上海市交大附中2017年高二上学期数学月考试卷及答案
上海市高二上学期12月月考数学试题(解析版)
一、填空题1．抛掷两枚硬币，恰好出现一次正面向上的概率是__________. 【答案】##0.512【分析】列举出所有的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】同时抛掷两枚硬币，可能出现的所有结果有：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反）.恰好出现一次正面向上的概率:.21=42P =故答案为：.122．用斜二测画法画出的水平放置的的直观图如图，其中，若原的面积ABC 1B O C O ''''==ABC 为2，则______． A O ''=【答案】1【分析】根据斜二测画法原则可还原,利用面积公式计算即可求解.ABC 【详解】由直观图可还原,如下图所示, ABC其中,又因 1,2OB O B OC O C BC B C ¢¢¢¢¢¢======,2OA BC AO A O ¢¢^=所以 11222222ABC S BC A O A O ¢¢¢¢=´=´´=即得1A O ¢¢=故答案为: .13．已知圆锥的侧面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是_________.2π【答案】1【分析】设出圆锥底面半径和母线长，利用侧面展开后，扇形弧长公式和面积公式进行求解.【详解】设圆锥的底面半径为r ，圆锥的母线长为l ，则，解得：，又21π2π2l =2l =2ππ2πr l ==，解得：.1r =故答案为：14．已知事件A 与事件B 相互独立，若，，则______．()0.3P A =()0.6P B =()P A B ⋂=【答案】0.42## 2150【分析】根据相互独立事件概率乘法公式以及对立事件的概率公式求得正确答案.【详解】.()()()()10.30.60.42P A B P A P B ⋂=⨯=-⨯=故答案为：0.425．在四棱台中的12条棱所在直线中，与直线是异面直线的共有______条1111ABCD A B C D -1AB 【答案】6【分析】根据异面直线的定义来确定正确答案.【详解】根据异面直线的定义可知，与直线是异面直线的有：1AB ，共条，111111,,,,,A D BC CD DD D C C C 6故答案为：66．为了了解某水库里大概有多少条鱼，先打捞出了1000条鱼，在鱼身上标记一个不会掉落的印记后放回水库，过一段时间后再次捕捞了200条鱼，发现其中5条鱼有印记．则这个水库里大概有______条鱼【答案】40000【分析】利用“捉放捉”原则即可求得这个水库里大概有40000条鱼【详解】设水库里大概有x 条鱼，则，解之得 10005200x =40000x =故答案为：400007．正四面体ABCD 的各棱长均为2，则点A 到平面BCD 的距离为______．【分析】设是底面的中心，则的长是点A 到平面BCD 的距离，由勾股定理计算可O BCD △AO 得．【详解】如图，是底面的中心，则平面，平面，，O BCD △AO ⊥BCD BO ⊂BCD AO BO ⊥正四面体ABCD 的棱长均为2，则， 223BO ==． AO ===8．下列说法中正确的是______．①一组数据中比中位数大的数和比中位数小的数一样多；②极差、方差、标准差都是描述一组数据的离散程度的统计量；③平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的统计量．【答案】②③【分析】根据中位数，平均数、众数、极差、方差和标准差的定义即可判断.【详解】对于①，中位数是一组数据按照从小到大的顺序排列，位于中间的那个数据（或中间两个数据的平均数），但是也有一些特殊的，比如：这组数据，中位数是，而比小1,2,3,4,4,5,6,7,844的数据是个，比大的数据却是个，所以一组数据中比中位数大的数和比中位数小的数不一定344一样多，故①说法错误；对于②，极差反映的是一组数据最大值与最小值的差，方差和标准差反映了数据分散程度的大小，所以说极差、方差、标准差都是描述一组数据的离散程度的统计量，故②说法正确；对于③，平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的量，所以说平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的统计量，故③说法正确，故答案为：②③.9．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高4cm ，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为3cm ．若不计容器的厚度，则球的体积为______3cm【答案】## 1256π1256π【分析】过球心作与正方体的前后面平行的截面，如图，截球得大圆，截正方体得正方形，ABCD 水面是过点的虚数，它与圆相切，然后根据圆（球）的性质计算出球半径，从而得体积．E 【详解】过球心作与正方体的前后面平行的截面，如图，截球得大圆，截正方体得正方形，ABCD ，线段是正方体上底面截球所得截面圆直径，虚线表示水面，，设球半径4AB =AB 431EF =-=为，则，， R 1OE R =-122AF AB ==由勾股定理得，即，解得， 222OA AF OF =+2222(1)R R =+-52R =所以球体积为． 33445125()3326V R πππ==⨯=故答案为：． 1256π10．甲、乙两人进行某项比赛，采用三局两胜模式，假定甲每一局比赛赢的概率都为0.6，则甲最终赢得比赛的概率为______．【答案】0.648【分析】分析试验过程，分别求出两局比赛后甲获胜和三局比赛后甲获胜的概率，即可求解.【详解】甲、乙两人进行某项比赛，每局比赛相互独立.两局比赛后甲获胜的概率为：；0.60.60.36⨯=三局比赛后甲获胜的概率为：；20.60.40.60.288⨯⨯⨯=所以甲最终赢得比赛的概率为：.0.360.2880.648+=故答案为：0.64811．从编号分别为1、2、3、4、5的5个大小与质地相同的小球中随机取出3个，则恰有2个小球编号相邻的概率为______． 【答案】##0.6 35【分析】利用列举法写出所有可能的基本事件，并列出所有满足恰好两个小球编号相邻的可能情况，然后利用古典概型求解.【详解】依题意得，取出的三个小球编号的所有可能为，123,124,125,134,135,145,234,235,245,345共种，其中恰好两个小球编号相邻的有，共种，根据古典概型的计算10124,125,134,145,235,2456公式，恰有2个小球编号相邻的概率为：. 63105=故答案为： 3512．已知直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD =60°．以1D 侧面BCC 1B 1的交线长为________．.【分析】根据已知条件易得侧面，可得侧面与球面的交线上的点1D E 1D E ⊥11B C CB 11B C CB到与球面的交线是扇形的弧，再根据弧长公式可求得结E 11B C CB EFG FG果.【详解】如图：取的中点为，的中点为，的中点为，11B C E 1BB F 1CC G 因为60°，直四棱柱的棱长均为2，所以△为等边三角形，所以BAD ∠=1111ABCD A B C D -111D B C，1D E 111D E B C ⊥又四棱柱为直四棱柱，所以平面，所以，1111ABCD A B C D -1BB ⊥1111D C B A 111BB B C ⊥因为，所以侧面，1111BB B C B = 1D E ⊥11B C CB 设为侧面与球面的交线上的点，则，P 11B C CB 1D E EP ⊥，所以1D E =||EP ===所以侧面与球面的交线上的点到，11B C CB E因为与球面的交线是扇形的弧， ||||EF EG ==11B C CB EFG FG因为，所以， 114B EF C EG π∠=∠=2FEG π∠=所以根据弧长公式可得. 2FGπ==. 【点睛】本题考查了直棱柱的结构特征，考查了直线与平面垂直的判定，考查了立体几何中的轨迹问题，考查了扇形中的弧长公式，属于中档题.二、单选题13．平面与平面相交于直线l ，点A 、B 在平面上，点C 在平面上但不在直线l 上，直线αβαβAB 与直线l 相交于点D ．设A 、B 、C 三点确定的平面为，则与的交线是（ ）γβγA ．直线ACB ．直线ABC ．直线CD D ．直线BC【答案】C【分析】根据已知得既在平面上又在平面可得答案.D C 、βγ【详解】因为直线AB 与直线l 相交于点D ，，所以平面，D ∈l D ∈β又点C 在平面上，所以平面，βCD ⊂β因为平面，点在直线AB 上，所以平面，AB ⊂γD D ∈γ又平面，所以平面，C ∈γCD ⊂γ所以与的交线是直线.βγCD 故选：C.14．掷一颗骰子，设事件：落地时向上的点数是奇数，事件：落地时向上的点数是偶数，事件A B ：落地时向上的点数是的倍数，事件：落地时向上的点数是．则下列每对事件中，不是互C 3D 4斥事件的为（ ）A ．与B ．与C ．与D ．与A B B C A D C D 【答案】B【分析】判断选项中的两个事件是否可以同时发生即可.【详解】对于A ，“落地时向上的点数是奇数”与“落地时向上的点数是偶数”不可能同时发生， ∴，事件与事件互斥，故选项A 不正确；A B ⋂=∅A B 对于B ，“落地时向上的点数是偶数”与“落地时向上的点数是的倍数”同时发生即“落地时向上的点3数是”，6∴“落地时向上的点数是”，事件与事件不是互斥事件，故选项B 正确；B C ⋂=6B C 对于C ，“落地时向上的点数是奇数”与“落地时向上的点数是” 不可能同时发生，4∴，事件与事件互斥，故选项C 不正确；A D ⋂=∅A D 对于D ，“落地时向上的点数是的倍数”与“落地时向上的点数是” 不可能同时发生， 34∴，事件与事件互斥，故选项D 不正确.C D ⋂=∅C D 故选：B.15．某地教育行政部门为了解“双减”政策的落实情况，在某校随机抽取了100名学生，调查他们课后完成作业的时间，根据调查结果绘制如下频率直方图.根据此频率直方图，下列结论中错误的是（ ）A ．估计该校学生的平均完成作业的时间超过2.7小时B ．所抽取的学生中有25人在2小时至2.5小时之间完成作业C ．该校学生完成作业的时间超过3.5小时的概率估计为20%D ．估计该校有一半以上的学生完成作业的时间在2小时至3小时之间【答案】D【分析】对A ，根据直方图中平均数的公式计算，可判断A;对B ，利用直方图中2小时至小时2.5之间的频率判断B;对C ，计算超过3.5小时的频率可判断C;对D ，计算做作业的时间在2小时至3小时之间的频率，可判断D.【详解】对A ，直方图可计算学生做作业的时间的平均数为：1.250.05 1.750.152.250.25 2.750.203.250.15⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 3.750.104.250.05 4.750.05+⨯+⨯+⨯，所以A 正确；2.75 2.7=>对B ，直方图中2小时至小时之间的频率为，故所抽取的学生中有2.5()2.520.50.25-⨯=25人在2小时至小时之间完成作业，故B 正确；1000.25⨯= 2.5对C ，由直方图得超过3.5小时的频率为,所以C 正确；0.5(0.20.10.1)0.2⨯++=对D ，做作业的时间在2小时至3小时之间的频率为，所以D 错误. 0.5(0.50.4)0.450.5⨯+=<故选：D16．在棱长为2的正方体中，E 为棱BC 的中点，F 是侧面内的动点，若1111ABCD A B C D -11B BCC 平面，则点F 轨迹的长度为（ ）1//A F 1AD EA B C D ．【答案】B【分析】取中点，中点，连接，则易证平面平面，进而得当F 的轨1BB M 11B C N MN 1//A MN 1AD E 迹为线段时，则有平面，再根据勾股定理及三角形的中位线计算即可.MN 1//A F 1AD E 【详解】如图所示：取中点，中点，连接，1BB M 11B C N MN 因为，，//MN 1BC 1//BC 1AD 所以，//MN 1AD 平面，平面，MN ⊄1AD E 1AD ⊂1AD E 所以平面，//MN 1AD E 同理可证明平面，1//A N 1AD E 又因为，平面，1MN A N N = 1,MN A N ⊂1A MN 所以平面平面，1//A MN 1AD E 当F 的轨迹为线段时，此时平面，则有平面，MN 1A F ⊂1A MN 1//A F 1AD E此时. 11122MN BC ==⨯=故选：B.三、解答题17．某校共有在校学生200人，为了了解该校学生的体能情况，对该校所有学生进行体能测试，然后采用分层抽样的方法随机抽取了20名学生的成绩，整理得到如下茎叶图：(1)求该校女学生人数、样本中女生成绩的极差、25百分数；(2)已知全体女生的平均成绩为70，全体男生的平均成绩为72，求该校全体学生的平均成绩．【答案】(1)80，32，62(2)71.2【分析】（1）利用样本与总体的关系即可求得该校女学生人数；依据极差定义即可求得样本中女生成绩的极差；依据百分位数定义即可求得样本中女生成绩的25百分数；（2）利用平均数定义即可求得该校全体学生的平均成绩．【详解】（1）样本中女生有8人，则该校女学生人数为 20880200÷=样本中女生成绩由小到大排列为 5659656873747788，，，，，，，则样本中女生成绩的极差为885632-=由，可得样本中女生成绩的25百分数为 80.252⨯=5965622+=（2）由（1）可得该校女学生人数为，则该校男生人数为120 80又全体女生的平均成绩为70，全体男生的平均成绩为72，则该校全体学生的平均成绩为 80701207271.2200⨯+⨯=18．如图，在圆柱中，底面直径AB 等于母线．1AA(1)若AB ＝2，求圆柱的侧面积；(2)设AB 与CD 是底面互相垂直的两条直径，求异面直线AC 与所成角的大小．1A B 【答案】(1)；4π(2). π3【分析】（1）由已知得到底面半径以及母线的值，代入公式即可求出； r l （2）用向量、、来表示出、，进而求出它们的夹角，即可求出结果.AB DC 1AA AC 1A B u u u r 【详解】（1）由已知可得，底面半径，母线，1r =12l AA ==所以圆柱的侧面积.2π4πS rl ==（2）由已知可得，两两垂直，且相等，1,,AB CD AA设，则，. 2AB =1OA OC ==AC =1A B ==又， ， 1122AC OC OA DC AB =-=+u u u r u u u r u u r u u u r u u u r 11A B AB AA =-u u u r u u u r u u u r 则. ()111122AC A B DC AB AB AA ⎛⎫⋅=+⋅- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 21111112222DC AB DC AA AB AB AA =⋅-⋅+-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2122AB ==u u u r所以，11cos ,2AC A B =u u u r u u u r 又，所以， 10,πAC A B ≤≤u u u r u u u r 1π,3AC A B =u u u r u u u r 所以异面直线AC 与所成角的大小为. 1A B π319．如图，已知三棱柱的高为2，底面ABC 是边长为2的正三角形．111ABC A B C -(1)求四棱锥的体积；111A BBCC -(2)若，求证：侧面为矩形．11A B A C =11B BCC 【答案】(2)证明见解析【分析】（1）三棱柱可分割成三棱锥和四棱锥两部分，因此用三111ABC A B C -1A ABC -111A B BCC -棱柱的体积减三棱锥的体积就能得到四棱锥的体积； 111ABC A B C -1A ABC -111A B BCC -（2）由棱柱定义知，四边形为平行四边形，因此只需借助空间中直线、平面的垂直关系，11B BCC 证明其中一个角为直角即可.【详解】（1）三棱柱可分割成三棱锥和四棱锥两部分，111ABC A B C -1A ABC-111A B BCC -三棱柱的体积， 111ABC A B C -1111=22sin 6022ABC A B CABC V S h -=⨯⨯⨯︒⨯= 三棱锥的体积 1A ABC -11=3A ABC ABC VS h -= ∴四棱锥的体积. 111A B BCC -1111111A B BCC ABC A B C A ABC V V V ---=-==（2）取中点，连接，， BC M AM 1A M ∵是等边三角形，是边上的中线，ABC AM BC ∴也是边上的高，即，AM BC AM BC ⊥又∵，∴是等腰三角形，11A B A C =1A BC ∴是边上的中线，也是边上的高，即，1A M BC BC 1A M BC ⊥又∵，平面，平面，1AM A M M ⋂=AM ⊂1AMA 1A M ⊂1AMA ∴平面，BC ⊥1AMA ∵平面，1AA ⊂1AMA ∴，1BC AA ⊥由棱柱定义知，，，111AA BB CC ∥∥111AA BB CC ==∴，四边形为平行四边形，1BC BB ⊥11B BCC ∴侧面四边形为矩形.11B BCC 20．掷黑、白两枚骰子．(1)设事件A 为：两枚骰子的点数和为7，事件B 为：白色骰子的点数是1．判断事件A 和事件B 是否独立，并说明理由；(2)设事件C 为：两枚骰子中至少有一枚的点数是1且两枚骰子点数之和不是7．求事件C 的概率．【答案】(1)是，理由见解析 (2)14【分析】（1）写出所有的基本事件，再求出A ，B 发生的概率，根据概率公式 ()()()·P AB P A P B =来判断A ，B 事件是否独立；（2）根据事件C 包含的基本事件数，按照古典概型概率计算公式可求出事件C 的概率.【详解】（1）投掷黑、白两枚骰子一次的点数记作，所有基本事件如下： (),x y ，()2:1,1 ，()()3:1,2,2,1 ，()()()4:2,2,1,3,3,1 ，()()()()5:1,4,4,1,2,3,3,2 ，()()()()()6:3,3,1,5,5,1,2,4,4,2 ，()()()()()()7:1,6,6,1,2,5,5,2,3,4,4,3 ，()()()()()8:4,4,2,6,6,2,3,5,5,3 ，()()()()9:3,6,6,3,4,5,5,4 ，()()()10:5,5,4,6,6,4 ，()()11:5,6,6,5 ，()12:6,6共36个，事件包含6个基本事件，即，A ()()()()()()1,6,6,1,2,5,5,2,3,4,4,3事件包含6个基本事件，即，B ()()()()()()1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,1事件只包含，C ()6,1所以， ，所以A ，B 是独立事件； ()()()()()61611,,36636636P A P B P AB P A P B ======（2）根据（1）所列出的基本事件，事件包含9个基本事件，即C ，所以，. ()()()()()()()()()1,1,1,2,2,1,1,3,3,1,1,4,4,1,1,5,5,1()91364P C ==综上，A ，B 是独立事件， . ()14P C =21．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，P ABCD -ABCD AD BC ∥AB BC ⊥分别为棱中点．2AB AD BC AB E F ==，，、BC BP 、(1)求证：平面平面；AEF ∥DCP (2)若平面平面，直线与平面所成的角为，且，求二面角PBC ⊥ABCD AP PBC 45 CP PB ⊥的大小．P AB D --【答案】(1)证明见解析 (2)3π【分析】（1）证明平面，平面，即可证明结论；//EF PCD //AE PCD （2）根据面面垂直性质定理得，进而得，再根据题意证明平面可45APB ∠= AB PB =PC ⊥ABP 得为直角三角形，再根据几何关系得，进而根据是二面角的平PBC 60PBC ∠= PBC ∠P AB D --面角求解即可.【详解】（1）证明：因为分别为棱中点，E F 、BC BP 、所以，在中，，PBC //EF PC 因为平面，平面，EF ⊄PCD PC ⊂PCD 所以，平面，//EF PCD 因为，为棱中点．AD BC ∥2BC AB E =，BC 所以，，//,AD CE AD CE =所以，四边形是平行四边形，ADCE 所以，//CD AE 因为平面，平面，AE ⊄PCD DC ⊂PCD 所以，平面，//AE PCD 因为平面，,,AE EF E AE EF ⋂=⊂AEF 所以，平面平面AEF ∥DCP （2）解：因为平面平面，平面平面，，平面PBC ⊥ABCD PBC ⋂ABCD BC =AB BC ⊥AB ⊂，ABCD 所以，平面AB ⊥PBC 所以，是直线与平面所成的角，APB ∠AP PBC 因为，直线与平面所成的角为，AP PBC 45所以，，45APB ∠= 所以，AB PB =因为平面，,PC PB ⊂PBC 所以，，AB PC ⊥AB PB ⊥因为，，平面， CP PB ⊥AB BP B = ,AB BP ⊂ABP 所以平面，PC ⊥ABP 因为平面，PB ⊂ABP 所以，即为直角三角形，PC PB ⊥PBC所以，在中，由可得， PBC 22BC AB PB ==PC所以，， tan PC PBC PB∠==60PBC ∠= 因为，，AB PB ⊥AB BC ⊥所以，是二面角的平面角， PBC ∠P AB D --所以，二面角的大小为.P AB D --60。
