第三章函数逼近

第七章 函数逼近

用简单的函数p (x )近似地代替函数f (x )，是计算数学中最基本的概念和方法之一。近

似代替又称为逼近，函数f (x )称为被逼近的函数，p (x )称为逼近函数，两者之差

)()()(x p x f x R -=

称为逼近的误差或余项

在计算数学里，所谓简单的函数主要是指可以用加、减、乘、除四则运算进行计算的函

数，如有理分式函数、多项式等。由于多项式最简单，计算其值只需用到加、减与乘三种运算，且求其微分和积分都很方便，所以常用它来作为逼近函数，而被逼近的函数f (x )一般是一个比较复杂的不易计算的函数或以表格形式给出的函数。

第六章介绍的插值法实际上也是函数逼近的一种方法。不过，它要求函数p (x )与f (x )

在节点处具有相同的函数值 (甚至要求有相同的导数值)，但在非节点处，p (x ) 虽然有可能很好地逼f (x )，但也可能使逼近f (x ) 的误差很大，如果实际问题要求p (x )在区间[a , b ] 上每一点都“很好”地逼近的话，用插值多项式p (x ) 去逼近f (x )有时就要失败，所谓龙格现象，就是典型一例。

大家知道，用f (x )的泰勒(Taylor)展开式

)()()!

1()()(!)()(!2)()

)(()()(010)1(00)(200000之间与在x x x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n n ξξ++-++-++-''+-'+=

的部分和去逼近函数f (x )，也是常用的方法。这种方法的特点是：x 越接近于x 0，误差就越小，x 越偏离x 0，误差就越大。若要使这种逼近在整个所讨论的区间上都达到精度要求，则需取很多项，这样，计算工作量就大大增加。因此，如何在给定精度下，求出计算量最小的

近似式，这就是函数逼近要解决的问题，这个问题的一般提法是：

对于函数类A 中给定的函数f (x )，要求在另一类较简单的且便于计算的函数类B (⊂ A )

中寻找一个函数p (x )，使p (x )与f (x )之差在某种度量意义下最小。 一般，最常见的函数A 是区间[a , b ]上的连续函数，记作C [a , b ]。 最常用的函数类B 有代数多项式、三角多项式以及有理分式函数等。 最常用的度量标准有两种： (一) 一致逼近

以函数f (x )和p (x )的最大误差

)()(max ]

,[x p x f b a x -∈

作为度量误差f (x ) - p (x )的“大小”的标准，在这种意义下的函数逼近称为一致逼近或均匀逼近，讲得更具体一点，也即对于任意给定的一个小正数ε >0，如果存在函数p (x )，使不等式

ε<-<<)()(max x p x f b

x a

成立，则称该函数p (x )在区间[a, b ]上一致逼近或均匀逼近于函数f (x )。 (二)平方逼近： 如果我们采用

dx x p x f b

a

⎰

-2)]()([

作为度量误差)()(x p x f -的“大小”的标准，在这种意义下的函数逼近称为平方逼近或均方逼近。这种方法要比一致逼近的相应问题简单得多。

本章主要介绍在这两种度量标准下用代数多项式p (x )去逼近区间[a, b ]上的连续函数，

也就是介绍函数的最佳一致逼近多项式和最佳平方逼近多项式。

由于正交多项式是函数逼近的重要工具，因此，下面先介绍几种常见的正交多项式。

§1 正交多项式 一、正交函数系的概念

高等数学中介绍傅立叶(Fourier)级数时，证明过函数系；

1， cos x ，sin x ，cos2x ，sin2x ，…，con nx ，sin nx ，… (7.1) 中任何两个函数的乘积在区间[-π ,π ]上的积分都等于0。我们称这个函数中任何两个函数在[-π ,π ]上是正交的，并且称这个函数为一个正交函数系。若对(7.1)中的每一个函数再分别乘以适当的数，使之成为：

nx nx x x sin 1

,

cos 1

,

,,sin 1

,

cos 1

,

21π

π

π

π

π

（7.2)

那么这个函数系在[-π ,π ]上不仅保持正交的性质，而且还地标准化的(规范的)，亦即每

一个函数自乘之积，在[-π ,π ]上的积分是1。

为了使讨论更具有一般性，先要介绍一些基本概念。 1．权函数的概念 定义7.1 设ρ (x )定义在有限或无限区间[a , b ]上，如果具有下列性质： (1) ρ (x ) ≥0，对任意x ∈[a , b ]， (2) 积分

dx x x n

b

a

)(ρ⎰

存在，(n = 0, 1, 2, …)，

(3) 对非负的连续函数g (x ) 若

⎰

=b

a

dx x x g 0)()(ρ。

则在(a , b )上g (x ) ≡ 0，我们就称ρ (x )为[a , b ]上的权函数。 在正交多项式的讨论中，会遇到各种有意义的权函数，常用的权函数有： 1)(],1,1[],[=-=x b a ρ；

2

11)(],1,1[],[x

x b a -=

-=ρ

x e x b a -=∞=)(],,0[],[ρ

2

)(],,[],[x e x b a -=∞+-∞=ρ

等等。 2．内积的概念

定义7.2 设f (x )，g (x ) ∈ C [a , b ]，ρ (x )是[a , b ]上的权函数，则称

⎰=b

a

dx x g x f x g f )()()(),(ρ

为f (x )与g (x )在[a , b ]上以ρ (x )为权函数的内积。 内积有如下性质：

(1) (f , f )≥0，且(f , f )=0 ⇔ f = 0； (2) (f , g ) = (g , f )；

(3) (f 1 + f 2, g ) = (f 1, g ) + (f 2, g )； (4) 对任意实数k ，(kf , g ) = k (f , g )。 这些性质，由内积的定义不难得到证明。 3．正交性的概念

定义7.3 设f (x )，g (x ) ∈C [a , b ]若

⎰==b

a

dx x g x f x g f 0)()()(),(ρ

则称f (x )与g (x )在[a , b ]上带权ρ (x )正交。

定义7.4 设在[a , b ]上给定函数系{

} ),(,),(),(10x x x n ϕϕϕ，若满足条件

())

(),1,0,(,0,0)(),((是常数k k k

j A k j k

j A k

j x x ⎩⎨⎧==>≠= ϕϕ

则称函数系{ϕk (x )}是[a , b ]上带权ρ (x )的正交函数系，特别地，当A k ≡ 1时，则称该函数系为标准正交函数系。若定义7.4中的函数系为多项式函数系{} )(),(10x p x p ，则称{}

)(x p k