第三章函数逼近
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第七章 函数逼近
用简单的函数p (x )近似地代替函数f (x ),是计算数学中最基本的概念和方法之一。近
似代替又称为逼近,函数f (x )称为被逼近的函数,p (x )称为逼近函数,两者之差
)()()(x p x f x R -=
称为逼近的误差或余项
在计算数学里,所谓简单的函数主要是指可以用加、减、乘、除四则运算进行计算的函
数,如有理分式函数、多项式等。由于多项式最简单,计算其值只需用到加、减与乘三种运算,且求其微分和积分都很方便,所以常用它来作为逼近函数,而被逼近的函数f (x )一般是一个比较复杂的不易计算的函数或以表格形式给出的函数。
第六章介绍的插值法实际上也是函数逼近的一种方法。不过,它要求函数p (x )与f (x )
在节点处具有相同的函数值 (甚至要求有相同的导数值),但在非节点处,p (x ) 虽然有可能很好地逼f (x ),但也可能使逼近f (x ) 的误差很大,如果实际问题要求p (x )在区间[a , b ] 上每一点都“很好”地逼近的话,用插值多项式p (x ) 去逼近f (x )有时就要失败,所谓龙格现象,就是典型一例。
大家知道,用f (x )的泰勒(Taylor)展开式
)()()!
1()()(!)()(!2)()
)(()()(010)1(00)(200000之间与在x x x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n n ξξ++-++-++-''+-'+=
的部分和去逼近函数f (x ),也是常用的方法。这种方法的特点是:x 越接近于x 0,误差就越小,x 越偏离x 0,误差就越大。若要使这种逼近在整个所讨论的区间上都达到精度要求,则需取很多项,这样,计算工作量就大大增加。因此,如何在给定精度下,求出计算量最小的
近似式,这就是函数逼近要解决的问题,这个问题的一般提法是:
对于函数类A 中给定的函数f (x ),要求在另一类较简单的且便于计算的函数类B (⊂ A )
中寻找一个函数p (x ),使p (x )与f (x )之差在某种度量意义下最小。 一般,最常见的函数A 是区间[a , b ]上的连续函数,记作C [a , b ]。 最常用的函数类B 有代数多项式、三角多项式以及有理分式函数等。 最常用的度量标准有两种: (一) 一致逼近
以函数f (x )和p (x )的最大误差
)()(max ]
,[x p x f b a x -∈
作为度量误差f (x ) - p (x )的“大小”的标准,在这种意义下的函数逼近称为一致逼近或均匀逼近,讲得更具体一点,也即对于任意给定的一个小正数ε >0,如果存在函数p (x ),使不等式
ε<-<<)()(max x p x f b
x a
成立,则称该函数p (x )在区间[a, b ]上一致逼近或均匀逼近于函数f (x )。 (二)平方逼近: 如果我们采用
dx x p x f b
a
⎰
-2)]()([
作为度量误差)()(x p x f -的“大小”的标准,在这种意义下的函数逼近称为平方逼近或均方逼近。这种方法要比一致逼近的相应问题简单得多。
本章主要介绍在这两种度量标准下用代数多项式p (x )去逼近区间[a, b ]上的连续函数,
也就是介绍函数的最佳一致逼近多项式和最佳平方逼近多项式。
由于正交多项式是函数逼近的重要工具,因此,下面先介绍几种常见的正交多项式。
§1 正交多项式 一、正交函数系的概念
高等数学中介绍傅立叶(Fourier)级数时,证明过函数系;
1, cos x ,sin x ,cos2x ,sin2x ,…,con nx ,sin nx ,… (7.1) 中任何两个函数的乘积在区间[-π ,π ]上的积分都等于0。我们称这个函数中任何两个函数在[-π ,π ]上是正交的,并且称这个函数为一个正交函数系。若对(7.1)中的每一个函数再分别乘以适当的数,使之成为:
nx nx x x sin 1
,
cos 1
,
,,sin 1
,
cos 1
,
21π
π
π
π
π
(7.2)
那么这个函数系在[-π ,π ]上不仅保持正交的性质,而且还地标准化的(规范的),亦即每
一个函数自乘之积,在[-π ,π ]上的积分是1。
为了使讨论更具有一般性,先要介绍一些基本概念。 1.权函数的概念 定义7.1 设ρ (x )定义在有限或无限区间[a , b ]上,如果具有下列性质: (1) ρ (x ) ≥0,对任意x ∈[a , b ], (2) 积分
dx x x n
b
a
)(ρ⎰
存在,(n = 0, 1, 2, …),
(3) 对非负的连续函数g (x ) 若
⎰
=b
a
dx x x g 0)()(ρ。
则在(a , b )上g (x ) ≡ 0,我们就称ρ (x )为[a , b ]上的权函数。 在正交多项式的讨论中,会遇到各种有意义的权函数,常用的权函数有: 1)(],1,1[],[=-=x b a ρ;
2
11)(],1,1[],[x
x b a -=
-=ρ
x e x b a -=∞=)(],,0[],[ρ
2
)(],,[],[x e x b a -=∞+-∞=ρ
等等。 2.内积的概念
定义7.2 设f (x ),g (x ) ∈ C [a , b ],ρ (x )是[a , b ]上的权函数,则称
⎰=b
a
dx x g x f x g f )()()(),(ρ
为f (x )与g (x )在[a , b ]上以ρ (x )为权函数的内积。 内积有如下性质:
(1) (f , f )≥0,且(f , f )=0 ⇔ f = 0; (2) (f , g ) = (g , f );
(3) (f 1 + f 2, g ) = (f 1, g ) + (f 2, g ); (4) 对任意实数k ,(kf , g ) = k (f , g )。 这些性质,由内积的定义不难得到证明。 3.正交性的概念
定义7.3 设f (x ),g (x ) ∈C [a , b ]若
⎰==b
a
dx x g x f x g f 0)()()(),(ρ
则称f (x )与g (x )在[a , b ]上带权ρ (x )正交。
定义7.4 设在[a , b ]上给定函数系{
} ),(,),(),(10x x x n ϕϕϕ,若满足条件
())
(),1,0,(,0,0)(),((是常数k k k
j A k j k
j A k
j x x ⎩⎨⎧==>≠= ϕϕ
则称函数系{ϕk (x )}是[a , b ]上带权ρ (x )的正交函数系,特别地,当A k ≡ 1时,则称该函数系为标准正交函数系。若定义7.4中的函数系为多项式函数系{} )(),(10x p x p ,则称{}
)(x p k