上海市交大附中2017-2018学年高一上学期第一次月考数
上海交通大学附属中学2017-2018学年度第一学期高一数学月考一 试卷一、填空题（1-6题每题4分，7-12题每题5分）1. 用列举法表示方程22320,x x x R --=∈的解集是____________.2. 已知集合2{1,},{1,}A m B m =-=，且A B =，则m 的值为____________.3. 设集合{1,2,6},{2,4},{|15,}A B C x x x R ===-≤≤∈，则()A B C =____________.4. 已知关于x 的一元二次不等式20ax x b ++>的解集为(,2)(1,)-∞-+∞，则a b -=____________.5. 设集合{}3(,)|1,(,)12y U x y y x A x y x ⎧-⎫==+==⎨⎬-⎩⎭，则U A =ð____________.6. 不等式21x≥+____________. 7. 已知x R ∈，命题“若25x <<，则27100x x -+<”的否命题是____________.8. 设[]:13,:1,25x x m m αβ-≤≤∈-+，α是β的充分条件，则m ∈____________.9. 若对任意x R ∈，不等式22(1)(1)10a x a x ----<恒成立，则实数a 值范围是____________.10. 向50名学生调查对A 、B 两事件的态度，有如下结果：赞成A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对A 、B 都不赞成的学生数比对A 、B 都赞成的学生数的三分之一多1人. 问对A 、B 都赞成的学生有____________人11. 设[]x 表示不超过x 的最大整数（例如：[5.5]5,[ 5.5]6=-=-），则2[]5[]60x x -+≤的解集为____________.12. 已知有限集123{,,,,}(2)n A a a a a n =≥. 如果A 中元素(1,2,3,,)i a i n =满足1212n n a a a a a a =+++，就称A 为“复活集”，给出下列结论：①集合⎪⎪⎩⎭是“复活集”； ②若12,a a R ∈，且12{,}a a 是“复活集”，则124a a >； ③若*12,a a N ∈，则12{,}a a 不可能是“复活集”； ④若*i a N ∈，则“复活集”A 有且只有一个，且3n =.其中正确的结论是____________.（填上你认为所有正确的结论序号） 二、选择题（每题5分）13. 若集合P 不是集合Q 的子集，则下列结论中正确的是（ ）A. Q P ⊆B. PQ =∅ C. P Q ≠∅ D. P Q P ≠14. 集合{}*|4|21|A x x N =--∈，则A 的非空真子集的个数是（ ）A. 62B. 126C. 254D. 51015. 已知,,a b c R ∈，则下列三个命题正确的个数是（ ） ①若22ac bc >，则a b >；②若|2||2|a b ->-，则22(2)(2)a b ->-③若0a b c >>>，则a a cb b c+>+； ④若0,0,4,4a b a b ab >>+>>，则2,2a b >>A. 1B. 2C. 3D. 416. 若实数,a b 满足0,0a b ≥≥且0ab =，则称a 与b 互补，记(,)a b a b ϕ=-，那么(,)0a b ϕ=是a 与b 互补的（ ） A. 必要而不充分的条件 B. 充分而不必要的条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件三、解答题17. （本题满分14分）已知关于x 的不等式250ax x a-<-的解集为M （1）4a =时，求集合M ；（2）若3M ∈且5M ∉，求实数a 的取值范围18. （本题满分14分）解关于x 的不等式2(2)(21)60a x a x -+-+>19. （本题满分16分）已知函数()|1||2|f x x x =+-- （1）求不等式()1f x ≥的解集；（2）若不等式2()f x x x m ≥-+的解集非空，求m 的取值范围20. （本题满分14分）某商场在促销期间规定：商场内所有商品标价的80%出售，同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如，购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：4000.230110⨯+=（元），设购买商品得到的优惠率=购买商品获得的优惠额商品的标价。
交大附中数学高二上期中经典测试卷(培优)
一、选择题1．(0分)[ID ：13012]如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是 （ ）A ．18π-B ．4π C ．14π-D ．与a 的值有关联2．(0分)[ID ：13002]甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡都送给丁的概率为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．153．(0分)[ID ：12997]在本次数学考试中，第二大题为多项选择题.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分，小明因某原因网课没有学习，导致题目均不会做，那么小明做一道多选题得5分的概率为（ ） A ．115B ．112C ．111D ．144．(0分)[ID ：12990]如图1为某省2019年1~4月快递义务量统计图，图2是该省2019年1~4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是( )A ．2019年1~4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B ．2019年1~4月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高C ．从两图来看2019年1~4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D ．从1~4月来看，该省在2019年快递业务收入同比增长率逐月增长5．(0分)[ID：12974]若干个人站成一排，其中为互斥事件的是( )A．“甲站排头”与“乙站排头”B．“甲站排头”与“乙不站排尾”C．“甲站排头”与“乙站排尾”D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”6．(0分)[ID：12963]某校高一1班、2班分别有10人和8人骑自行车上学，他们每天骑行路程（单位：千米）的茎叶图如图所示：则1班10人每天骑行路程的极差和2班8人每天骑行路程的中位数分别是A．14，9.5B．9，9C．9，10D．14，97．(0分)[ID：12949]已知不等式51xx-<+的解集为P，若0x P∈，则“1x<”的概率为（）．A．14B．13C．12D．238．(0分)[ID：12943]执行如图所示的程序框图，若输出的结果为48，则输入k的值可以为A．6B．10C．8D．49．(0分)[ID：12941]某五所大学进行自主招生，同时向一所重点中学的五位学习成绩优秀，并在某些方面有特长的学生发出提前录取通知单.若这五名学生都乐意进这五所大学中的任意一所就读，则仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的概率是( )A ．15B ．24125C ．48125D ．9612510．(0分)[ID ：12934]某程序框图如图所示，若输出的结果是126，则判断框中可以是( )A ．6?i >B ．7?i >C ．6?i ≥D ．5?i ≥11．(0分)[ID ：12932]某次测试成绩满分是为150分，设n 名学生的得分分别为()12,,,1n i a a a a N i n ∈≤≤，()1150k b k ≤≤为n 名学生中得分至少为k 分的人数.记M 为n 名学生的平均成绩，则（ ） A ．12150b b b M n ++= B ．12150150b b b M ++=C ．12150b b b M n++>D ．12150150b b b M ++>12．(0分)[ID ：13022]在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 A ．甲地：总体均值为3，中位数为4 B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0 C ．丙地：中位数为2，众数为3D ．丁地：总体均值为2，总体方差为313．(0分)[ID ：13026]为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为e m ，众数为0m ，平均值为x ，则（ ）A ．e m =0m =xB ．e m =0m <xC ．e m <0m <xD ．0m <e m <x14．(0分)[ID：13025]执行右面的程序框图，若输入的,,a b k分别为1,2,3，则输出的M ( )A．203B．72C．165D．15815．(0分)[ID：13011]民间有一种五巧板拼图游戏.这种五巧板（图1）可以说是七巧板的变形，它是由一个正方形分割而成（图2），若在图2所示的正方形中任取一点，则该点取自标号为③和④的巧板的概率为（）A．518B．13C．718D．49二、填空题16．(0分)[ID：13125]已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是______．17．(0分)[ID：13116]已知一组数据：87,,90,89,93x的平均数为90，则该组数据的方差为______．18．(0分)[ID：13114]已知某人连续5次投掷飞镖的环数分别是8，9，10，10，8，则该组数据的方差为______．19．(0分)[ID：13094]执行如图所示的框图，输出值x=______．20．(0分)[ID：13087]甲乙两人一起去游“西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是________.21．(0分)[ID：13082]如图所示，程序框图(算法流程图)的输出值x＝________.22．(0分)[ID：13061]执行如图所示的流程图，则输出的的值为 .23．(0分)[ID：13058]若按右上图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是__________。
上海市上海交通大学附属中学2017-2018学年高二下学期3月月考数学试题
（2）求到两定点 、 的“直角距离”和为定值 的动点轨迹方程，并在直角坐标系内作出该动点的轨迹.（在以下三个条件中任选一个做答）
① ， ， ；
② ， ， ；
③ ， ， .
（3）写出同时满足以下两个条件的“格点”的坐标，并说明理由（格点指横、纵坐标均为整数的点）.
（2）答案不唯一，见解析
（3） 、 、 、 、 、 、 、 、 ，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）由“直角距离”的定义知 ，进而得到所求点坐标；
（2）根据“直角距离”的定义，分别结合条件①②③，得到动点轨迹方程；利用分类讨论的方式去掉绝对值符号即可得到不同区间内动点的轨迹，从而做出图形；
（3）由条件①可得： ；由条件②可得： ，在平面直角坐标系中做出两个条件下的点构成的区域，取交集，结合图形得到最终结果.
11．已知椭圆 的焦距为 ，则实数 __________．
12．已知 ， 是实系数一元二次方程 的两根，则 的值为__________．
13．若 为非零实数，则下列四个命题都成立：
① ② ③若 ，则
④若 ，则 。则对于任意非零复数 ，上述命题仍然成立的序号是 。
14．如图， 是三角形 所在平面外的一点， ，且 ， 、 分别是 和 的中点，则异面直线 与 所成角的大小为__________（用反三角函数表示）．
【详解】
由双曲线的相关性质可知，双曲线 的焦点为 ，顶点为 ，
所以椭圆的顶点为 ，焦点为 ，
因为 ，所以椭圆的方程为 ，
故答案为 。
【点睛】
本题考查圆锥曲线的相关性质，主要考查椭圆、双曲线的几何性质，考查椭圆的标准方程，正确运用椭圆、双曲线的几何性质是关键．
2017-2018学年上海交通大学附属中学高二10月月考数学试题 pdf版
15 、已知点 A, B, C, D 是直角坐标系中不同的四点，若 AC AB R ， AD AB R ，且
1
1
2 ，则下列说法正确的是（
） B. D 可能是线段 AB 的中点 D. C、D 不可能同时在线段 AB 的延长线上
A. C 可能是线段 AB 的中点 C. C、D 可能同时在线段 AB 上
1 ,3m m
D. 无法确定
14、若点 3,1 和 4,6 在直线 3x 2 y a 0 的两侧，则实数 a 的取值范围为（ A. 7 a 24 B. a 7 或 a 24 C. a 7 或 a 24
）
D.无法确定
上海交通大学附属中学 2017—2018 学年第一学期
高二数学月考一试卷
一、填空题（共 12 题，前 6 题每题 4 分，后 6 题每题 5 分，满分 54 分） 1、若向量 a ， b 满足 a b 12 ，且 b 5 ，则 a 在 b 方向上的投影为 2、设点 A 1,6, B(3,0) ， P 是直线 AB 上一点，且 AP
16、已知在 ABC 中， P0 是边 AB 上的一个定点，满足 P0 B
1 AB ，且对于边 AB 上任意一点 P ，恒有 4
PB PC P0 B PC0 ，则（
A. B
）
2
B. A
2
C. AB AC
D. AC BC
三、解答题（满分 76 分：14+14+14+16+18） 17、（本题满分 14 分，第 1 小题 6 分，第 3 小题 8 分） 已知 a 与 b 所成的角为 ，且 a 2, b 3
上海市交通大学附属中学2018-2019学年高二上学期10月月考数学试题(解析版)
上海交通大学附属中学2018-2019学年度第一学期高二数学10月月考试卷一.填空题1.若集合，，，则实数_______；【答案】【解析】【分析】根据并集定义求结果.【详解】因为，，，所以.【点睛】本题考查集合并集，考查基本求解能力.2.已知关于的二元一次方程组的增广矩阵是，则此方程组的解是______________；【答案】【解析】【分析】根据增广矩阵定义列方程组，解得结果.【详解】【点睛】本题考查增广矩阵定义，考查基本求解能力.3.函数的定义域_______________；【答案】【解析】【分析】根据对数真数大于零以及偶次根式下被开方数非负列不等式，解得定义域.【详解】由题意得.【点睛】本题考查函数定义域以及解对数不等式，考查基本求解能力.4.已知向量，均为单位向量，若它们的夹角是60°，则等于___________；【答案】【解析】【分析】结合向量数量积先求向量模的平方，再开方得结果.【详解】【点睛】本题考查向量的模以及向量数量积，考查基本求解能力.5.函数的最小正周期为___________；【答案】【解析】【分析】先根据两角和与差正弦公式、二倍角余弦公式化简函数解析式，再根据正弦函数性质求周期. 【详解】，所以周期为；【点睛】本题考查两角和与差正弦公式、二倍角余弦公式以及正弦函数性质，考查基本求解能力.6.等差数列中，，则该数列的前项的和__________.【答案】52【解析】由等差数列的性质可得+=2，代入已知式子可得3=12，故=4，故该数列前13项的和故答案为：527.已知函数，若函数为奇函数，则实数为_______；【答案】【解析】【分析】令,根据奇函数性质得,化简得结果.最后验证.【详解】令,则为奇函数，因此当时，；满足条件.因此.【点睛】本题考查奇函数性质，考查基本求解能力.8.数列中，若，，则______；【答案】【解析】【分析】先分组求和得，再根据极限定义得结果.【详解】因为，，……，，所以则.【点睛】本题考查分组求和法、等比数列求和、以及数列极限，考查基本求解能力.9.设函数在上有定义，对于任意给定正数，定义函数，则称函数为的“孪生函数”，若给定函数，，则_______________.【答案】【解析】【分析】根据定义化简，再根据分段函数求结果.【详解】因为,y因此.【点睛】本题考查分段函数解析式以及求分段函数值，考查基本求解能力.10.在中，边上的中线，若动点满足（），则的最小值是_____________；【答案】【解析】【分析】先根据向量共线得在线段上，再根据向量数量积化简，最后根据二次函数性质求最值. 【详解】因为，所以三点共线，且在线段上，设，又因为，故最小值为.【点睛】本题考查向量共线、向量数量积以及二次函数性质，考查基本求解能力.11.定义平面向量之间的一种运算“*”如下：对任意的，，令，给出以下四个命题：①若与共线，则；②；③对任意的，有；（4）（注：这里指与的数量积）其中所有真命题的序号是____________【答案】①③④【解析】【分析】根据向量共线、向量数量积以及新定义化简判断命题真假.【详解】因为若与共线，则，故①正确；因为，，故②错误；因为，故③正确；因为，，则化简为：，等式左右两边相等，故④正确；综上，正确的序号为：①③④；【点睛】本题考查向量共线、向量数量积以及新定义理解，考查基本求解判断能力.12.已知为的外心，且，，则实数_____【答案】【解析】【分析】先点乘向量，再根据向量数量积、向量投影化简，最后根据正弦定理、两角和余弦公式化简得结果. 【详解】两边同点乘向量，可得，，所以由向量投影得，所以，由正弦定理知：，【点睛】本题考查向量数量积、向量投影、正弦定理、两角和余弦公式，考查基本分析与求解能力.二.选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分）13.若平面向量和互相平行，其中，则（ ）A.B. 或C.或 D. 或【答案】B 【解析】 【分析】先根据向量平行得方程解得x ，再根据向量模的坐标表示得结果.【详解】因为向量和互相平行，所以，因为则或，选B.【点睛】本题考查向量平行、向量模的坐标表示，考查基本求解能力. 14.在中，角所对的边分别为，则“”是“”的 ( ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据“，得出，根据充分必要条件的定义可判断．【详解】∵中，角所对的边分别为，，或∴根据充分必要条件的定义可判断：“”是“”的充分不必要条件．故选A【点睛】本题考查了解三角形，充分必要条件的定义，属于中档题．15.函数，若存在，使，那么（）A. B. C. 或 D.【答案】C【解析】【分析】根据零点存在定理列不等式，解得结果，即得选项.【详解】由题意得或，选C【点睛】本题考查零点存在定理应用，考查基本求解能力.16.定义域为的函数图像的两个端点为，向量，是图像上任意一点，其中，。
2019-2020学年上海市交大附中高二(上)9月月考数学试卷
【解答】 解：令 arcsin (2x+1 )= 2L
即町
=2x+1 =
解得 x=丄
4 求出
&
故答案为:
【点评】本题主要考查了反函数，以及反函数求值和三角形函数的运算，属于基础题.
