结构力学第三章.静定结构的受力分析

dM dx FQ
d 2M dx2 qy
Fx 0 qxdx dFN 0
小结：
dFN dx
qx
1）剪力图上某点切线的斜率等于该点横向荷 载的集度，但正负号相反。
2）弯距图上某点切线的斜率等于该点的剪力。
3）弯距图上某点的曲率等于该点的横向荷载的 集度，但正负号相反。
4）轴力图上某点的斜率等于该点轴向均布荷载
32
2) 求跨中截面MC
FNAB 取图示CB段为隔离体：
MC 0
q
B MC
C
（qlcosθ）/2
FQAB
l/2
MC
1 q( l )2 22
1 ql cos 1 l
2
2 cos
0
MC

1 4
ql 2

1 8
ql 2

1 8
ql2 (
下拉
)
33
3) 作内力图。
qlcosθ/2
MD D FQDF
16kN.m F
2m 7kN
19
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3) 作M图
将MA、MC、MD、MF的值按比例画在图上，并
连以直线（称为基线）；对AC、CD、DF段，再叠 加上相应简支梁在杆间荷载作用下的 M 图即可。
A BC
DE F
7
17 4) 作FQ图
26
30 M图（kN·m）
23
17 9
DE F
AB C
7
从静力分析的观点看，静定结构的内力可以由 三个平衡方程唯一确定。
Fx 0 Fy 0 M 0
平衡方程为：
或：
MA 0 MB 0 Mc 0
（A,B,C不在同一直线上）
2
一、隔离体
1. 内力正负号
M
M FQ
FQ FN
FN
M
M FQ
FQ FN
FN
在结构力学中，要求弯矩图画在杆件受拉边， 不注正负号,剪力图和轴力图要注明正负号。上 图中弯矩正负号的规定通常用于梁。
1 2
40 22

80 80
160kN.m(上拉)
23
3) 作M、FQ图
将MA、MC、MD、ME 、MF的值按比例画在图
上，并连以直线（称为基线）；对AC、DE、EF
段，再叠加上相应简支梁在杆间荷载作用下的M
图即可。
160
A BC
D
130
210 340 280
E
F
140 M图（kN·m ）
Fy 0 FyE (160 40 6 40) 130
440 130 310kN ( )
21
2）选控制截面A、C、D、E、F，并求弯矩值 。
已知 MA＝0 ， MF＝0。
取右图AC段为隔离体：
MC 0
MC 130 2 80 340kN.m(下拉)
2
F q( l x) cos (0 x l)
QC
2
FS 0
FNC

1 2
ql sin
qx sin

0
FNC

q( l 2

x) sin
(0 x l)
28
斜杆上的竖向分布荷载可以分解为垂直杆轴 和沿杆轴方向的分布荷载，如下图示。
ql
θ qlcosθ
qlsinθ
18
2）选控制截面A、C、D、F并求弯矩值。
已知 MA＝0， MF＝0。 取右图AC段为隔离体
：MC 0
MC 8117 2 0 MC 34 8 26kN.m(下拉)
8kN
A 17kN 1m
MC C
1m FQCA
取右图DF段为隔离体：
MD 0
MD 16 7 2 0 MD 16 14 30kN.m(下拉)
r
M
C

1 2
qx2

1 2
qlx
0
MC

1 2
qx ( l

x )( 下拉 )
(0 x l)
27
q
(qlsinθ )/2 (qlcosθ)/2

ql/2
MC Aθ
ql/2 x
s
qx
C FNC

qxcosθ
FQC
qxsinθ
r
Fr 0
F qx cos ql cos 0
QC
A
q
B
MA
MB
MA A
MB B= A
+q B
MA
MB
14
现在讨论分段叠加法的做法，见下图。
A FP
q
m B
C
D
FP
q
m
A
CC
DD
B
MC
MC MD
MD
FP A
q CC
DD
mB
MC
MC MD
MD
15
FP
q
A
C
m B
D
A
C
D
B
基线
MC
基线
基线
MD
在求出各控制截面A、C、D、B在全部荷载 作用下的弯矩后，任意直杆段的 M 图就转化为 作相应简支梁在杆端力偶及杆间荷载作用下的 M 图的问题。
17
例3-1-1 作图示单跨梁的M、FQ图。
8kN
4kN/m
16kN.m
A BC
F DE
FyA=17kN 1m 1m
4m
1m 1m FyF=7kN
解：
1）求支座反力
MF 0
FyA

