电子自旋与Pauli原理

M sz = msh
ms
=
±1 2
表示：
ms =
3h 2
h →α 态↑
2
ms =
3h 2
− h → β 态↓
2
3
空间分布： ↑↑ αα
↓↓ ββ
自旋平行
↑↓ αβ ↓↑ βα
自旋反平行
自旋磁矩 µs = −ge s(s + 1)βe
µsz = −gems βe
ge 电子自旋 g 固子
看法：把电子的部分角动量看作是由于电子自旋而引起的，
µ = l(l + 1)β = 0
2
∴ 分裂不是轨道磁矩,
而且轨道磁矩分裂为 2l + 1 , 总为奇数。
这里固有磁矩只有两个取向，顺磁场和逆磁场，大小一样。
规定：自旋量子数 S = 1
2
自旋角动量大小 Ms = s(s + 1)h
自旋角动量在磁场方向的分量 M sz
z 由 方向的自旋量子数 ms 来决定
电子自旋因子
自旋磁矩 Z 轴投影 µsZ = −gemsβe
2 自旋的由来
理论 一般说所需量子数 = 问题的维数,
三维空间中 n,l, m 描写电子是充分的。 但是 Einstein 提出相对论,指出时间是第四维， 原子中电子速度接近光速, 应有四个量子数。 相对论 + Schrödinger 方程 = Dirac 方程(四维)
只不过是一种简化了直观图象。实际原因并不清楚。
3．电子的完全波函数
Ψ = Ψn,l,m,ms ，不能由 s 方程直接求出，
Ψ =ψη =ψ n,l,m (r,θ ,ϕ )ηms (s)
自旋波函数
η
为
Mˆ
2 s
,
Mˆ
sz
的本征函数
4
Mˆ s2η = s(s + 1)h2η Mˆ szη = mshη
Pˆ12ψ = ψ
线性组合
ψ (1,2) =
1 2
[ψ1s
(1)α
(1)
ψ1s (2)β (2) −ψ1s (2)α(2)
ψ1s (1)β (1)]
可写为行列式,
ψ (1,2) =
1 ψ1s (1)α (1) 2 ψ1s (1)β (1)
ψ1s (2)α (2) ψ1s (2)β (2)
4．Pauli Exclusion Principle(1925)
5．全同粒子
电子是全同粒子(固有性质完全相同的微观粒子)
交换标记不会改变 电子密度, 所以当改变 电子标记时,
ψ 2 必须不变, 即ψ 不变，或ψ 变号。
定义交换算符 Pˆ12 ，
Pˆ12ψ (1,2L N ) = ψ (2,1,L N ) (1)
∴ Pˆ12 Pˆ12ψ (1,2L N ) = ψ (1,2LN )
有第四个量子数。
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第四个量子数对应什么？
经验 Uhlenback, Goud Smit, 提出电子具有不依赖于轨
道运动的固有磁矩的假设。 电子固有的角动量,
l = 0 的 s 态也有角动量, 比做经典的自旋。
引入自旋角动量 S
实验：Stern-Gerlach 实验
碱金属原子 (基态银)射线束,在磁场中分裂并发生偏移 , 分裂总为偶数。 (基态 H)S 轨道上仅有一个电子，且轨道磁矩
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§3 电子自旋与 Pauli 原理
1.自旋量子数 S 和自旋磁量子数 ms 波函数的定量描述 ψ n,l,m,ms
自旋角动量 M s = S (S + 1)h
自旋量子数
S=1 2
自旋角动量 Z 方向投影 M SZ = ms h
自旋磁量子数
ms
=±1 2
自旋磁矩 µs = ge S(S + 1)βe
ge = 2.00232
Bose 子是对称的 Fermi 子是反对称的
ψ (1,2L N ) = −ψ (2,1L N ) 这种交换可有 N!个,
可有 N!个ψ , 把这 N!个ψ 组成一个反对称的线性组合,
就是反对称的完全波函数。
Ψ(1,2LN ) =
ψ 1 (1)α (1)
1
ψ1(1)β (1) M
2N! ψ N (1)α(1)ຫໍສະໝຸດ 它们也是正交归一的，α
= 1,β 2
= −1, 2
∫α *αdτ = ∑α *α = 1
∫ β *βdτ = ∑ β *β = 1
∫α *βdτ = ∫αβ *dτ = ∑α *β = ∑αβ * = 0
He
ψ = ψ 1s (1)α (1)ψ 1s (2)β (2) Pˆ12ψ = ψ 1s (2)α (2)ψ 1s (1)β (1)
一个原子中不 能两个电子同时处于四个量子数 完全相同 的状态,一个原子轨道中 至多只能容纳两 个自旋相 反的电子,
任何多 电子体系的电子 完全波函数, 对于交换任意 一对电
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子是反对称的。 不仅对电子，对所有 S=半整数的粒子, Fermi 子: 中子, 质子, µ 子,某些核(中子+质子=奇数) ================================================ S=整数，零, Bose 子：光子, π 介子,氘核, α 粒子
Pˆ122ψ = ψ
本征值 P122 = 1, ∴ P12 = ±1
Pˆ12ψ (1LN ) = ψ (1LN )
(2)
Pˆ12ψ (1LN ) = −ψ (1LN )
(3)
∴由(1)(2)(3), ψ (1,2LN ) = ±ψ (2,1LN )
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全同粒子的属性：
由全同粒子的不可分辨性，其体系的状态函数交换其中两 个粒子的坐标时，或者是对称的，或者是反对称的
ψ N (1)β (1)
ψ1(2)α (2) ψ1(2)β (2)
ψ N (2)β (2) ψ N (2)β (2)
ψ1(3)α (3) ψ1(3)β (3)
L L
L ψ1(N )α(N ) L ψ1(N)β(N)
M
L ψ N (N )α(N ) L ψN (N)β(N)
同行：相同的自旋－空间轨道 同列：同一粒子，相同的坐标