5.
上一点，贝 U 入的取值范围为
—g, 0)
【分析】根据给出条件转化，推出 「
: ■,由于 D 在 BC 的延长线上，故 X 0.
j €N*）的数列{an} ?请说明理由.
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2019-2020 学年上海市交大附中高二（上） 9 月月考数学试卷
一、填空题
参考答案与试题解析
1. （ 3 分）若；二（3, -]），?=⑴ t），且（戈如+b）丄直，则 t= 23 .
【分析】根据平面向量的坐标表示与数量积运算，列方程求得
(1)求函数 y= f (x)的单调递减区间；
(2 )在厶 ABC 中，若 f ( A)= f ( B),且 A 丰 B, AB=寸卫，求△ ABC 外接圆半径的长.
20.已知函数 f (x)= 2x+k?2— x (x^R). (1 )判断函数 f (x)的奇偶性，并说明理由; (2)设 k>0,问函数 f (x)的图象是否关于某直线 x= m 成轴对称图形，如果是，求出
）
C.— 2
16. （3 分）凸四边形就是没有角度数大于 180°的四边形，把四边形任何一边向两方延长, 其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形，如图，在凸四边形
ABCD 中，AB = 1，卜；7：壬，AC 丄 CD , AC= CD，当
值为（
）
A.
三、解答题 第 2A页.（3共 20 页）
2016-2017学年上海市交大附中高二(上)摸底数学试卷(解析版)
2016-2017学年上海市交大附中高二（上）摸底数学试卷一．填空题（满分56分）（本大题共14小题，每小题只要求直接填写结果，填对得4分否则一律得零分）1．（4分）若，则x+y＝．2．（4分）已知集合A＝{﹣1，3，2m﹣1}，集合B＝{3，m2}．若B⊆A，则实数m＝．3．（4分）已知θ为象限角且cot（sinθ）＞0则θ是第象限的角．4．（4分）已知函数f（x）＝（a2﹣1）x2+（a﹣1）x+3写出对任意的x∈R，f（x）＞0的一个充分非必要条件．5．（4分）把行列式按照第二列展开，则．6．（4分）已知||＝3，||＝5，＝12，则向量与向量的夹角余弦为．7．（4分）我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大的创举，这个伟大创举与古老的算法﹣﹣“辗转相除法”实质一样，如图的程序框图源于“辗转相除法”．当输入a＝6102，b＝2016时，输出的a＝．8．（4分）若sinθ+cosθ＝（0＜θ＜π），则tanθ＝．9．（4分）M＝{x|2x2﹣5x﹣3＝0}，N＝{x|mx＝1}，若N⊆M，则实数m的取值集合是．10．（4分）实数x满足|x2﹣x﹣2|+||＝|x2﹣x﹣2+|，则x的解集为．11．（4分）已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）＝k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是．12．（4分）幂函数f（x）＝（m∈Z）的图象与坐标轴无公共点，且关于y轴对称，则m的值为．13．（4分）已知函数f（x）＝|x2﹣2ax+a|（x∈R），给出下列四个命题：①当且仅当a＝0时，f（x）是偶函数；②函数f（x）一定存在零点；③函数在区间（﹣∞，a]上单调递减；④当0＜a＜1时，函数f（x）的最小值为a﹣a2．那么所有真命题的序号是．14．（4分）已知命题：“若数列{a n}为等差数列，且a m＝a，a n＝b（m＜n，m，n∈N*），则a m+n＝”．现已知数列{b n}（b n＞0，n∈N*）为等比数列，且b m＝a，b n＝b（m＜n，m，n∈N*），若类比上述结论，则可得到b m+n＝．二．选择题（满分20分）（本大题共4小题，每小题5分，均为单选题）15．（5分）若f（x）＝lg（x2﹣2ax+1+a）在区间（﹣∞，1]上递减，则a的取值范围为（）A．[1，2）B．[1，2]C．[1，+∞）D．[2，+∞）16．（5分）设a＞0，b＞0，则以下不等式中恒成立的是（）A．B．a3+b3≥2abC．a2+b2≥2a+2b D．≤17．（5分）已知函数f（x）＝2sin x sin（x+3φ）是奇函数，其中φ∈（0，），则函数g（x）＝cos（2x﹣φ）的图象（）A．关于点（，0）对称B．可由函数f（x）的图象向右平移个单位得到C．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到D．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到18．（5分）数列{a n}满足a1＝10，a n+1＝a n+18n+10（n∈N*）记[x]表示不超过实数x的最大整数，则（﹣[]）＝（）A．1B．C．D．三．解答题（满分74分）（本大题共5题，写出必要的解题步骤和说明）19．（12分）解不等式ax2+（2﹣a）x﹣2＜0（a∈R）．20．（14分）已知数列{a n}的前项和为S n，S n＝1+ta n（t≠1且t≠0，n∈N*）（1）求证：数列{a n}是等比数列（2）若S n＝1，求实数t的取值范围．21．（14分）如图，ABCD是边长为10海里的正方形海域．现有一架飞机在该海域失事，两艘海事搜救船在A处同时出发，沿直线AP、AQ向前联合搜索，且∠P AQ＝（其中点P、Q分别在边BC、CD上），搜索区域为平面四边形APCQ围成的海平面．设∠P AB ＝θ，搜索区域的面积为S．（1）试建立S与tanθ的关系式，并指出θ的取值范围；（2）求S的最大值，并求此时θ的值．22．（16分）（理）定义区间（c，d），[c，d），（c，d]，[c，d]的长度均为d﹣c，其中d＞c．（1）已知函数y＝|2x﹣1|的定义域为[a，b]，值域为[0，]，写出区间[a，b]长度的最大值与最小值．（2）已知函数f M（x）的定义域为实数集D＝[﹣2，2]，满足f M（x）＝（M 是D的非空真子集）．集合A＝[1，2]，B＝[﹣2，﹣1]，求F（x）＝的值域所在区间长度的总和．（3）定义函数f（x）＝+++﹣1，判断函数f（x）在区间（2，3）上是否有零点，并求不等式f（x）＞0解集区间的长度总和．23．（18分）在数列{a n}中，a n＝（n∈N*）．从数列{a n}中选出k（k≥3）项并按原顺序组成的新数列记为{b n}，并称{b n}为数列{a n}的k项子列．例如数列，，，为{a n}的一个4项子列．（Ⅰ）试写出数列{a n}的一个3项子列，并使其为等差数列；（Ⅱ）如果{b n}为数列{a n}的一个5项子列，且{b n}为等差数列，证明：{b n}的公差d满足﹣＜d＜0；（Ⅲ）如果{c n}为数列{a n}的一个m（m≥3）项子列，且{c n}为等比数列，证明：c1+c2+c3+…+c m≤2﹣．2016-2017学年上海市交大附中高二（上）摸底数学试卷参考答案与试题解析一．填空题（满分56分）（本大题共14小题，每小题只要求直接填写结果，填对得4分否则一律得零分）1．【解答】解：∵，∴解得即x+y＝1故答案为：12．【解答】解：由B⊆A，m2≠﹣1，∴m2＝2m﹣1．解得m＝1．验证可得符合集合元素的互异性，此时B＝{3，1}，A＝{﹣1，3，1}，B⊆A满足题意．故答案为：13．【解答】解：∵﹣1≤sinθ≤1，且cot（sinθ）＞0，∴0＜sinθ≤1，∴θ为第一或第二象限角．故答案为：一、二．4．【解答】解：a＝1时，f（x）＝3＞0，成立，而f（x）＞0时，a不一定是1，故答案为：a＝1．5．【解答】解：把行列式按照第二列展开得到﹣3×+2×+2×．故答案为：﹣3×+2×+2×．6．【解答】解：∵||＝3，||＝5，＝12，∴向量与向量的夹角余弦为＝＝．故答案为．7．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；a＝6102，b＝2016，执行循环体，r＝54，a＝2016，b＝54，不满足退出循环的条件，执行循环体，r＝18，a＝54，b＝18，不满足退出循环的条件，执行循环体，r＝0，a＝18，b＝0，满足退出循环的条件r＝0，退出循环，输出a的值为18．故答案为：18．8．【解答】解：已知等式sinθ+cosθ＝①，两边平方得：（sinθ+cosθ）2＝1+2sinθcosθ＝，即2sinθcosθ＝﹣，∵0＜θ＜π，∴cosθ＜0，sinθ＞0，即sinθ﹣cosθ＞0，∴（sinθ﹣cosθ）2＝1﹣2sinθcosθ＝＝，即sinθ﹣cosθ＝②，联立①②，解得：sinθ＝，cosθ＝﹣，则tanθ＝﹣2，故答案为：﹣29．【解答】解：∵M＝{x|2x2﹣5x﹣3＝0}＝{﹣，3}又∵N⊆M，若N＝∅，则m＝0；若N≠∅，则N＝{﹣}，或N＝{3}，即m＝﹣2或m＝故满足条件的实数m∈{0，﹣2，}．故答案为：{0，﹣2，}．10．【解答】解：由已知条件得到x2﹣x﹣2与同号或均为0，∴∴﹣1≤x＜0或x≥2．∴解集为{x|﹣1≤x＜0或x≥2}．故答案为：{x|﹣1≤x＜0或x≥2}．11．【解答】解：画出函数f（x）的图象（红色曲线），如图示：，令y＝k，由图象可以读出：﹣1＜k＜0时，y＝k和f（x）有3个交点，即方程f（x）＝k有三个不同的实根，故答案为：（﹣1，0）．12．【解答】解：由题意：坐标轴无公共点，且关于y轴对称，图象只能在一二象限，且是单调减函数．∴m2﹣2m﹣3＜0，且m2﹣2m﹣3是偶数，m∈Z．解得：m＝1，故答案为：1．13．【解答】解：由于函数f（x）＝|x2﹣2ax+a|（x∈R），①当a＝0时，f（x）＝x2，则f（x）是偶函数；当f（x）是偶函数时，函数解析式中不能含有奇数次项，则﹣2a＝0，即a＝0．故①为真命题．②∵△＝4a2﹣4a＝4a（a﹣1），当0＜a＜1时，△＜0，函数f（x）＝|x2﹣2ax+a|＝x2﹣2ax+a＞0恒成立，此时函数f（x）不存在零点，∴②是假命题．③由于函数f（x）＝x2﹣2ax+a在区间（﹣∞，a]上单调递减，但函数f（x）＝|x2﹣2ax+a|（x∈R）是由函数f（x）＝x2﹣2ax+a把X轴下方图象沿X轴旋转180度得到的，则函数f（x）＝|x2﹣2ax+a|（x∈R）在区间（﹣∞，a]上单调递减不一定成立．故③是假命题．④当0＜a＜1时，函数f（x）＝|x2﹣2ax+a|＝x2﹣2ax+a＞0恒成立，此时函数f（x）的最小值为a﹣a2．故④是真命题．故答案为①④．14．【解答】解：等差数列中的bn和am可以类比等比数列中的b n和a m，等差数列中的bn﹣am可以类比等比数列中的，等差数列中的可以类比等比数列中的．故b m+n＝，故答案为二．选择题（满分20分）（本大题共4小题，每小题5分，均为单选题）15．【解答】解：令u＝x2﹣2ax+1+a，则f（u）＝lgu，配方得u＝x2﹣2ax+1+a＝（x﹣a）2 ﹣a2+a+1，故对称轴为x＝a，如图所示：由图象可知，当对称轴a≥1时，u＝x2﹣2ax+1+a在区间（﹣∞，1]上单调递减，又真数x2﹣2ax+1+a＞0，二次函数u＝x2﹣2ax+1+a在（﹣∞，1]上单调递减，故只需当x＝1时，若x2﹣2ax+1+a＞0，则x∈（﹣∞，1]时，真数x2﹣2ax+1+a＞0，代入x＝1解得a＜2，所以a的取值范围是[1，2）故选：A．16．【解答】解：对于A：，当且仅当a＝b 时取等号．故A对．对于B：a3+b3＝≥＝2，当且仅当a＝b时取等号．故B不对．对于C：a2+b2﹣2a﹣2b＝（a﹣1）2+（b﹣1）2﹣2，即a2+b2≥2a+2b﹣2，故C不对，对于D：，那么：＝a﹣b﹣a﹣b+2＝﹣2b+2＝2≥0，∴D不对．故选：A．17．【解答】解：∵函数f（x）＝2sin x sin（x+3φ）是奇函数，其中φ∈（0，），∴φ＝，∴f（x）＝2sin x sin（x+）＝sin2x＝cos（2x﹣）＝cos2（x﹣），则函数g（x）＝cos（2x﹣φ）＝cos（2x﹣）＝cos2（x﹣）的图象可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到的，故选：C．18．【解答】解：由a n+1＝a n+18n+10，得a1＝10，又a1＝10，∴a2﹣a1＝18×1+10，a3﹣a2＝18×2+10，…a n﹣a n﹣1＝18（n﹣1）+10，累加得：a n＝a1+18[1+2+…+（n﹣1）]+10（n﹣1）＝．∴﹣[]＝＝＝．则（﹣[]）＝．故选：D．三．解答题（满分74分）（本大题共5题，写出必要的解题步骤和说明）19．【解答】解：将原不等式化为（ax+2）（x﹣1）＜0，（1）当a＝0时，有x＜1；（2）当a＞0时，有（x+）（x﹣1）＜0，解得﹣＜x＜1，（3）当a＜0时，有（x+）（x﹣1）＞0，若﹣＞1时，即﹣2＜a＜0，解得x＜1或x＞﹣，若﹣＝1时，即a＝﹣2，解得x≠1，若﹣＜1时，即a＜﹣2，解得x＜﹣，或x＞1，综上，a＝0时，不等式的解集为{x|x＜1}；﹣2＜a＜0时，不等式的解集为{x|x＜1或x ＞﹣}；当a＝﹣2时，不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}；当a＜﹣2时，不等式的解集为{x|x＜﹣或x＞1}；当a＞0时，不等式的解集为{x|﹣＜x＜1}．20．【解答】（1）证明：∵S n＝1+ta n，∴n≥2时，S n﹣1＝1+ta n﹣1，两式相减可得a n＝ta n﹣ta n﹣1，∴＝，∴数列{a n}是等比数列；（2）解：由题意，S1＝1+ta1，∴a1＝，∴a n＝，若S n＝1，则[1﹣]＝1，∴0＜||＜1，∴，∵t≠1且t≠0，∴，且t≠0．21．【解答】解：（1）S＝S ABCD﹣S△ABP﹣S△ADQ…2分＝…4分＝…6分（2）令t＝1+tanθ，t∈（1，2）…8分…10分∵，（当且仅当时，即，等号成立）…12分∴当时，搜索区域面积S的最大值为（平方海里）此时，…14分．22．【解答】解：（1），解得x＝﹣1或，|2x﹣1|＝0，解得x＝0，画图可得：区间[a，b]长度的最大值为log23，最小值为．（2）当x∈A∪B，，当x∈（﹣1，1），，所以x∈[﹣2，2]时，所以值域区间长度总和为．（3）由于当2＜x＜3时，取x＝2.001，f（2.001）＞0，取x＝2.999，f（2.999）＜0，所以方程f（x）＝0在区间（2，3）内有一个解考虑函数f（x）＝+++﹣1，由于当x＜1时，f（x）＜0，故在区间（﹣∞，1）内，不存在使f（x）＞0的实数x；对于集合{1，2，3，4}中的任一个k，由于当k﹣1＜x＜k时，取x＝k+0.001，f（x）＞0，取x＝k+1﹣0.001，f（x）＜0又因为函数y＝f（x）在区间（1，2），（2，3），（3，4），（4，+∞）内单调递减，所以方程f（x）＝0在区间（1，2），（2，3），（3，4），（4，+∞）内各有一个解；依次记这4个解为x1，x2，x3，x4，从而不等式f（x）＞0的解集是E＝（1，x1）∪（2，x2）∪（3，x3）∪（4，x4），故得所有区间长度的总和为S＝（x1﹣1）+（x2﹣2）+（x3﹣3）+（x4﹣4）＝x1+x2+x3+x4﹣10…①对f（x）＞0进行通分处理，分子记为p（x），p（x）＝（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）+2（x﹣1）（x﹣3）（x﹣4）+3（x﹣1）（x﹣2）（x﹣4）+4（x ﹣1）（x﹣2）（x﹣3）﹣（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）如将p（x）展开，其最高项系数为﹣1，设p（x）＝﹣x4+a3x3+a2x2+a1x+a0…②又有p（x）＝﹣（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3）（x﹣x4）…③对比②③中p（x）的x3系数，（x1+x2+x3+x4）＝1+2+3+4+（1+2+3+4）＝20可得：S＝x1+x2+x3+x4﹣10＝10．23．【解答】（Ⅰ）解：答案不唯一．如3项子列，，；（Ⅱ）证明：由题意，知1≥b1＞b2＞b3＞b4＞b5＞0，所以d＝b2﹣b1＜0．假设b1＝1，由{b n}为{a n}的一个5项子列，得，所以．因为b5＝b1+4d，b5＞0，所以4d＝b5﹣b1＝b5﹣1＞﹣1，即．这与矛盾．所以假设不成立，即b1≠1．所以，因为b5＝b1+4d，b5＞0，所以，即，综上，得．（Ⅲ）证明：由题意，设{c n}的公比为q，则．因为{c n}为{a n}的一个m项子列，所以q为正有理数，且q＜1，．设，且K，L互质，L≥2）．当K＝1时，因为，所以＝，所以．当K≠1时，因为是{a n}中的项，且K，L互质，所以a＝K m﹣1×M（M∈N*），所以＝．因为L≥2，K，M∈N*，所以．综上，．。
上海市交通大学附属中学2019_2020学年高二数学上学期9月月考试题(含解析)
uuur AB
m
uuur uuur uuur 又因为 AP xAB y AC
xm
所以
y mm
uuur AP 即 x y m uuur AM
uuur
当 AP BC 时， AM min
1 , 此时 x y
m
AP uuur
2
2
AM
uuur AP 当 P 与 B ( 或 C ) 点重合时 , 此时 AM max 1 , 此时 x y m uuur 1 AM
3
2n 1
1
= 1 + 1 +……＋ 1
=2
22
2
1
4n 1
=2 (1 3
1 4n
)
，
4
2
1
∴ S2n = ( 1 3
4n) ；
Hale Waihona Puke 又 a1 a2 a3 a4 a5 +…… +（ a2n 2 a2n 1 ）
2
1
1
2
4
2n 2
=1+ 1 + 1 +……＋ 1
=1+ 2
1 4n 1
22
2
11
4
1 =1+ （ 1
的两个点，若对平面中任意的非零向量
r
ur uur
uur
a ，都可以唯一表示为 e1 、 e2 的线性组合，那么 e2 的
个数为 ______.