1 8
(8 7

4
4
4
16)

1 8
136
17kN ()
Fy 0 FyF (8 4 4 17) 7kN()
5）已知力按实际方向表示，注明数值。未知 力按正方向表示。
5
二、荷载与内力之间的微分关系和增量关系
1. 微分关系
qy
M
M＋dM
FN
qx o
x FN+dF
FQ
dx FQ dFQN
y
Fy 0
FQ dFQ qydx FQ 0
dFQ dx

qy
dx
dx
MO 0 M - (M dM ) FQ 2 (FQ dFQ ) 2 0
第三章 静定结构的受力分析
§3-1 杆件受力分析 §3-2 静定多跨梁受力分析 §3-3 静定平面刚架受力分析 §3-4 静定平面桁架受力分析 §3-5 组合结构受力分析 §3-6 三铰拱受力分析 §3-7 静定结构总论
1
§3-1 杆件受力分析
静定结构的定义：
从几何组成的观点看，几何不变且无多余约束 的结构称为静定结构。
2）左右截面剪力不变。
m
m/2
l /2 l /2
m/2
12
内力图形状特征
Q图 M图
无何载区段 均布荷载区段 集中力作用处
平行轴线 斜直线
↓↓↓↓↓↓
＋ －
二次抛物线
凸向即q指向
发生突变
＋P －
出现尖点
尖点指向即P的指向
集中力偶作用处
无变化
发生突变
m
两直线平行
注备
Q=0区段M图 Q=0处，M 平行于轴线 达到极值
x ql FyB=ql/2 l tgθ
θC
θ
qlcosθ
qlsinθ l
解：
1）支座反力如上图示。
2）求任一截面C之MC、FQC、FNC 。
26
取右图AC段为隔离体：
q
(qlsinθ )/2 (qlcosθ)/2

ql/2
MC 0
MC Aθ
ql/2 x
s
qx
C FNC

qxcosθ
FQC
qxsinθ
ql2/8 M图
FQ 图
qlcosθ/2
qlsinθ
FN图
34
注意下图示梁C、D截面弯矩图的画法。 q
D
B
A
C
35
§3-2 静定多跨梁受力分析
一、静定多跨梁的构造特征和受力特征
1. 构造特征
静定多跨梁由两部分组成，即基本部分和附属部 分。组成的次序是先固定基本部分，再固定附属部 分，见下图。
A
B
C
D
B A 基本部分
附属部分1 C 附属部分2 D
36
2. 受力特征 由静定多跨梁的组成顺序可以看出，若荷载作
用在基本部分上，则附属部分不受力；若荷载作 用在附属部分上，则基本部分同样受力。
因此，静定多跨梁的内力分析应从附属部分开 始，即首先要求出附属部分传给基本部分的力。
二、内力分析
解题步骤： 1）画组成次序图 ； 2）从附属部分开始求出约束力，并标注于图中。 注意附属部分传给基本部分的力。
3
2. 隔离体
作隔离体应注意下列几点：
1）隔离体与其余部分的联系要全部切断，代 之以相应的约束力；
2）约束力要与被切断的约束性质相应；
A
C
FxA A
MA FyA
C FNC
FQC
A
B
FxA A
FyA
4
3）隔离体只画受到的力，不画该隔离体施加 给其余部分的力；
4）不要遗漏力。隔离体受力图应包括荷载以 及受到的全部约束力；
10
3. 集中力偶与内力之间的增量关系
m MB左
B
MB右 x
FQB左
dx
FQB右
y
Fy 0
FQB右 FQB左
MB 0
dx M B左 m M B右 (FQB左 FQB右 ) 2 0 M B右 M B左 m
11
小结： 1）集中力偶作用点左右截面的弯矩产生突变， M 图有台阶，台阶高度等于m。
20kN C
10kN E D 6kN
F 6k
A
B 3kN
13kN
N
9kN
14kN
1.5m 1.5m 1m 1.5m 1.5m 1m
3m
对于CE段梁:
MD 0
FyC

