1，A2，A3三个点中，至多选择两个点； 在西区由A4，A5两个点中，至少选择一个点； 在南区由A6，A7两个点中，至少选择一个点； 在北区由A8，A9，A10三个点中，至少选择两个点 Ai各点的投资（如租金等）以及每年可获利润，因地点不同，都是 不一样的，预测情况见下表（单位：万元）： A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 70 90 80 140 160 180 投资额 100 120 150 80 36 40 50 22 20 30 25 48 58 61 利润
利润
4
5
6
公司现有金属板500吨，劳动力300人月，机器100台月。此外， 为获得生产许可，必须向容器专利所有者缴纳一笔费用：小号 是100万元，中号为150万元，大号为200万元。 请制定一个生产计划，是获得的利润最大。
指派问题
指派问题的标准形式：
有n个人和n件事情，已知第i个人做第j件事情的费用为 cij（I, j =1,2,…,n），要求确定任何事之间的一一对应 的指派方案，使得完成这n件事情的总费用最少，或效 率最高。 一般称矩阵C=(cij)n*n为指派问题的系数矩阵(coefficient matrix)。在实际问题中，根据cij的具体意义，矩阵C可 以有不同的含义，例如费用、成本、时间等。系数矩 阵C中，第i行中的各元素表示第i人做各事的费用，第j 列各元素表示第j事由各人做的费用。
分枝定界法

分枝定界法
分枝定界法步骤

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若投资总额不超过720万元，问应选择哪几个销售店，可 使年利润最大？
固定成本问题
高压容器公司制造大、中、小三种尺寸的金属容器，所用资源 为金属板、劳动力和机器设备。制造一个容器所需的各种资源 数量，以及利润如下
资源/利润 金属板（吨） 劳动力（人月） 机器设备（台月） 小号容器 2 2 1 中号容器 4 3 2 大号容器 8 4 3
整数规划 (integer programming)
作业第一题

1 2 3 4 5
A B C D
作业第一题

作业第一题

作业第二题

作业第二题

闭合回路调整法
当表中某个非基变量的检验数为负值时，表明未得到最优解，要 进行调整。 选择入基变量
在所有为负值的检验数中，选取其中最小的负检验数，以它对应的非基变 量为入基变量。（若运输问题的某一基可行解有多个非基变量的检验数为 负，在继续进行迭代时取它们中的任一变量为入基变量均可使目标函数值 得到改善，但通常取检验数最小者对应的变量为入基变量。）