【答案】 8
【解析】
【分析】
ur uur 根据平面向量基本定理可知 , e1 与 e2 不平行 . 从 A 、 B 、 C 、 D 中任意选取两个点作为向量 ,
, 并集的运算 , 属于基础题 .
上海市交大附中浦东实验高中高二数学上学期第一次月考试题新人教B版
2013学年第一学期第一次月考 高二数学试卷 （满分100分，考试时间90分钟） （2013-9） 一. 填空题（每小题3分，共42分） 1. 数列31，54-，79，Λ，916-的一个通项公式可以为()12121+-+n n n 2. 在数列{}n a 中，21=a ，11=-+n n a a ，则10a 的值为 11 3. 等差数列{}n a 中，104=a ，197=a ，则公差d = 3 4. 已知等比数列{}n a ,若11=a ，45=a ，则3a = 2 5. 在等比数列{}n a 中，各项均为正数，且11=a ，,7321=++a a a 则数列{}n a 的通项公式_________=n a 12-n 6. 在8和36之间插入6个数，使这8个数成等差数列，则插入的6 个数是 12,16,20,24,28,32 7. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若16=S ，412=S ，则=18S 9 8. 数列{}n a 的前ｎ项和132++=n n S n ，则此数列的通项公式=n a ⎩⎨⎧≥-=)2(26)1(,5n n n 9. 小于100的自然数中被7除余3的所有数的和是_ 679 10. 等差数列5，8，11，…… 与等差数列3，8，13，…… 都有相同的项，那么这两个数列相同项按原来的前后次序组成的新数列的通项公式为 715-=n a n 11. 等差数列{}n a 中，公差0≠d ，1a ,3a ,9a 成等比数列，则1042931a a a a a a ++++=1613 12. 某工厂去年产值为a ，从今年开始计划在今后5年内每年比上一年产值增加%10，这5年该工厂的总产值是)11.1(115-a班级：____________姓名：___________学号：_________准考证号：_____________ ………………………...………………………装…………………………订…………………………..线……………….……………………………_______学生答题不准超过此线_______________________________________________13. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若n S =m n+2，则实数m = -1 14. 将数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-121n 分组为：()1，⎪⎭⎫ ⎝⎛41,21，⎪⎭⎫ ⎝⎛321,161,81，ΛΛ，⎪⎭⎫ ⎝⎛5121,2561,1281,641，则第k 组中的第一个数是 2)1(21-⎪⎭⎫ ⎝⎛k k二、选择题（每小题3分，共12分） 15. 在等比数列{}n a 中，若3272-=⋅a a ，则54a a ⋅的值为 （ B ）A ．2B ．32-C ．232-D ．6416．在ABC ∆中，“o60=B ”是“C B A ,,成等差数列”的 （ C ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件17. 设32=a ，62=b ，122=c ，则数列c b a ,,成 （ A ） A. 等差数列 B. 等比数列C. 非等差也非等比数列D. 既等差也等比数列18．两个等差数列，它们前n 项和之比为1235-+n n ，则两个数列的第9项之比是（ C ） A ．35 B ．58 C ．38 D ．47 三．解答题（本题共5小题，满分 46 分）19. （本题满分8分） 数列{n a }是首项为23，公差为 -4的等差数列(1) 当0n a >时，求n 的取值范围。
0186-交大附中高二月考(2017.3)
的最小值是
【解析】 2x 4 y 2 x 22 y 2 2 x2 y 1 2
7. 若| z | 1，则| z 1 i | 的最大值为
【解析】即单位圆上点到 (1,1) 距离，最大为 2 1
8. 如图，六个相等的小正方形可以拼成一个正方体，
则正方体中，直线 AB 与 CD 所成角大小为
【解析】如图， 3
9.
设函数
f
(x)
e|ln
x|
0 x5 ，若方程 f (x) k （ k 为常数）有三个不同的实数解
x 10 x 5
a 、 b 、 c ，且 a b c ，则 abc 取值范围是
【解析】 ln a ln b ， ab 1 ，由图可得 k (1,5)
【解析】（1） t2 (5 ai)t 4 3i 0 ， t2 5t 4 (3 at)i 0 ， t2 5t 4 0 ， t 1或 t 4 ， 3 at 0 ，当 t 1时， a 3 ，当 t 4 时， a 3
4 （2）设 z x yi ， t2 (x yi)t 4 3i 0 ， t2 xt 4 (3 yt)i 0 ，
【解析】转换题意，即要求椭圆在 (1, 3) 处的切线斜率， 0 ，求得斜率为 1
2
2
12. 已知复数集U {z | 0 Re(z) 2 且| Im(z) | 1} ，集合 M {z | 0 Re(z) Re(w)
且| Im(z) | | Im(w) | ，| w 1| 1}，则集合 CU M 在复平面上表示区域面积为
21.
设椭圆
:
x2 a2
2017-2018学年上海市交大附中高二(上)9月摸底数学试卷(解析版)
2017-2018学年上海市交大附中高二（上）9月摸底数学试卷一.填空题1．（5分）不等式|2x﹣1|﹣|x﹣2|＜0的解集为．2．（5分）设f（x）＝ax5+bx3+cx+7（其中a，b，c为常数，x∈R），若f（﹣2011）＝﹣17，则f（2011）＝．3．（5分），则a＝．4．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a3＝5，a5＝9，则S7等于．5．（5分）已知等比数列{a n}的公比为正数，且a2a2n+2＝2a n+12，a2＝2，则a1＝．6．（5分）已知sin x＝，x∈（，π），则角x＝（用反三角函数符号表示）．7．（5分）设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则+的最小值是．8．（5分）设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）＝0，则不等式的解集是．9．（5分）已知的图象与y＝1的图象的两相邻交点间的距离为π，要得到y＝f（x）的图象，最少需要把y＝sin（ωx）的图象向左平移个单位．10．（5分）设数列{a n}为等差数列，数列{b n}为等比数列．若a1＜a2，b1＜b2，且b i＝a i2（i＝1，2，3），则数列{b n}的公比为．11．（5分）如图，已知扇形的圆心角为2α，半径为R，则扇形的内接矩形面积的最大值为．12．（5分）已知函数，关于x的方程f2（x）+a|f（x）|+b＝0（a，b∈R）恰有6个不同实数解，则a的取值范围是．二.选择题13．（5分）设a∈R，则a＞1是＜1的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要14．（5分）在△ABC中，若（a+b+c）（a+b﹣c）＝3ab，且sin C＝2sin A cos B，则△ABC是（）A．等边三角形B．等腰三角形但不是等边三角形C．等腰直角三角形D．直角三角形但不是等腰三角形15．（5分）若集合A＝{x|lg（x﹣2）＜1}，集合B＝{x|＜2x＜8}，则A∩B＝（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，12）C．（2，12）D．（2，3）16．（5分）数列{a n}满足a1＝3，且对任意n∈N*，a n﹣a n a n+1＝1，A n表示{a n}前n项之积，则A2017＝（）A．﹣3B．C．3D．三.解答题17．若函数的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，求函数y＝g（x）的单调递减区间．18．已知定义域为R的函数是奇函数，（1）求a，b的值；（2）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．19．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知对任意的n∈N*，点（n，S n），均在函数y＝b x+r （b＞0）且b≠1，b，r均为常数）的图象上．（1）求r的值；（2）当b＝2时，记b n＝（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．20．设数列{a n}的前n项和为S n，已知S n+1＝pS n+q（p，q为常数，n∈N*），如果：a1＝2，a2＝1，a3＝q﹣3p．（1）求p，q的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）是否存在正整数m，n，使＜成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对（m，n）；若不存在，说明理由．21．已知函数f（x）的定义域为[0，1]．若函数f（x）满足：对于给定的T（0＜T＜1），存在t∈[0，1﹣T]．使得f（t+T）＝f（t）成立，那么称f（x）具有性质P（T）．（1）函数f（x）＝sin（x∈[0，1]）是否具有性质P（）？说明理由；（2）已知函数f（x）＝具有性质P（T），求T的最大值；（3）已知函数f（x）的定义域为[0，1]，满足f（0）＝f（1），且f（x）的图象是一条连续不断的曲线，问：是否存在正整数n，使得函数f（x）具有性质P（），若存在，求出这样的n的取值集合；若不存在，请说明理由．2017-2018学年上海市交大附中高二（上）9月摸底数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．【解答】解：|2x﹣1|﹣|x﹣2|＜0移向得：|2x﹣1|＜|x﹣2|两边同时平方得（2x﹣1）2＜（x﹣2）2即：4x2﹣4x+1＜x2﹣4x+4，整理得：x2＜1，即﹣1＜x＜1故答案为：{x|﹣1＜x＜1}．2．【解答】解：∵f（x）＝ax5+bx3+cx+7（其中a，b，c为常数，x∈R），f（﹣2011）＝﹣17，∴f（2011）＝a•20115+b•20113+c•2011+7f（﹣2011）＝a（﹣2011）5+b（﹣2011）3+c（﹣2011）+7∴f（2011）+f（﹣2011）＝14，∴f（2011）﹣17＝14∴f（2011）＝14+17＝31．故答案为：31．3．【解答】解：．答案：1．4．【解答】解：等差数列中，∵a3＝5，a5＝9，∴＝＝＝49．故答案为：49．5．【解答】解：等比数列{a n}的公比设为q，q＞0，a2a2n+2＝2a n+12，a2＝2，可得a n+22＝2a n+12，q＝＝（负值舍去），则a1＝＝＝，故答案为：．6．【解答】解：∵sin x＝，x∈（，π），∴x＝π﹣arcsin．故答案为：．7．【解答】解：∵是3a与3b的等比中项∴3a•3b＝3a+b＝3∴a+b＝1∴ab≤＝（当a＝b时等号成立）∴+＝＝≥4．故答案为：48．【解答】解：∵函数f（x）是奇函数∴f（﹣x）＝﹣f（x）∴不等式可转化为：f（x）x＜0根据条件可作一函数图象：∴不等式的解集是（﹣1，0）∪（0，1）故答案为：（﹣1，0）∪（0，1）9．【解答】解：已知的图象与y＝1的图象的两相邻交点间的距离为π，则函数的最小正周期为π，进一步解得：ω＝2，所以f（x）＝cos（2x+），要得到y＝f（x）＝cos（2x+）的图象，可得：y＝sin2x＝cos（﹣2x），设平移φ个单位，可得cos[2（x+φ）﹣]＝cos（2x+2φ﹣）．由题意，可得：2φ﹣＝，∴φ＝．即向左平移个单位．故答案为：10．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，由a1＜a2可得d＞0，∴b1＝a12，b2＝a22＝（a1+d）2，b3＝a32＝（a1+2d）2，∵数列{b n}为等比数列，∴b22＝b1•b3，即（a1+d）4＝a12•（a1+2d）2，∴（a1+d）2＝a1•（a1+2d）①或（a1+d）2＝﹣a1•（a1+2d），②由①可得d＝0与d＞0矛盾，应舍去；由②可得a1＝d，或a1＝d，当a1＝d时，可得b1＝a12＝b2＝a22＝（a1+d）2＝，此时显然与b1＜b2矛盾，舍去；当a1＝d时，可得b1＝a12＝，b2＝（a1+d）2＝，∴数列{b n}的公比q＝＝3+2，综上可得数列{b n}的公比q＝3+2，故答案为：3+211．【解答】解：如图，设∠FOA＝θ，则FG＝R sinθ，在△OEF中，，EF＝．又设矩形EFGH的面积为S，那么S＝FG•EF＝R sinθ＝＝≤＝．扇形的内接矩形面积的最大值为：．故答案为：．12．【解答】解：先根据题意作出f（x）的简图：得f（x）＞0．∵题中原方程f2（x）+a|f（x）|+b＝0（a，b∈R）恰有6个不同实数解，即方程f2（x）+af（x）+b＝0（a，b∈R）恰有6个不同实数解，∴故由图可知，只有当f（x）＝2时，它有二个根．故关于x的方程f2（x）+af（x）+b ＝0中，有：4+2a+b＝0，b＝﹣4﹣2a，且当f（x）＝k，0＜k＜2时，关于x的方程f2（x）+af（x）+b＝0有4个不同实数解，∴k2+ak﹣4﹣2a＝0，a＝﹣2﹣k，∵0＜k＜2，∴a∈（﹣4，﹣2）．故答案为：（﹣4，﹣2）．二.选择题13．【解答】解：a＞1时，由反比例函数的图象可知，反之若，如a＝﹣1，不满足a＞1，所以a＞1是的充分不必要条件故选：A．14．【解答】解：在△ABC中，∵（a+b+c）（a+b﹣c）＝3ab，∴a2+b2﹣c2＝ab，∴cos C＝＝，∴C＝60°．再由sin C＝2sin A cos B，可得c＝2a•＝，∴a2＝b2，∴a ＝b，故△ABC是等边三角形，故选：A．15．【解答】解：A＝{x|lg（x﹣2）＜1}＝{x|lg（x﹣2）＜lg10}＝{x|2＜x＜12}，B＝{x|＜2x＜8}＝{x|2﹣1＜2x＜23}＝{x|﹣1＜x＜3}，∴A∩B＝{x|2＜x＜3}故选：D．16．【解答】解：∵a n﹣a n a n+1＝1，∴a n+1＝1﹣，又a1＝3，∴a2＝1﹣＝，a3＝1﹣＝﹣，a4＝1﹣＝3，…∴数列{a n}是以3为周期的数列，又a1•a2•a3＝3××（﹣）＝﹣1，2017÷3＝672，∴A2017＝（a1•a2•a3）672•a1＝（﹣1）672×3＝3，故选：C．三.解答题17．【解答】解：函数＝+cosωx sinωx＝sin2ωx﹣cosωx+＝sin（2ωx﹣）+，∴f（x）的最小正周期为T＝＝π，解得ω＝1；（2）由（1）知，f（x）＝sin（2x﹣）+；将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位，得y＝sin[2（x+）﹣]+＝sin2x+的图象；再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得y＝sin x+的图象；∴函数y＝g（x）＝sin x+；令2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z，解得4kπ+π≤x≤4kπ+3π，k∈Z，∴g（x）的单调减区间为[4kπ+π，4kπ+3π]（k∈Z）．18．【解答】解：（1）因为f（x）是奇函数，所以f（0）＝0，即＝0⇒b＝1；∴f（x）＝；又∵定义域为R，则有f（﹣1）＝﹣f（1），可得：＝﹣⇒a＝2；经检验：f（x）是奇函数，满足题意．所以a，b的值分别为2，1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）＝＝﹣+，易知f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数；又因f（x）是奇函数，从而不等式：f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0等价于f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）＝f（k﹣2t2），因f（x）为减函数，f（t2﹣2t）＜f（k﹣2t2），得：t2﹣2t＞k﹣2t2即对一切t∈R有：3t2﹣2t﹣k＞0，开口向上，从而判别式△＝4+12k＜0⇒k＜﹣即k的取值范围是19．【解答】解：（1）因为对任意的n∈N+，点（n，S n），均在函数y＝b x+r（b＞0，且b≠1，b，r均为常数）的图象上．所以得S n＝b n+r，当n＝1时，a1＝S1＝b+r，a2＝S2﹣S1＝b2+r﹣（b1+r）＝b2﹣b1＝（b﹣1）b，a3＝S3﹣S2＝b3+r﹣（b2+r）＝b3﹣b2＝（b﹣1）b2，又因为{a n}为等比数列，所以（a2）2＝a1×a3，则[（b﹣1）b]2＝（b﹣1）b2×（b+r）解可得r＝﹣1，（2）当b＝2时，a n＝（b﹣1）b n﹣1＝2n﹣1，bn＝则T n＝Tn＝相减，得Tn＝+＝所以Tn＝20．【解答】解：（1）由题意，知，解之得…（4分）（2）由（1）知，S n+1＝S n+2，①当n≥2时，S n＝S n﹣1+2，②①﹣②得，a n+1＝a n（n≥2），…（6分）又a2＝a1，所以数列{a n}是首项为2，公比为的等比数列，所以a n＝．…（8分）（3）由（2）得，＝，由，得，即，…（10分）即，因为2m+1＞0，所以2n（4﹣m）＞2，所以m＜4，且2＜2n（4﹣m）＜2m+1+4，①因为m∈N*，所以m＝1或2或3．…（12分）当m＝1时，由①得，2＜2n×3＜8，所以n＝1；当m＝2时，由①得，2＜2n×2＜12，所以n＝1或2；当m＝3时，由①得，2＜2n＜20，所以n＝2或3或4，综上可知，存在符合条件的所有有序实数对（m，n）为：（1，1），（2，1），（2，2），（3，2），（3，3），（3，4）．…（16分）21．【解答】解：（1）函数f（x）＝sin x（x∈[0，1]），不具有性质P（）证明如下：对任何t∈[0，1﹣]＝[0，]，均有0≤t≤t+≤1由于函数f（x）＝sin x，在x∈[0，1]上单调递增∴f（t）＜f（t+）所以，函数f（x）＝sin x（x∈[0，1]不具有性质P（）（2）T的最大值为．求解如下：∵f（）＝f（1）＝﹣3×1﹣4＝1，又f（）＝6×﹣2＝1∴f（t+）＝f（t）在t∈[0，1﹣]上有解，t＝因此，f（x）具有性质P（），从而T可取到下证：＜T＜1不可能出现．首先，当x∈（0，]时，f（x）＝﹣3x+1＜1，当x∈（，）时，f（x）＝6x﹣2＜6×﹣2＝1即，当x∈（0，）时，均有f（x）＜1，同理可得，当x∈（，1），均有f（x）＞1．假设＜T＜1，那么，当t∈[0，1﹣T]时①若t＝0，则f（t）＝f（0）＝1，又t+T＝T∈（，1），所以f（t+T）＝f（T）＞1，即f（t+T）＞f（t）②若t∈（0，1﹣T]⊊（0，），则f（t）＜1，又t+T∈（T，1），注意到＜T＜1，故f（t+T）＞1，故f（t+T）＞f（t）这就是说，如果＜T＜1，那么，当t∈[0，1﹣T]时，均有f（t+T）＞f（t），即f（t+T）＝f（t）均不成立综上所述，T的最大值为（3）任取n∈N+，n≥2，设h（x）＝f（x+）﹣f（x），其中x∈[0，]，则有h（0）＝f（）﹣f（0）h（）＝f（）﹣f（）h（）＝f（）﹣f（）…h（）＝f（）﹣f（）…h（）＝f（1）﹣f（）以上各式相加得h（0）+h（）+f（）+…+h（）+…+h（）＝f（1）﹣f（0）＝0，即h（0）+h（）+f（）+…+h（）+…+h（）＝0当h（0），h（），f（），…，h（）中有一个为0时，不妨设为h（）＝0，这里i∈{0，1，2，…，n﹣1}，而0＝h（）＝f（+）﹣f（），即f（+）﹣f（）＝0⇔f（+）＝f（）故，函数f（x）具有性质P（）（n∈N+，n≥2）当h（0），h（），f（），…，h（）均不为0时，因为其和为0，所以必然存在正数与负数，不妨设h（）＞0，h（）＜0，（i＜j，i，j∈{0，1，2…，n﹣1}）由于h（x）的图象也是连续不断的曲线，故，至少存在一个t∈（，）使得h（t）＝0，即f（t+）﹣f（t）＝0．亦即f（t+）＝f（t），故函数f（x）具有性质P（）（n∈N+，n≥2）综上所述，存在正整数n，且n的取值集合是{n|n∈N+，n≥2}．。
