问题解决与小学数学教学

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关于体积概念的发展
• 在一个底面积是9平方厘米，上面有刻度 的长方体容器中，注入一些水，另有一个上面有刻 度 的长方体的棒，棒底面积是1平方厘米。
• 将棒慢慢放入长方体容器水中，使水淹没棒4格，问容器水面有什么变化，变化了多少，为 什么？
• 如将棒直插到容器底，再向上提起，使棒底离容器底4厘米，这时水面会发生什么变化，变 化了多少？为什么？
• 执行方案：执行你的解题方案，检查每一个步骤。你能清楚地看出这个步骤是正确的吗？你能证 明你的解答是正确的吗？
• 回顾：你能检验你的结果吗？你能以不同方式推导出这个结果吗？你能在别的题目中利用这个结 果吗
2007年5月19日
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小学几何教学建议
第一，要时刻把握几何直观的培养，要有图形意识，多让学生经历“实物—图形”和“图 形—实物”的过程；
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波利亚：怎样解题
• 理解题目：先从总体上认识题目而非细节。未知量是什么？已知数据是什么？条件是什么？条件 有可能满足吗？条件是否可以确定未知量？
• 拟定方案：你以前见过它吗？你知道一道于它有关的题目吗？你知道一个可能有用的公式吗？你 是否想到一道更容易着手的题目？你能解出这道题的一部分吗？你把题目中的关键观念都考虑到 了吗？
新的组合图形从不同的角度看到的形状如下，如何组 拼的？
上
左
右
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单位：分米 •
活动四：由两个长方体组合成新的几何体
新的组合图形从不同的角度看到的形 状如下，如何组拼
左
右
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上
现在刷漆的面积怎么算？
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单位：分米 •
活动五：体积与容积——装的问题
右侧的柜子里放这样的小和长方体能 放几个？
• 特殊图形周长计算（长方形和正方形） • 组合图形周长计算
Βιβλιοθήκη Baidu
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• 长方形周长： – １．长＋宽＋长＋宽 – ２．长×２＋宽×２ – ３．（长＋宽）×２ 相同点：求长方形四条边长度之和． 不同点： １直接运用定义 ２直接运用图形特征 ３间接运用图形特征（有推理，也就是等量加等量和相等）
• 学生已有的经验、知识、观念影响学生的数学学习 • 学生的思维（认识）发展过程是整个人类思维（认识）发展过程的缩影 • 数学是系统化了的常识 • 数学的发展走了两条路：水平化发展与垂直化发展 • 把握数学的本质是一切教学法的根
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做学问 先学问
只学答
非学问
2007年5月19日
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问题
师 已知 已知 已知 已知 未知
生 已知 已知 已知 已知 未知
方法
师 已知 已知 系列 开放 开放
生 已知 未知 未知 开放 开放
结论
师 已知 已知 已知 开放 开放
生 未知 未知 未知 开放 开放
2007年5月19日
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谢谢观赏
问题解决与小学数学教学
我们一起了解自己的“问题解决”
关于“问题解决”你的问题是什么
听到或者看到“问题解决”你最先想到的是什么？ 请举例谈谈“问题解决”的基本过程是怎么样的？ 关于“问题解决”你最问的是什么？ 关于“问题解决”你最想听的是什么？ “问题解决”与“解决问题”一样吗？
案例1
求独立思考、思路合理、见解独到和有发明创造的问题.（波利亚） • 既要解决书本的、封闭的、确定的问题，又要解决现实生活的、开放的、不确定的问题
2007年5月19日
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综合与实践
• 问题提出的形式： 教师和教材提供的问题 教师设置情景引导学生提出问题 学生根据学习和生活实践提出问题
问题解决的过程： 发现问题、提出问题、分析问题、建立数学模型、求解数学模型、讨论解是否符合实际、
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2.5 6 8
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• 周长的概念： – 图形（平面，封闭，外边沿：直边与曲边） – 度量（一维量）—测量—测量工具（直尺）—量线段的长度（重合相等） – 直边图形（依次量，累加；变折为直） – 曲边图形（化曲为直，以直代曲） • 绕线法 • 滚动法 • 割圆术（分割—替代—求和）
材料
8cm
5cm
3cm
2cm
连接球
数量
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课程改革标准中要求的变化
• 初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并综合运用所学知识和技能解决问题，发展应用 意识
• 形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神 • 学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果 • 初步形成评价与反思的意识