1 (101.5 61) 3

9 3

3kN ()
Fy 0 FyD 13kN()
39
4kN/m
20kN
10kN C
B
90°
FQB
31
解：
1) 求A、B截面剪力 和轴力
MA 0
qlcosθ r
FQB

ql 2 2

cos
l
FNAB
θ
A
1 ql cos s
FQAB
2
q ql θ
l/cosθ
l
B FQBA
Fr 0
FQAB

1 2
ql cos
ql cos

0
FQAB

1 2
ql
cos
Fs 0 FNAB ql sin 0 FNAB ql sin
FQ图（kN） 7
20
例3-1-2 作图示单跨梁的M、FQ图。
80kN·m 160kN
40kN/m
40kN
A BC
D
E
F
1m 1m 2m
4m
2m
解：130kN 1）求支座反力
310kN
ME 0
FyA

1 8
(160 6

40 4 2
80

40
2
40 21) 1040 / 8 130kN()
y
Fy 0
FQB右 FP FQB左 0 FQB右 FQB左 FP
MB 0
M B左
M B右

(FQB左

FQB右 )
dx 2

0
M B左 M B右
9
小结： 1）在有集中力作用点的左右截面，剪力有突 变。剪力图有台阶，台阶高度等于力值FP 。 2）M 图上有尖点，尖点指向同集中力的指向。
E D 6kN
F 6kN
A
B 3kN
13kN
9kN
14kN
1.5m 1.5m 1m 1.5m 1.5m 1m
3）对于每一段单跨梁，用分段叠加法作M 图。
37
例3-2-1 作图示静定多跨梁的M图和FQ图。
20kN
10kN
4kN/m
A
BC
D
E
F
1.5m 1.5m 1m 1.5m 1.5m 1m
3m
解：
1）作组成次序图
20kN
C
A
B
10kN
4kN/m
DE
F
组成次序图
38
2）求附属部分和基本部分的约束力
4kN/m
80kN·m Mc
A
C
130kN 1m 1m FQCA
取右图AD段为隔离体：
MD 0
M D 130 4 80 160 2 600 320 280kN.m(下拉)
160kN
80kN·m
MD
A
D
C
1m 1m 2m
130kN
FQDC
22
对悬臂段EF：
ME 0
ME

40 2
θ A (qlcosθ)/2
B (qlcosθ)/2
29
3) 作内力图。
(qlcosθ)/2 (qlsinθ)/2
ql2/8 M图 FQ 图
FN 图
(qlcosθ)/2 (qlsinθ)/2
30
例3-1-3 作图示斜梁的内力图。
x FxA A θ
FyA
q
l /cosθ
ql
C
θ
qlcosθ
qlsinθ l
集中力作用截 集中力偶作用面
面剪力无定义
弯矩无定义
在自由端、铰支座、铰结点处，无集中力偶作用，截面弯矩 等于零，有集中力偶作用，截面弯矩等于集中力偶的值。
三、分段叠加法作弯矩图
分段叠加法是依据叠加原理得到的作 M 图的 简便作图法。
叠加原理：结构中由全部荷载所产生的内力 或变形等于每一种荷载单独作用所产生的效果 的总和。只有线性变形体才适用叠加原理。
130 A BC
D 30
120
40
E
F
FQ 图（kN）
190
24
小结： 1）弯矩叠加是指竖标以基线或杆轴为准叠加， 而非图形的简单拼合； 2）应熟悉简支梁在常见荷载下的弯矩图； 3）先画M 图后画FQ图，注意荷载与内力之间 的微分关系。
25
四、斜杆受力分析
以下图示斜梁为例进行讨论。 q B
FxA=0 A FyA=ql/2
16
步骤： 1）选定控制截面，求控制截面在全部荷载作 用下的 M 值，将各控制面的 M 值按比例画在 图上，在各控制截面间连以直线——基线。
控制截面：集中力或者集中力偶作用截面， 分布荷载的起点和终点以及梁的左、右端支座 截面等。
2）对于各控制截面之间的直杆段，在基线上 叠加该杆段作为简支梁时由杆间荷载产生的 M 图。
的集度 qx ，但正负号相反。
7
因此： 若剪力等于0，Q图为水平线,M 图平行 于杆轴； 若剪力为常数，Q图为斜直线,M图 为抛物线, 且凸向与荷载指向相同. 若剪力为x 的一次函数，即为均布荷载时， M 图为抛物线。
8
2. 集中荷载与内力之间的增量关系
MB左
FP
B
MB右 x
FQB左 dx
FQB右