【月考试卷】上海交通大学附属中学2016-2017学年高二12月月考数学试题 Word版含答案
上海交通大学附属中学2016-2017学年度第一学期高二数学月考试卷2016.12一. 填空题1. 124312⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭2. △ABC 顶点(0,0)A 、(1,2)B 、(3,1)C -，则该三角形面积为3. 已知方程22146x y k k+=-+表示椭圆，则实数k 的取值范围是 4. 若关于,x y 的二元一次方程组12ax y a x ay a+=+⎧⎨+=⎩无解，则a =5. 已知点F 是抛物线24y x =的焦点，M 、N 是该抛物线上两点，||||6MF NF +=， 则MN 中点的横坐标为6. 过原点的直线l 与双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的左右两支分别相交于A 、B 两点，(F 是双曲线的左焦点，若||||4FA FB +=，0FA FB ⋅=，则双曲线的方程是7. 点(1,1)M 到抛物线2y ax =的准线的距离是2，则a =8. △ABC 外接圆半径为1，圆心为O ，3450OA OB OC ++= ，则OC AB ⋅=9. 已知圆22:(1)(1)4M x y -+-=，直线:60l x y +-=，A 为直线l 上一点，若圆M 上 存在两点B 、C ，使得60BAC ︒∠=，则点A 横坐标取值范围是10. 已知1F 、2F 分别是椭圆2214x y +=的两焦点，点P 是该椭圆上一动点，则12PF PF ⋅ 的取值范围是11. 若直线240ax by -+=(0,0)a b >>被圆222410x y x y ++-+=截得的弦长为4， 则ab 的最大值是12. 已知1F 、2F 分别为椭圆2214x y +=左右焦点，点P 在椭圆上，12||PF PF += ， 则12F PF ∠=13. 已知20a b ab +-=(0,0)a b >>，当ab 取得最小值时，曲线||||1x x y y a b-=上的点到直线y =的距离的取值范围是14. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:16O x y +=，点(2,2)P ，M 、N 是圆O 上相异两点，且PM PN ⊥，若PQ PM PN =+ ，则||PQ的取值范围是二. 选择题15. 若(2,3)a = ，(4,7)b =-，则a 在b 方向上的投影为（ ）D. 16. 已知过定点(2,0)P 的直线l与曲线y =相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取到最大值时，直线l 的倾斜角为（ ）A. 150︒B. 135︒C. 120︒D. 不存在17. 已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的左右焦点分别为1F 、2F ，点O 为双曲线的中心，点P 在双曲线右支上，△12PF F 内切圆的圆心为Q ，圆Q 与x 轴相切于点A ，过2F 作直线PQ 的垂线，垂足为B ，则下列结论中成立的是（ ） A. ||||OA OB > B. ||||OA OB < C. ||||OA OB = D. ||OA 、||OB 大小关系不确定18. 若椭圆2212211:1x y C a b +=11(0)a b >>和椭圆2222222:1x y C a b +=22(0)a b >>的焦点相同，且12a a >，给出如下四个结论：① 椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点；②1122a b a b >； ③ 22221212a ab b -=-；④ 1212a a b b -<-；其中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④三. 解答题19. 已知,x y 满足约束条件10230x y x y --≤⎧⎨--≥⎩，当目标函数z ax by =+(0,0)a b >>在该约束条件下取到最小值22a b +最小值；20. 已知△ABC的三边长||AB =||4BC =，||1AC =，动点M 满足CM =CA CB λμ+ ，且14λμ=；（1）求cos ACB ∠；（2）求||CM最小值；21. 双曲线2222:1x y E a b-=(0,0)a b >>；（1）点1(,0)A a -、2(,0)A a ，动点P 在E 上，作11AQ A P ⊥，22A Q A P ⊥，求点Q 的 轨迹方程；（2）点00(,)M x y 、00(,)N x y --为E 上定点，点P 为E 上动点，作MP MQ ⊥，NP NQ ⊥，求Q 的轨迹方程；22. 两圆221111:0C x y D x E y F ++++=（圆心1C ，半径1r ），与2222:C x y D x +++ 220E y F +=（圆心2C ，半径2r ）不是同心圆，方程相减（消去二次项）得到的直线 121212:()()0l D D x E E y F F -+-+-=叫做圆1C 与圆2C 的根轴；（1）求证：当1C 与2C 相交于,A B 两点时，AB 所在直线为根轴l ；（2）对根轴上任意点P ，求证：22221122||||PC r PC r -=-；（3）设根轴l 与12C C 交于点H ，12||C C d =，求证：H 分12C C 的比2221222212d r r d r r λ+-=-+；23. 已知椭圆2222:1x y E a b+=(0)a b >>上动点P 、Q ，O 为原点；（1）若2222||||OP OQ a b +=+，求证：||OP OQ k k ⋅为定值； （2）点(0,)B b ，若BP BQ ⊥，求证：直线PQ 过定点； （3）若OP OQ ⊥，求证：直线PQ 为定圆的切线；参考答案一. 填空题 1. 810⎛⎫⎪⎝⎭2. 72 3. (6,1)(1,4)--- 4. 1- 5. 2 6.2212x y -= 7. 112-或14 8. 15- 9. [1,5] 10. [2,1]-11. 1 12. 2π 13. 14.二. 选择题15. C 16. A 17. C 18. B三. 解答题19. 4； 20.（1）12；（2 21.（1）22224a x b y a -=；（2）2222222200a xb y a x b y -=-； 22. 略； 23. 略；。
上海交通大学附属中学20162017学年高二12月月考数学试题Word版含答案
上海交通大学附属中学2016-2017学年度第一学期高二数学月考试卷一. 填空题1. 124312⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭2. △ABC 顶点(0,0)A 、(1,2)B 、(3,1)C -，则该三角形面积为3. 已知方程22146x y k k +=-+表示椭圆，则实数k 的取值范围是 4. 若关于,x y 的二元一次方程组12ax y a x ay a+=+⎧⎨+=⎩无解，则a =5. 已知点F 是抛物线24y x =的焦点，M 、N 是该抛物线上两点，||||6MF NF +=，则MN 中点的横坐标为6. 过原点的直线l 与双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的左右两支分别相交于A 、B 两 点，(3,0)F 是双曲线的左焦点，若||||4FA FB +=，0FA FB ⋅=，则双曲线的方程 是7. 点(1,1)M 到抛物线2y ax =的准线的距离是2，则a =8. △ABC 外接圆半径为1，圆心为O ，3450OA OB OC ++=，则OC AB ⋅=9. 已知圆22:(1)(1)4M x y -+-=，直线:60l x y +-=，A 为直线l 上一点，若圆M 上 存在两点B 、C ，使得60BAC ︒∠=，则点A 横坐标取值范围是 10. 已知1F 、2F 分别是椭圆2214x y +=的两焦点，点P 是该椭圆上一动点，则12PF PF ⋅ 的取值范围是11. 若直线240ax by -+=(0,0)a b >>被圆222410x y x y ++-+=截得的弦长为4， 则ab 的最大值是 12. 已知1F 、2F 分别为椭圆2214x y +=左右焦点，点P 在椭圆上，12||23PF PF +=， 则12F PF ∠=13. 已知20a b ab +-=(0,0)a b >>，当ab 取得最小值时，曲线||||1x x y y a b-=上的点到直线2y x =的距离的取值范围是14. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:16O x y +=，点(2,2)P ，M 、N 是圆O 上相异两点，且PM PN ⊥，若PQ PM PN =+，则||PQ 的取值范围是二. 选择题15. 若(2,3)a =，(4,7)b =-，则a 在b 方向上的投影为（ ）A. 3B. 135C. 655D. 65 16. 已知过定点(2,0)P 的直线l 与曲线22y x =-相交于A 、B 两点，O 为坐标原点， 当△AOB 的面积取到最大值时，直线l 的倾斜角为（ ）A. 150︒B. 135︒C. 120︒D. 不存在17. 已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的左右焦点分别为1F 、2F ，点O 为双曲线的 中心，点P 在双曲线右支上，△12PF F 内切圆的圆心为Q ，圆Q 与x 轴相切于点A ，过2F 作直线PQ 的垂线，垂足为B ，则下列结论中成立的是（ ）A. ||||OA OB >B. ||||OA OB <C. ||||OA OB =D. ||OA 、||OB 大小关系不确定18. 若椭圆2212211:1x y C a b +=11(0)a b >>和椭圆2222222:1x y C a b +=22(0)a b >>的焦点相同，且12a a >，给出如下四个结论：① 椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点；② 1122a b a b >； ③ 22221212a a b b -=-；④ 1212a a b b -<-；其中，所有正确结论的序号是（ ）A. ①③B. ①③④C. ①②④D. ②③④三. 解答题19. 已知,x y 满足约束条件10230x y x y --≤⎧⎨--≥⎩，当目标函数z ax by =+(0,0)a b >>在该约束条件下取到最小值522a b +最小值；20. 已知△ABC 的三边长||13AB =，||4BC =，||1AC =，动点M 满足CM = CA CB λμ+，且14λμ=； （1）求cos ACB ∠；（2）求||CM 最小值；21. 双曲线2222:1x y E a b-=(0,0)a b >>； （1）点1(,0)A a -、2(,0)A a ，动点P 在E 上，作11A Q A P ⊥，22A Q A P ⊥，求点Q 的 轨迹方程；（2）点00(,)M x y 、00(,)N x y --为E 上定点，点P 为E 上动点，作MP MQ ⊥， NP NQ ⊥，求Q 的轨迹方程；22. 两圆221111:0C x y D x E y F ++++=（圆心1C ，半径1r ），与2222:C x y D x +++220E y F +=（圆心2C ，半径2r ）不是同心圆，方程相减（消去二次项）得到的直线 121212:()()0l D D x E E y F F -+-+-=叫做圆1C 与圆2C 的根轴；（1）求证：当1C 与2C 相交于,A B 两点时，AB 所在直线为根轴l ；（2）对根轴上任意点P ，求证：22221122||||PC r PC r -=-；（3）设根轴l 与12C C 交于点H ，12||C C d =，求证：H 分12C C 的比2221222212d r r d r r λ+-=-+；23. 已知椭圆2222:1x y E a b+=(0)a b >>上动点P 、Q ，O 为原点； （1）若2222||||OP OQ a b +=+，求证：||OP OQ k k ⋅为定值；（2）点(0,)B b ，若BP BQ ⊥，求证：直线PQ 过定点；（3）若OP OQ ⊥，求证：直线PQ 为定圆的切线；参考答案 一. 填空题1. 810⎛⎫ ⎪⎝⎭2. 723. (6,1)(1,4)---4. 1-5. 26. 2212x y -=7. 112-或148. 15- 9. [1,5] 10. [2,1]- 11. 1 12.2π 13. 26(0,]3 14. [2622,2622]-+二. 选择题15. C 16. A 17. C 18. B三. 解答题19. 4； 20.（1）12；（2）3； 21.（1）22224a x b y a -=；（2）2222222200a x b y a x b y -=-； 22. 略； 23. 略；。
上海交大附中2016-2017学年高二上学期摸底数学试卷Word版含解析