第二，要把握几何学习的阶段发展，明确小学阶段的学习任务，主要是直观上、整体上认 识图形和空间，多装一些具体的东西在学生头脑中；
第三，教学过程和教学设计，包括活动的组织、提问和追问，情境的设置等，要紧密围绕 “图形的核心数学思想”，抓住教学内容的本质，而不是过早的形式化。
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我的信念
正方体、长方体的复习课 1. 复习什么？ 2. 设计什么相关联的问题情境？ 3. 抽象的几何体的性质与现实情境的对应？
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活动一：基本图形——正方体
棱长和为72分米的正方体 单位：分米
• 可以提出哪些问题？ 1. 棱长
列式：72÷12=6分米 2. 求表面积和体积
列式： 6×6×6=216(平方分米) 6×6×6=216(立方分米)
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关于问题与问题解决 • 一切知识均来自于人类对于解决问题的思索过程；而对于学习者而言，只有能够用以解决
问题的实用知识才会成为真正的知识（皮亚杰）。 • 教育课程的重要的最终目标就是教学生解决问题——数学和物理问题、健康问题、社会问
题以及个人适应性问题。 （加涅 ） • 掌握数学意味着什么？这就是要善于解题，不仅善于解一些标准的题，而且善于解一些要
解下面题目，并写出自己的思考过程。
客车和货车同时从A、B两地出发相向而行，货车每小时行60千米，结果在距离中点48千米 处相遇 . (1)如果客车的速度提高一倍,则他们恰好在中点处相遇.A、B两地相距多少千米？ (2) 如果在距离A地80千米处设一加油站，使得客车经过加油站后速度每小时提高了20千米，则 客车经过加油站2小时后与货车恰在中点处相遇．A、B两地相距多少千米？
调整数学模型直到得到符合实际的结果。
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波利亚：怎样解题
• 理解题目：先从总体上认识题目而非细节。未知量是什么？已知数据是什么？条件是什么？条件 有可能满足吗？条件是否可以确定未知量？
• 拟定方案：你以前见过它吗？你知道一道于它有关的题目吗？你知道一个可能有用的公式吗？你 是否想到一道更容易着手的题目？你能解出这道题的一部分吗？你把题目中的关键观念都考虑到 了吗？
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强调算式的意义 理解不同度量量的含义 数据的选择很关键
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单位：分米
活动二：由正方体变为长方体
• 长方体的表面积 列式： 1. (10×6+10×6+6×6) ×2 2. 10×6×4+2×6×6 3. 6×4×10+2×6×6 解释：
• 10
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多个角度思考问题
• 执行方案：执行你的解题方案，检查每一个步骤。你能清楚地看出这个步骤是正确的吗？你能证 明你的解答是正确的吗？
• 回顾：你能检验你的结果吗？你能以不同方式推导出这个结果吗？你能在别的题目中利用这个结 果吗
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1.梅克问题类型连续体——一种问题的分类方式
问题类型
I II III IV V
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单位：分米 •
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活动三：由长方体变为新的长方体
• 长方体继续长高、变长会变成什么样的几何 体？
如果是生活中的柜子，你给刷漆，面积是多少？ 方法一：涂五个面，上面不涂 方法二：涂四个面，后面、下面不涂
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具体问题具体分析；利用知识灵活解决现实中的问题 6
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单位：分米 •
活动四：由两个长方体组合成新的几何体
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• 写出同时满足下列条件的一个分数 （ ）。
• ①大于 ，并且小于 ；
• ②分子是一位质数；
• ③分母是两位质数。
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再思考
• 你还能自己出一道用刚才的方法来求解的题吗？ • 求解答案是我们解题的唯一目标吗？ • 解题后你想过你的解题过程吗？ • 形成你的解题程序了吗？
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• 底面边长为60厘米的长方体水箱中，放着一个底面边长为15厘米高100厘米的四棱柱铁块， 此时水箱里的水面深为50厘米。
• 若把铁块提离底面24厘米。问此时露出水面的铁块的高度。
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对于这个活动的思考
• 如果我为大家准备一些这样的拼插工具（8cm、5cm、3cm、2cm的小棍若干；连接小球若干） 你们能插出一个长方体或正方体吗？同桌商量一下，填写一个领料单，看哪个组领的料最合 适不多也不少。 领料单