2016-2017学年上海交大附中高二（上）摸底数学试卷一．填空题（满分56分）（本大题共14小题，每小题只要求直接填写结果，填对得4分否则一律得零分）1．若，则x+y=．2．已知集合A={﹣1，3，2m﹣1}，集合B={3，m2}．若B⊆A，则实数m=．3．已知θ为象限角且cot（sinθ）＞0则θ是第象限的角．4．已知函数f（x）=（a2﹣1）x2+（a﹣1）x+3写出对任意的x∈R，f（x）＞0的一个充分非必要条件．5．把行列式按照第二列展开，则．6．已知||=3，||=5，=12，则向量与向量的夹角余弦为．7．我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大的创举，这个伟大创举与古老的算法﹣﹣“辗转相除法”实质一样，如图的程序框图源于“辗转相除法”．当输入a=6102，b=2016时，输出的a=．8．若sinθ+cosθ=（0＜θ＜π），则tanθ=．9．M={x|2x2﹣5x﹣3=0}，N={x|mx=1}，若N⊆M，则实数m的取值集合是．10．实数x满足|x2﹣x﹣2|+||=|x2﹣x﹣2+|，则x的解集为．11．已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是．12．幂函数f（x）=x（m∈Z）的图象与坐标轴无公共点，且关于y轴对称，则m的值为．13．已知函数f（x）=|x2﹣2ax+a|（x∈R），给出下列四个命题：①当且仅当a=0时，f（x）是偶函数；②函数f（x）一定存在零点；③函数在区间（﹣∞，a]上单调递减；④当0＜a＜1时，函数f（x）的最小值为a﹣a2．那么所有真命题的序号是．14．已知命题：“若数列{a n}为等差数列，且a m=a，a n=b（m＜n，m，n∈N*），则=”．现已知数列{b n}（b n＞0，n∈N*）为等比数列，且b m=a，b n=b（m＜n，m，a m+n=．n∈N*），若类比上述结论，则可得到b m+n二．选择题（满分20分）（本大题共4小题，每小题5分，均为单选题）15．若f（x）=lg（x2﹣2ax+1+a）在区间（﹣∞，1]上递减，则a的取值范围为（）A．[1，2）B．[1，2]C．[1，+∞）D．[2，+∞）16．设a＞0，b＞0，则以下不等式中恒成立的是（）A．B．a3+b3≥2ab C．a2+b2≥2a+2b D．≤17．已知函数f（x）=2sinxsin（x+3φ）是奇函数，其中φ∈（0，），则函数g（x）=cos（2x ﹣φ）的图象（）A．关于点（，0）对称B．可由函数f（x）的图象向右平移个单位得到C．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到D．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到=a n+18n+10（n∈N*）记[x]表示不超过实数x的最大整数，则18．数列{a n}满足a1=10，a n+1（﹣[]）=（）A．1 B．C．D．三．解答题（满分74分）（本大题共5题，写出必要的解题步骤和说明）19．解不等式ax2+（2﹣a）x﹣2＜0（a∈R）．20．已知数列{a n}的前项和为S n，S n=1+ta n（t≠1且t≠0，n∈N*）（1）求证：数列{a n}是等比数列（2）若S n=1，求实数t的取值范围．21．如图，ABCD是边长为10海里的正方形海域．现有一架飞机在该海域失事，两艘海事搜救船在A处同时出发，沿直线AP、AQ向前联合搜索，且∠PAQ=（其中点P、Q分别在边BC、CD上），搜索区域为平面四边形APCQ围成的海平面．设∠PAB=θ，搜索区域的面积为S．（1）试建立S与tanθ的关系式，并指出θ的取值范围；（2）求S的最大值，并求此时θ的值．22．（理）定义区间（c，d），[c，d），（c，d]，[c，d]的长度均为d﹣c，其中d＞c．（1）已知函数y=|2x﹣1|的定义域为[a，b]，值域为[0，]，写出区间[a，b]长度的最大值与最小值．（2）已知函数f M（x）的定义域为实数集D=[﹣2，2]，满足f M（x）=（M是D的非空真子集）．集合A=[1，2]，B=[﹣2，﹣1]，求F（x）=的值域所在区间长度的总和．（3）定义函数f（x）=+++﹣1，判断函数f（x）在区间（2，3）上是否有零点，并求不等式f（x）＞0解集区间的长度总和．23．在数列{a n}中，a n=（n∈N*）．从数列{a n}中选出k（k≥3）项并按原顺序组成的新数列记为{b n}，并称{b n}为数列{a n}的k项子列．例如数列，，，为{a n}的一个4项子列．（Ⅰ）试写出数列{a n}的一个3项子列，并使其为等差数列；（Ⅱ）如果{b n}为数列{a n}的一个5项子列，且{b n}为等差数列，证明：{b n}的公差d满足﹣＜d＜0；（Ⅲ）如果{c n}为数列{a n}的一个m（m≥3）项子列，且{c n}为等比数列，证明：c1+c2+c3+…+c m ≤2﹣．2016-2017学年上海交大附中高二（上）摸底数学试卷参考答案与试题解析一．填空题（满分56分）（本大题共14小题，每小题只要求直接填写结果，填对得4分否则一律得零分）1．若，则x+y=1．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】先根据矩阵的乘法化简成二元一次方程组，然后解方程组即可求出x和y的值，从而求出x+y的值．【解答】解：∵，∴解得即x+y=1故答案为：12．已知集合A={﹣1，3，2m﹣1}，集合B={3，m2}．若B⊆A，则实数m=1．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】根据题意，若B⊆A，必有m2=2m﹣1，而m2=﹣1不合题意，舍去，解可得答案，注意最后进行集合元素互异性的验证．【解答】解：由B⊆A，m2≠﹣1，∴m2=2m﹣1．解得m=1．验证可得符合集合元素的互异性，此时B={3，1}，A={﹣1，3，1}，B⊆A满足题意．故答案为：13．已知θ为象限角且cot（sinθ）＞0则θ是第一、二象限的角．【考点】三角函数值的符号．【分析】由正弦函数的值域结合cot（sinθ）＞0可得0＜sinθ≤1，进一步得到象限角θ的范围．【解答】解：∵﹣1≤sinθ≤1，且cot（sinθ）＞0，∴0＜sinθ≤1，∴θ为第一或第二象限角．故答案为：一、二．4．已知函数f（x）=（a2﹣1）x2+（a﹣1）x+3写出对任意的x∈R，f（x）＞0的一个充分非必要条件a=1．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】取a=1结合充分必要条件的定义，验证即可．【解答】解：a=1时，f（x）=3＞0，成立，而f（x）＞0时，a不一定是1，故答案为：a=1．5．把行列式按照第二列展开，则﹣3×+2×+2×．【考点】三阶矩阵．【分析】利用行列式展开的方法，即可得出结论．【解答】解：把行列式按照第二列展开得到﹣3×+2×+2×．故答案为：﹣3×+2×+2×．6．已知||=3，||=5，=12，则向量与向量的夹角余弦为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可直接由夹角余弦公式求出向量与向量的夹角余弦【解答】解：∵||=3，||=5，=12，∴向量与向量的夹角余弦为==．故答案为．7．我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大的创举，这个伟大创举与古老的算法﹣﹣“辗转相除法”实质一样，如图的程序框图源于“辗转相除法”．当输入a=6102，b=2016时，输出的a=18．【考点】程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，该程序执行的是欧几里得辗转相除法，求出运算结果即可．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；a=6102，b=2016，执行循环体，r=54，a=2016，b=54，不满足退出循环的条件，执行循环体，r=18，a=54，b=18，不满足退出循环的条件，执行循环体，r=0，a=18，b=0，满足退出循环的条件r=0，退出循环，输出a的值为18．故答案为：18．8．若sinθ+cosθ=（0＜θ＜π），则tanθ=﹣2．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系求出sinθ﹣cosθ的值，进而求出sinθ与cosθ的值，即可求出tanθ的值．【解答】解：已知等式sinθ+cosθ=①，两边平方得：（sinθ+cosθ）2=1+2sinθcosθ=，即2sinθcosθ=﹣，∵0＜θ＜π，∴cosθ＜0，sinθ＞0，即sinθ﹣cosθ＞0，∴（sinθ﹣cosθ）2=1﹣2sinθcosθ==，即sinθ﹣cosθ=②，联立①②，解得：sinθ=，cosθ=﹣，则tanθ=﹣2，故答案为：﹣29．M={x|2x2﹣5x﹣3=0}，N={x|mx=1}，若N⊆M，则实数m的取值集合是{0，﹣2， } ．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】分N=∅和N≠∅两种情况进行讨论，根据集合包含关系的判断和应用，分别求出满足条件的m值，并写成集合的形式即可得到答案．【解答】解：解：∵M={x|2x2﹣5x﹣3=0}={﹣，3}又∵N⊆M，若N=∅，则m=0；若N≠∅，则N={﹣}，或N={3}，即m=﹣2或m=故满足条件的实数m∈{0，﹣2， }．故答案为：{0，﹣2， }．10．实数x满足|x2﹣x﹣2|+||=|x2﹣x﹣2+|，则x的解集为{x|﹣1≤x＜0或x≥2} ．【考点】绝对值三角不等式．【分析】由已知条件得到x2﹣x﹣2与同号或均为0，列出关于x的不等式组，求出不等式组的解集，同时考虑分母不为0得到x不等于0，即可得到x的范围．【解答】解：由已知条件得到x2﹣x﹣2与同号或均为0，∴∴﹣1≤x＜0或x≥2．∴解集为{x|﹣1≤x＜0或x≥2}．故答案为：{x|﹣1≤x＜0或x≥2}．11．已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是（﹣1，0）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】令y=k，画出f（x）和y=k的图象，通过读图一目了然．【解答】解：画出函数f（x）的图象（红色曲线），如图示：，令y=k，由图象可以读出：﹣1＜k＜0时，y=k和f（x）有3个交点，即方程f（x）=k有三个不同的实根，故答案为：（﹣1，0）．12．幂函数f（x）=x（m∈Z）的图象与坐标轴无公共点，且关于y轴对称，则m的值为1．【考点】指数函数的图象与性质．【分析】利用幂函数的图象及性质求解．【解答】解：由题意：坐标轴无公共点，且关于y轴对称，图象只能在一二象限，且是单调减函数．∴m2﹣2m﹣3＜0，且m2﹣2m﹣3是偶数，m∈Z．解得：m=1，故答案为：1．13．已知函数f（x）=|x2﹣2ax+a|（x∈R），给出下列四个命题：①当且仅当a=0时，f（x）是偶函数；②函数f（x）一定存在零点；③函数在区间（﹣∞，a]上单调递减；④当0＜a＜1时，函数f（x）的最小值为a﹣a2．那么所有真命题的序号是①④．【考点】命题的真假判断与应用；函数奇偶性的性质；函数的零点．【分析】（1）当f（x）是偶函数时，函数解析式中不能含有奇数次项；（2）二次函数的零点是函数与X轴交点的横坐标，举个反例即可；（3）分段函数单调性要根据每段函数解析式来求，举个反例即可；（4）当0＜a＜1时，函数f（x）=|x2﹣2ax+a|=x2﹣2ax+a＞0恒成立，此时函数f（x）的最小值为a﹣a2．【解答】解：由于函数f（x）=|x2﹣2ax+a|（x∈R），①当a=0时，f（x）=x2，则f（x）是偶函数；当f（x）是偶函数时，函数解析式中不能含有奇数次项，则﹣2a=0，即a=0．故①为真命题．②∵△=4a2﹣4a=4a（a﹣1），当0＜a＜1时，△＜0，函数f（x）=|x2﹣2ax+a|=x2﹣2ax+a＞0恒成立，此时函数f（x）不存在零点，∴②是假命题．③由于函数f（x）=x2﹣2ax+a在区间（﹣∞，a]上单调递减，但函数f（x）=|x2﹣2ax+a|（x∈R）是由函数f（x）=x2﹣2ax+a把X轴下方图象沿X轴旋转180度得到的，则函数f（x）=|x2﹣2ax+a|（x∈R）在区间（﹣∞，a]上单调递减不一定成立．故③是假命题．④当0＜a＜1时，函数f（x）=|x2﹣2ax+a|=x2﹣2ax+a＞0恒成立，此时函数f（x）的最小值为a﹣a2．故④是真命题．故答案为①④．14．已知命题：“若数列{a n}为等差数列，且a m=a，a n=b（m＜n，m，n∈N*），则a m=”．现已知数列{b n}（b n＞0，n∈N*）为等比数列，且b m=a，b n=b（m＜n，m，+n=．n∈N*），若类比上述结论，则可得到b m+n【考点】类比推理．【分析】首先根据等差数列和等比数列的性质进行类比，等差数列中的bn﹣am可以类比等比数列中的，等差数列中的可以类比等比数列中的，很快就能得到答案．【解答】解：等差数列中的bn和am可以类比等比数列中的b n和a m，等差数列中的bn﹣am可以类比等比数列中的，等差数列中的可以类比等比数列中的．=，故b m+n故答案为二．选择题（满分20分）（本大题共4小题，每小题5分，均为单选题）15．若f（x）=lg（x2﹣2ax+1+a）在区间（﹣∞，1]上递减，则a的取值范围为（）A．[1，2）B．[1，2]C．[1，+∞）D．[2，+∞）【考点】复合函数的单调性．【分析】由题意，在区间（﹣∞，1]上，a的取值需令真数x2﹣2ax+1+a＞0，且函数u=x2﹣2ax+1+a 在区间（﹣∞，1]上应单调递减，这样复合函数才能单调递减．【解答】解：令u=x2﹣2ax+1+a，则f（u）=lgu，配方得u=x2﹣2ax+1+a=（x﹣a）2 ﹣a2+a+1，故对称轴为x=a，如图所示：由图象可知，当对称轴a≥1时，u=x2﹣2ax+1+a在区间（﹣∞，1]上单调递减，又真数x2﹣2ax+1+a＞0，二次函数u=x2﹣2ax+1+a在（﹣∞，1]上单调递减，故只需当x=1时，若x2﹣2ax+1+a＞0，则x∈（﹣∞，1]时，真数x2﹣2ax+1+a＞0，代入x=1解得a＜2，所以a的取值范围是[1，2）故选A．16．设a＞0，b＞0，则以下不等式中恒成立的是（）A．B．a3+b3≥2ab C．a2+b2≥2a+2b D．≤【考点】基本不等式．【分析】利用基本不等式的性质依次进行判断即可得出．【解答】解：对于A：，当且仅当a=b时取等号．故A对．对于B：a3+b3=≥=2，当且仅当a=b时取等号．故B不对．对于C：a2+b2﹣2a﹣2b=（a﹣1）2+（b﹣1）2﹣2，即a2+b2≥2a+2b﹣2，故C不对，对于D：，那么：=a﹣b﹣a﹣b+2=﹣2b+2=2≥0，∴D不对．故选：A．17．已知函数f（x）=2sinxsin（x+3φ）是奇函数，其中φ∈（0，），则函数g（x）=cos（2x ﹣φ）的图象（）A．关于点（，0）对称B．可由函数f（x）的图象向右平移个单位得到C．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到D．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到【考点】余弦函数的对称性．【分析】由条件利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=2sinxsin（x+3φ）是奇函数，其中φ∈（0，），∴φ=，∴f（x）=2sinxsin（x+）=sin2x=cos（2x﹣）=cos2（x﹣），则函数g（x）=cos（2x﹣φ）=cos（2x﹣）=cos2（x﹣）的图象可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到的，故选：C．=a n+18n+10（n∈N*）记[x]表示不超过实数x的最大整数，则18．数列{a n}满足a1=10，a n+1（﹣[]）=（）A．1 B．C．D．【考点】数列的极限．【分析】由已知变形，利用累加法求得数列通项公式，然后代入（﹣[]）求得答案．=a n+18n+10，得a1=10，【解答】解：由a n+1又a1=10，∴a2﹣a1=18×1+10，a3﹣a2=18×2+10，…=18（n﹣1）+10，a n﹣a n﹣1累加得：a n=a1+18[1+2+…+（n﹣1）]+10（n﹣1）=．∴﹣[]===．则（﹣[]）=．故选：D ．三．解答题（满分74分）（本大题共5题，写出必要的解题步骤和说明） 19．解不等式ax 2+（2﹣a ）x ﹣2＜0（a ∈R ）． 【考点】一元二次不等式的解法． 【分析】将原不等式化为（ax +2）（x ﹣1）＜0分a=0，a ＞0，a ＜0三种情况进行讨论．a=0、a ＞0易解不等式；当a ＜0时，按照对应方程的两根大小分三种情况讨论即可． 【解答】解：将原不等式化为（ax +2）（x ﹣1）＜0， （1）当a=0时，有x ＜1；（2）当a ＞0时，有（x +）（x ﹣1）＜0，解得﹣＜x ＜1， （3）当a ＜0时，有（x +）（x ﹣1）＞0，若﹣＞1时，即﹣2＜a ＜0，解得x ＜1或x ＞﹣， 若﹣=1时，即a=﹣2，解得x ≠1，若﹣＜1时，即a ＜﹣2，解得x ＜﹣，或x ＞1，综上，a=0时，不等式的解集为{x |x ＜1}；﹣2＜a ＜0时，不等式的解集为{x |x ＜1或x ＞﹣}； 当a=﹣2时，不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠1}； 当a ＜﹣2时，不等式的解集为{x |x ＜﹣或x ＞1}； 当a ＞0时，不等式的解集为{x |﹣＜x ＜1}．20．已知数列{a n }的前项和为S n ，S n =1+ta n （t ≠1且t ≠0，n ∈N*） （1）求证：数列{a n }是等比数列 （2）若S n =1，求实数t 的取值范围．【考点】数列的极限；等比数列的通项公式． 【分析】（1）利用条件，再写一式，两式相减，即可证明数列{a n }是等比数列 （2）若S n =1，[1﹣]=1，可得0＜||＜1，即可求实数t 的取值范围． 【解答】（1）证明：∵S n =1+ta n ， ∴n ≥2时，S n ﹣1=1+ta n ﹣1， 两式相减可得a n =ta n ﹣ta n ﹣1， ∴=，∴数列{a n }是等比数列；（2）解：由题意，S 1=1+ta 1，∴a 1=，∴a n =，若S n =1，则[1﹣]=1，∴0＜||＜1，∴， ∵t ≠1且t ≠0， ∴，且t ≠0．21．如图，ABCD 是边长为10海里的正方形海域．现有一架飞机在该海域失事，两艘海事搜救船在A 处同时出发，沿直线AP 、AQ 向前联合搜索，且∠PAQ=（其中点P 、Q 分别在边BC 、CD 上），搜索区域为平面四边形APCQ 围成的海平面．设∠PAB=θ，搜索区域的面积为S ．（1）试建立S 与tan θ的关系式，并指出θ的取值范围； （2）求S 的最大值，并求此时θ的值．【考点】解三角形的实际应用． 【分析】（1）利用S=S ABCD ﹣S △ABP ﹣S △ADQ ，可得S 与tan θ的关系式； （2）令t=1+tan θ，t ∈（1，2），利用基本不等式，可求S 的最大值，并求此时θ的值． 【解答】解：（1）S=S ABCD ﹣S △ABP ﹣S △ADQ …2分 =…4分=…6分（2）令t=1+tan θ，t ∈（1，2）…8分…10分∵，（当且仅当时，即，等号成立）…12分∴当时，搜索区域面积S 的最大值为（平方海里）此时，…14分．22．（理）定义区间（c，d），[c，d），（c，d]，[c，d]的长度均为d﹣c，其中d＞c．（1）已知函数y=|2x﹣1|的定义域为[a，b]，值域为[0，]，写出区间[a，b]长度的最大值与最小值．（2）已知函数f M（x）的定义域为实数集D=[﹣2，2]，满足f M（x）=（M是D的非空真子集）．集合A=[1，2]，B=[﹣2，﹣1]，求F（x）=的值域所在区间长度的总和．（3）定义函数f（x）=+++﹣1，判断函数f（x）在区间（2，3）上是否有零点，并求不等式f（x）＞0解集区间的长度总和．【考点】函数零点的判定定理；分段函数的应用．【分析】（1）利用数形结合求出即可；（2）中求出两区间长度作和即可；（3）找出①②③三个关系式，比较得出结论．【解答】解：（1），解得x=﹣1或，|2x﹣1|=0，解得x=0，画图可得：区间[a，b]长度的最大值为log23，最小值为．（2）当x∈A∪B，，当x∈（﹣1，1），，所以x∈[﹣2，2]时，所以值域区间长度总和为．（3）由于当2＜x＜3时，取x=2.001，f（2.001）＞0，取x=2.999，f（2.999）＜0，所以方程f（x）=0在区间（2，3）内有一个解考虑函数f（x）=+++﹣1，由于当x＜1时，f（x）＜0，故在区间（﹣∞，1）内，不存在使f（x）＞0的实数x；对于集合{1，2，3，4}中的任一个k，由于当k﹣1＜x＜k时，取x=k+0.001，f（x）＞0，取x=k+1﹣0.001，f（x）＜0又因为函数y=f（x）在区间（1，2），（2，3），（3，4），（4，+∞）内单调递减，所以方程f（x）=0在区间（1，2），（2，3），（3，4），（4，+∞）内各有一个解；依次记这4个解为x1，x2，x3，x4，从而不等式f（x）＞0的解集是E=（1，x1）∪（2，x2）∪（3，x3）∪（4，x4），故得所有区间长度的总和为S=（x1﹣1）+（x2﹣2）+（x3﹣3）+（x4﹣4）=x1+x2+x3+x4﹣10…①对f（x）＞0进行通分处理，分子记为p（x），p（x）=（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）+2（x﹣1）（x﹣3）（x﹣4）+3（x﹣1）（x﹣2）（x﹣4）+4（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）﹣（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）如将p（x）展开，其最高项系数为﹣1，设p（x）=﹣x4+a3x3+a2x2+a1x+a0…②又有p（x）=﹣（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3）（x﹣x4）…③对比②③中p（x）的x3系数，（x1+x2+x3+x4）=1+2+3+4+（1+2+3+4）=20可得：S=x1+x2+x3+x4﹣10=10．23．在数列{a n}中，a n=（n∈N*）．从数列{a n}中选出k（k≥3）项并按原顺序组成的新数列记为{b n}，并称{b n}为数列{a n}的k项子列．例如数列，，，为{a n}的一个4项子列．（Ⅰ）试写出数列{a n}的一个3项子列，并使其为等差数列；（Ⅱ）如果{b n}为数列{a n}的一个5项子列，且{b n}为等差数列，证明：{b n}的公差d满足﹣＜d＜0；（Ⅲ）如果{c n}为数列{a n}的一个m（m≥3）项子列，且{c n}为等比数列，证明：c1+c2+c3+…+c m ≤2﹣．【考点】数列与不等式的综合；等差关系的确定；等差数列的性质．【分析】（Ⅰ）根据新定义的规定，从原数列中找出符合条件的一个数列，注意本题答案不唯一；（Ⅱ）先利用反证法推出新数列的第一项不等于1，再利用等差数列中项与项的关系，得到公差的取值范围；（Ⅲ）对于新数列，先研究其首项，再利用公比是有理数，对公比进行分类研究，得到本题的结论．【解答】（Ⅰ）解：答案不唯一．如3项子列，，；（Ⅱ）证明：由题意，知1≥b1＞b2＞b3＞b4＞b5＞0，所以d=b2﹣b1＜0．假设b1=1，由{b n}为{a n}的一个5项子列，得，所以．因为b5=b1+4d，b5＞0，所以4d=b5﹣b1=b5﹣1＞﹣1，即．这与矛盾．所以假设不成立，即b1≠1．所以，因为b5=b1+4d，b5＞0，所以，即，综上，得．（Ⅲ）证明：由题意，设{c n}的公比为q，则．因为{c n}为{a n}的一个m项子列，所以q为正有理数，且q＜1，．设，且K，L互质，L≥2）．当K=1时，因为，所以=，所以．当K≠1时，因为是{a n}中的项，且K，L互质，所以a=K m﹣1×M（M∈N*），所以=．因为L≥2，K，M∈N*，所以．综上，．2016年11月2日。
2017-2018学年上海市上海交通大学附属中学高二下学期5月月考数学试卷含详解
交大附中2017—2018学年第二学期高二数学月考二试卷一、填空题（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，满分54分）1.掷一颗均匀的骰子，出现奇数点概率为p ，则6p =__________2.已知(13)n x +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n=_____________.3.已知向量()1,1,1m λ=-，()2,2,3n λ=-，若()()m n m n +⊥- ，则λ=__________4.在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A B 与1B C所成的角大小等于______.5.若球的表面积为36π，则此球的体积与π的比值为__________6.用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）7.三棱柱的五个面所在的平面将空间平分成____________个部分8.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式有_______.9.()()8411x y ++的展开式中22x y 的系数是___________（用数字作答）10.如图，在棱长为10的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在线段1D E上，点P 到直线1CC 的距离的最小值为____________11.四面体ABCD 中，BCD ∆为等腰直角三角形，=90BDC ∠︒，6BD =，且60ADB ADC ∠=∠=︒，则异面直线AD 与BC 的距离为_____________12.如图，在ABC ∆中，6AB BC ==，90ABC ∠=︒，若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD DA =，PB BA =，则三棱锥P BCD -的体积的最大值是____________二、选择题（本大题共4个题，每题5分，满分20分）13.一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（）A.1233π+ B.1233π+C.1236π+ D.216π+14.α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题：①如果m n ⊥，m α⊥，//n β，那么αβ⊥；②如果m α⊥，//n α，那么m n ⊥；③如果//m n ，//αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等其中正确的命题的编号为（）A.②③B.①③C.①②D.①②③15.把5本不同的书分给3名同学，每人至少一本，不同的分法有（）A.54B.60C.90D.15016.从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为A.110B.35C.310D.25三、解答题（本大题共5题，满分76分，14+14+14+16+18=76）17.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，110AA =，则异面直线1BC 与1AA 所成角的大小为4π．（1）求线段BC 的长；（2）求该三棱柱的侧面积与体积．18.将边长为1的正方形11AA O O （及其内部）绕直线1OO 旋转一周形成圆柱，如图， AC 长为2π， 11A B 长为6π，其中1B 与C 在平面11AA O O 的同侧.（1）求三棱锥111C O A B -的体积；（2）求异面直线1B C 与1AA 所成的角的大小．19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA C C 边长为8的正方形，6AB =，110BC A B ==（1）求证：1AA ⊥平面ABC ；（2）求二面角111A BC B --的余弦值；（3）证明：在线段1BC 上存在点D ，使得1AD A B ⊥，并求1BDBC 的值．20.教材中指出：当x 很小，n 不太大时，可以用1nx +表示()1nx +的近似值，即()()*11nx nx n N +≈+∈（1），我们把近似值与实际值之差除以实际值的商的绝对值称为“相对近似误差”，一般用字母δ表示，即相对近似误差δ-=近似值实际值实际值（1）利用（1）求出()40.998的近似值，并指出其相对近似误差（相对近似误差保留两位有效数字）（2）若利用（1）式计算2A 的近似值产生的相对近似误差不超过1%，求正实数A 的取值范围；（3）若利用（1）式计算()1.01n的近似值产生的相对近似误差不超过1%，求正整数n 的最大值．(参考对数数值:lg1.010.00432,lg99 1.99563,lg115 2.06069,lg116 2.06445≈≈≈≈)21.用一个平面去截直立放置的圆柱，得圆柱的下半部分如图，其中A 为截面的最低点，B 为截面的最高点，M 为线段AB 中点，P 为截面边界上任意一点，作1AA 垂直圆柱底面于点1A ，1BB 垂直圆柱于底面于点1B ，1PP 垂直圆柱于底面于点1P ，圆柱底面圆心为O ．已知11A B 为底面直径，1P 在以11A B 为直径的圆周上，OM 垂直底面，12AA =，14BB =，112A B =，以O 为原点，1OA 为x 轴正方向，圆柱底面为xOy 平面，OM 为z 轴正方向建立空间直角坐标系，设点(),,P x y z ．（1）求点1P的坐标，并求出x与y之间满足的关系式；（2）三视图是解决立体几何问题时的有效工具，将圆柱下半部分在xOz平面上的投影作为主视图，在xOy 平面上的投影作为俯视图；在方框中作出主视图，并说明理由；再求出左视图所围区域的面积；（3）判断截面的边界是什么曲线，并证明.再指出截面的面积（不需要证明）交大附中2017—2018学年第二学期高二数学月考二试卷一、填空题（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，满分54分）1.掷一颗均匀的骰子，出现奇数点概率为p ，则6p =__________【答案】3【分析】由古典概型概率可知，掷一颗均匀的骰子,共出现6种可能,出现奇数的可能有3种,即可求得出现奇数点概率p ,进而求得6p 的值.【详解】掷一颗均匀的骰子,共出现6种可能:1,2,3,4,5,6出现奇数的可能有3种:1,3,5所以出现向上点数的概率为3162p ==所以16632p =⨯=故答案为:3【点睛】本题考查了古典概型概率的简单应用,属于基础题.2.已知(13)nx +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n=_____________.【答案】4【分析】利用通项公式即可得出．【详解】解：（1+3x ）n 的展开式中通项公式：T r +1rn =ð（3x ）r ＝3r rn ðx r ．∵含有x 2的系数是54，∴r ＝2．∴223n =ð54，可得2n =ð6，∴()12n n -=6，n ∈N *．解得n ＝4．故答案为4．【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.已知向量()1,1,1m λ=- ，()2,2,3n λ=- ，若()()m n m n +⊥-，则λ=__________【答案】7【分析】根据空间向量的加法和减法的坐标运算,可求得m n + 和m n -,结合空间向量垂直的坐标关系,即可求得λ的值.【详解】向量()1,1,1m λ=- ,()2,2,3n λ=-则()32,3,4m n λ+=- ,()1,1,2m n -=---因为()()m n m n+⊥- 所以()()0m n m n +⋅-=,代入可得()()32,3,41,1,20λ-⋅---=即23380λ---=,解得7λ=故答案为:7【点睛】本题考查了空间向量加减法的坐标运算,空间向量垂直的坐标运算,属于基础题.4.在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A B 与1B C 所成的角大小等于______.【答案】60°.【分析】连接1A D ，根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义，我们可得1BA D ∠即为异面直线1A B 与1B C 所成的角，连接BD 后，解三角形1BA D 即可得到异面直线1A B 与1B C 所成的角．【详解】连接1A D ，由正方体的几何特征可得：11//A D B C ，则1BA D ∠即为异面直线1A B 与1B C 所成的角或其补角，连接BD ，易得11BD A D A B ==故160BA D ∠=︒故答案为：60︒【点睛】本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，其中根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义判断出1BA D ∠即为异面直线1A B 与1B C 所成的角或者其补角，是解答本题的关键．5.若球的表面积为36π，则此球的体积与π的比值为__________【答案】36【分析】根据球的表面积,可求得球的半径,进而得球的体积.即可求得球的体积与π的比值.【详解】球的表面积为36π,由球的表面积公式24S R π=可得2364R ππ=,解得3R =由体积公式343V R π=,代入可得343363V ππ=⨯=球的体积与π的比值为3636V πππ==故答案为:36【点睛】本题考查了球的表面积公式与体积公式的用法,属于基础题.6.用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）【答案】1080【详解】41345454A C C A 1080+=【考点】计数原理、排列、组合【名师点睛】计数原理包含分类计数原理（加法）和分步计数原理（乘法），组成四位数至多有一个数字是偶数，包括四位数字有一个是偶数和四位数字全部是奇数两类，利用加法原理计数.7.三棱柱的五个面所在的平面将空间平分成____________个部分【答案】21【分析】3个侧面将空间分成了7个部分,上下底面又将空间分成了上中下三个部分,即可求得分得的所有部分数.【详解】三棱柱有3个侧面,3个侧面将空间分成了7个部分上下底面又将空间分成了上中下三个部分,每个部分都有7个小部分所以三棱柱的五个侧面将空间分成了3721⨯=个部分故答案为:21【点睛】本题考查了空间结构体的特征,需要空间想象能力,属于基础题.8.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式有_______.【答案】36【分析】根据题意，分2步进行分析：先将4项工作分成3组，再将分好的三组全排列，对应3名志愿者，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案.【详解】解：根据题意，先将4项工作分成3组，有246C =种分组方法，将分好的三组全排列，对应3名志愿者，有336A =种情况，则有6×6＝36种不同的安排方式.故答案为：36.【点睛】本题考查分组分配问题，注意题目中“每人至少完成1项，每项工作由1人完成”的要求.9.()()8411x y ++的展开式中22x y 的系数是___________（用数字作答）【答案】168【分析】根据二项式定理展开式,即可求得22x y 的系数.【详解】由二项式定理展开式可知,()81x +展开式中2x 的系数为28C ()41y +展开式中2y 的系数为24C 所以22x y 的系数是2284874316822C C ⨯⨯=⨯=故答案为:168【点睛】本题考查了二项式定理展开式的应用,指定项系数的求法,属于基础题.10.如图，在棱长为10的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在线段1D E 上，点P 到直线1CC 的距离的最小值为____________【答案】【分析】取11B C 的中点F,连接EF 、1ED ,根据线面平行的性质可得1CC 平面1D EF ,作11C M D F ⊥,过M 作MP EF 交1ED 于P ,作1PN CC ⊥,根据四边形1MPNC 为矩形即知得点P 到直线1CC 的距离的最小值为PN ,即1C M 的值.【详解】根据题意,取11B C 的中点F,连接EF 、1ED ;作11C M D F ⊥交1D F 于M ,过M 作MP EF 交1ED 于P ,作1PN CC ⊥,如下图所示:由题意可知,E 、F 分别为BC 、11B C 的中点,所以1CC EF ∥因为1CC ⊂平面1D EF ,而EF ⊂平面1D EF 所以1CC 平面1D EF所以求点P 到直线1CC 的距离的最小值即为异面直线1ED 与1CC 公垂线的长度因为11C M D F ⊥,1PN CC ⊥,且11C M C N ⊥则四边形1MPNC 为矩形所以PN MP ⊥,又因为1PN D F ⊥所以PN ^平面1D EF 即1PN D E⊥所以PN 即为异面直线1ED 与1CC 公垂线因为正方体的棱长为10则1D F ==由等积法可知11111=D C C F C M D F ⨯==所以1=PN C M =故答案为:【点睛】本题考查了空间中异面直线距离的求法,找到异面直线的公垂线是解决此类问题的关键,对线面平行和线面垂直的理解要求较高,属于中档题.11.四面体ABCD 中，BCD ∆为等腰直角三角形，=90BDC ∠︒，6BD =，且60ADB ADC ∠=∠=︒，则异面直线AD 与BC 的距离为_____________【答案】3【分析】画出空间几何体,取BC 中点M,先根据余弦定理求得ADM ∠;连接AM DM 、,作MN AD ⊥交AD 于N,则MN 即为异面直线AD 与BC 的距离.【详解】根据题意,取BC 中点M,连接AM DM 、,作MN AD ⊥交AD 于N,空间几何图形如下图所示:6BD CD ==,=90BDC ∠︒所以BC =因为M 为BC 中点所以,AM BC DM BC ⊥⊥,且DM AM M⋂=则BC ⊥平面ADM ,所以BC MN ⊥且BM DM CM ===,设AD x=因为60ADB ADC ∠=∠=︒所以由余弦定理可得2222cos AB AD BD AD BD ADB=+-⨯⨯⨯∠2222cos AC AD CD AD CD ADC=+-⨯⨯⨯∠代入可解得222636AB AC x x ==-+在Rt AMB ∆中,可得2222618AM AB BM x x =-=-+在ADM ∆中,由余弦定理可得222cos 2AD DM AM ADM AD DM--∠=⨯⨯代入可得2218618cos 2x x x ADM +--+∠=所以2sin 2ADM ∠==而MN AD⊥所以MN 即为异面直线AD与BC 的距离则2sin 32MN DM ADM =⨯∠==故答案为:3【点睛】本题考查了异面直线的距离问题,找出异面直线的公垂线是解决问题的关键,综合性较强,属于中档题.12.如图，在ABC ∆中，6AB BC ==，90ABC ∠=︒，若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD DA =，PB BA=，则三棱锥P BCD -的体积的最大值是____________【答案】【分析】根据题意,AD x =,表示出BCD ∆的面积,进而表示出三棱锥P BCD -的体积,根据不等式成立的条件及二次函数的最值即可求得三棱锥P BCD -的体积的最大值.【详解】因为6AB BC ==,90ABC∠=︒所以AC =,45ACB CAB ∠=∠=︒设AD x=,则,DP x DC x ==,P 到平面BCD 的距离为h ,则h PD x≤=则1sin 2BCD S BC DC ACB ∆=⨯⨯⨯∠()1236326222x -=⨯⨯⨯=则13P BCD BCD V S h -∆=⨯⨯1363232x -≤⨯⨯(222x ≤--+所以当x =,三棱锥P BCD -的体积的最大值为故答案为:【点睛】本题考查了空间几何体的综合应用,几何体体积的最值求法,分析出各线段的关系是解决此类问题的关键,属于中档题.二、选择题（本大题共4个题，每题5分，满分20分）13.一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（）A.1233π+ B.1233+C.136+D.16+【答案】C【详解】试卷分析：由三视图可知,上面是半径为22的半球,体积为31142326V ππ=⨯⨯=,下面是底面积为1,高为1的四棱锥,体积2111133V =⨯⨯=,故选C.【考点】根据三视图求几何体的体积【名师点睛】本题主要考查三视图及几何体的体积计算，本题涉及正四棱锥及球的体积计算，综合性较强，较全面地考查了考生的识图用图能力、空间想象能力、运算求解能力等.14.α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题：①如果m n ⊥，m α⊥，//n β，那么αβ⊥；②如果m α⊥，//n α，那么m n ⊥；③如果//m n ，//αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等其中正确的命题的编号为（）A.②③B.①③C.①②D.①②③【答案】A【分析】对于①根据线面垂直与线面平行的关系即可判断.对于②根据线面垂直的判定定理及性质即可判断.对于③根据平行线的传递性及线面夹角的范围即可判断.【详解】对于①如果m n ⊥,m α⊥,//n β,则α与β可以平行,可以相交,也可以垂直,所以①错误.对于②根据线面垂直的性质及线面平行的性质,可知m n ⊥成立.对于③由平行线的传递性及线面夹角的范围可知,如果//m n ,//αβ,那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等,所以③正确.综上可知,正确的为②③故选:A【点睛】本题考查了空间中线面平行、线面垂直的性质及判定,直线与直线的位置关系的应用,对空间想象能力要求较高,属于中档题.15.把5本不同的书分给3名同学，每人至少一本，不同的分法有（）A.54 B.60 C.90 D.150【答案】D【分析】先将5本不同的书分成3组,有两种情况:1、1、3和1、2、2.再将三组全排列分给3名同学即可.【详解】将5本不同的书分成3组,有两种情况:1、1、3和1、2、2.当分组为1、1、3时,除去重复的,共有11354322541102C C C A ⨯⨯==组当分组为1、2、2时,除去重复的,共有1225422243512152C C C A ⨯⨯⨯==组将分好的三组全排列后,总的不同分法有()331015150A +=种故答案为:D【点睛】本题考查了排列组合的实际应用,分类与分步计数原理的应用,注意除去重复的排列,属于中档题.16.从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为A.110 B.35 C.310 D.25【答案】D【详解】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数n=5×5=25，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），共有m=10个基本事件，∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p=102.255=故答案为D ．三、解答题（本大题共5题，满分76分，14+14+14+16+18=76）17.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，110AA =，则异面直线1BC 与1AA 所成角的大小为4π．（1）求线段BC 的长；（2）求该三棱柱的侧面积与体积．【答案】（1）10BC =（2）300S =侧,1112503ABC A B C V -=【分析】（1）根据正三棱柱的线面关系,可知异面直线1BC 与1AA 所成角即为1BC 与1CC 所成角,由三角函数关系即可求得线段BC 的长;（2）根据BC 与1CC 的长即可求得侧面积,由棱柱的体积公式可得棱柱的体积.【详解】（1）因为111ABC A B C -为正三棱柱所以111,AA CC CC BC ⊥∥所以异面直线1BC 与1AA 所成角即为1BC 与1CC 所成角110AA =,异面直线1BC 与1CC 所成角的大小为4π所以11tan 10tan104BC CC BC C π=∠=⨯=即10BC =（2）由（1）可知10BC AB AC ===则侧面积1=331010300S BC CC ⨯⨯=⨯⨯=侧1sin 25323ABC S AB AC π∆=⨯⨯⨯=则1111253102503ABC ABC A B C S C V C ∆-===⨯【点睛】本题考查了异面直线的夹角问题,三棱柱的侧面积及体积求法,属于基础题.18.将边长为1的正方形11AA O O （及其内部）绕直线1OO 旋转一周形成圆柱，如图， AC 长为2π， 11A B 长为6π，其中1B 与C 在平面11AA O O 的同侧.（1）求三棱锥111C O A B -的体积；（2）求异面直线1B C 与1AA 所成的角的大小．【答案】（1）112（2）4π【分析】（1）根据 11A B 长为6π及正方形变成为1,可求得111A O B S ∆,而三棱锥111C O A B -的高即为1OO ,进而求得三棱锥111C O A B -的体积;（2）设点1B 在下底面圆周上的射影为B ,1BB C ∠为异面直线1B C 与1AA 所成的角.则连接1BB 、OB 、OC 、BC ,求得BC 长,在1CBB ∆中根据线段关系即可求得1BB C ∠的大小.【详解】（1）连接11O B 则1116A OB π∠=所以111111111sin 264A OB S O B O A π∆=⨯⨯⨯=则11111113412C A O B V OO -=⨯⨯=（2）设点1B 在下底面圆周上的射影为B ,连接1BB 、OB 、OC 、BC .可知11BB AA ∥,且111BB AA ==则1BB C ∠为异面直线1B C 与1AA 所成的角所以1116AOB A O B π∠=∠=因为 AC 长为2π,则2AOC π∠=所以263COB πππ∠=-=所以COB ∆为等边三角形,即1CB OB ==则11tan 1BB BB C BC ∠==,所以14BB C π∠=所以异面直线1B C 与1AA 所成的角为4π【点睛】本题考查了三棱锥体积的求法,空间几何体中异面直线的夹角求法,属于基础题.19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA C C 边长为8的正方形，6AB =，110BC A B ==（1）求证：1AA ⊥平面ABC ；（2）求二面角111A BC B --的余弦值；（3）证明：在线段1BC 上存在点D ，使得1AD A B ⊥，并求1BD BC 的值．【答案】（1）证明见解析;（2）1625（3）证明见解析;925【分析】（1）根据所给线段长度,由勾股定理逆定理可得1AA AB ⊥,结合正方形中的垂直关系,利用线面垂直的判定定理即可判断1AA ⊥平面ABC .（2）以A 为原点建立空间直角坐标系,写出各个点的坐标,求得平面11A BC 与平面11B BC 的法向量,根据向量的数量积运算即可求得向量夹角的余弦值.（3）假设在线段1BC 上存在点D ,设出点D 的坐标,根据垂直时的向量坐标运算求得点D 的坐标,即可证明存在点D ;根据相似,即可求得11BD DE BC CC =的值.【详解】（1）因为11AA C C 边长为8的正方形,18AA =,6AB =,110A B =则22211A B AA AB =+,即1AA AB⊥又正方形11AA C C 中1AA AC ⊥,且AB AC A⋂=所以1AA ⊥平面ABC（2）以A 为原点,以AC 所在直线为x 轴,以AB 所在直线为y 轴,以1AA 所在直线为z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系则()10,0,8A ,()18,0,8C ,()0,6,0B ,()10,6,8B 所以()18,6,8BC =- ,()10,6,8BA =- ,()10,0,8BB = 设平面11A BC 的法向量为()111,,m x y z = ,平面11B BC 的法向量为()222,,n x y z = ,则1100m BC m BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 代入可得111118680680x y z y z -+=⎧⎨-+=⎩,令14y =则解得110,3x z ==所以()0,4,3m = 同理1100n BC n BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 代入可得2222868080x y z z -+=⎧⎨=⎩,令24y =则解得223,0x z ==所以()3,4,0n =则16cos ,25m n m n m n ⋅<>==⋅ 由图可知,平面11A BC 与平面11B BC 形成的二面角为锐二面角所以二面角111A BC B --的余弦值为1625（3）证明:假设在线段1BC 上存在点D ，使得1AD A B ⊥,过D 作DE BC ⊥,作,EM AC EN AB ⊥⊥,如下图所示:设(),08DE t t =<<,则由1DE BE NE C C BC AC ==,即88t NE =,所以NE t =则8MC AC AM t =-=-,由MC ME AC AB =,即886t ME -=,所以()384ME t =-所以()3(,8,)4D t t t -所以()3(,8,)4AD t t t =- ,()10,6,8A B =- 因为1AD A B⊥所以10AD A B ⋅= 即()()3,8,0,6,804t t t ⎡⎤-⋅-=⎢⎥⎣⎦,化简可得()98802t t --=解得7225t =即在线段1BC 上存在点D ，使得1AD A B⊥则1172925825BD DE BC CC ===【点睛】本题考查了线面垂直的判定,空间向量在求二面角中的综合应用,判定存在性命题的方法,综合性较强,属于中档题.20.教材中指出：当x 很小，n 不太大时，可以用1nx +表示()1n x +的近似值，即()()*11n x nx n N +≈+∈（1），我们把近似值与实际值之差除以实际值的商的绝对值称为“相对近似误差”，一般用字母δ表示，即相对近似误差δ-=近似值实际值实际值（1）利用（1）求出()40.998的近似值，并指出其相对近似误差（相对近似误差保留两位有效数字）（2）若利用（1）式计算2A 的近似值产生的相对近似误差不超过1%，求正实数A 的取值范围；（3）若利用（1）式计算()1.01n 的近似值产生的相对近似误差不超过1%，求正整数n 的最大值．(参考对数数值:lg1.010.00432,lg99 1.99563,lg115 2.06069,lg116 2.06445≈≈≈≈)【答案】（1）0.992;52.410-⨯（2）1010119A ≤≤（3）15s 【分析】（1）根据题意可求得近似值,由相对近似误差即可求得δ的值,并保留两位有效数字.（2）根据题意,利用换元法可得关于A 的不等式组,解不等式即可求得正实数A 的取值范围;（3）根据定义可得关于n 的不等式,通过取对数化简,代入参考值即可求得正整数n 的最大值.【详解】（1）由题意可知,当x 很小,n 不太大时,可以用1nx +表示()1nx +的近似值,即()()*11n x nx n N +≈+∈所以近似值为()()()4410.40998.99210.0020.002=≈+=-⨯-相对近似误差δ-=近似值实际值实际值所以()()4540.9920.998 2.4100.998δ--=≈⨯（2）令1A x =+,则1x A =-由定义()()*11n x nx n N +≈+∈可知()2121A A ≈+-由相对近似误差δ-=近似值实际值实际值可知()22121A A A δ+--=所以()221211%A A A +--≤()0A >化简可得()221110A A ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭所以1110A A -≤,即1111010A A A -≤-≤所以111011100A A A A A ⎧-≤-⎪⎪⎪-≤⎨⎪>⎪⎪⎩,解不等式组可得1010119A ≤≤（3）由定义()()*11n x nx n N +≈+∈可知()()1.0110.01011.0n nn =≈++由相对近似误差δ-=近似值实际值实际值可知10.01 1.011.01n n n δ+-=所以()10.01 1.011%,*1.01nnn n N +-≤∈化简可得1001.0199n n+≤等式两边同取对数可得()lg1.01lg 100lg 99n n ≤+-当15n =时,不等式左边等于15lg1.01150.004320.0648≈⨯=,等式右边等于lg115lg99 2.06069 1.995630.06506-≈-=,不等式成立当16n =时,不等式左边等于16lg1.01160.004320.06912≈⨯=,等式右边等于lg116lg99 2.06445 1.995630.06882-≈-=,不等式不成立综上可知,正整数n 的最大值为15【点睛】本题考查了新定义的综合应用,根据所给条件求值,对分析问题、解决问题的能力要求较高，属于难题．21.用一个平面去截直立放置的圆柱，得圆柱的下半部分如图，其中A 为截面的最低点，B 为截面的最高点，M 为线段AB 中点，P 为截面边界上任意一点，作1AA 垂直圆柱底面于点1A ，1BB 垂直圆柱于底面于点1B ，1PP 垂直圆柱于底面于点1P ，圆柱底面圆心为O ．已知11A B 为底面直径，1P 在以11A B 为直径的圆周上，OM 垂直底面，12AA =，14BB =，112A B =，以O 为原点，1OA 为x 轴正方向，圆柱底面为xOy 平面，OM 为z 轴正方向建立空间直角坐标系，设点(),,P x y z ．（1）求点1P 的坐标，并求出x 与y 之间满足的关系式；（2）三视图是解决立体几何问题时的有效工具，将圆柱下半部分在xOz 平面上的投影作为主视图，在xOy平面上的投影作为俯视图；在方框中作出主视图，并说明理由；再求出左视图所围区域的面积；（3）判断截面的边界是什么曲线，并证明.再指出截面的面积（不需要证明）【答案】（1）()1,,0P x y ;221x y +=（2）主视图见解析;62S π=+（3）椭圆,证明见解析;S =【分析】（1）根据1PP 垂直圆柱于底面于点1P ,即可得1P 的坐标;由于1P 位于底面的圆周上,结合圆的方程即可得x 与y 之间满足的关系.（2）根据几何体,可得主视图;画出左视图,即可求得左视图围成图形的面积.（3）根据平面截圆柱形成截面性质可知所得截面为椭圆.根据椭圆的面积求法即可得截面面积.【详解】（1）以O 为原点,1OA 为x 轴正方向,圆柱底面为xOy 平面,OM 为z 轴正方向建立空间直角坐标系因为1PP 垂直圆柱于底面于点1P ,且(),,P x y z 所以()1,,0P x y 因为底面是以O 为圆心的圆,即1P 位于圆上,圆心为()0,0,半径为1所以x 与y 之间满足的关系为221x y +=（2）主视图分别为1111,,,A B A A AB B B 在xOz 平面上的投影,所以主视图如下所示:左视图如下图所示:该部分的面积为21123622S ππ=⨯+⨯=+（3）将圆柱补充完整,并作两个内切球,分别切截面于1F F 、.过点P 作11KK BB ∥与两个内切球分别交于1K K 、由切线长定理可知,11,PF PK PF PK ==所以111++=PF PF PK PK KK =由于1KK 为定值,所以由椭圆定义可知,动点P 的轨迹为椭圆,即截面的边界是椭圆2a AB ===1122b A B ==所以截面面积为S ab π==【点睛】本题考查了空间几何体的综合应用,轨迹方程与立体几何的综合,对空间想象能力要求较高,属于难题.。
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交大附中高二月考数学卷
2016.12
一. 填空题 1. 124312⎛⎫⎛⎫
=
⎪⎪-⎝⎭⎝⎭
2. △ABC 顶点(0,0)A 、(1,2)B 、(3,1)C -，则该三角形面积为
3. 已知方程
22
146x y k k
+=-+表示椭圆，则实数k 的取值范围是 4. 若关于,x y 的二元一次方程组1
2ax y a x ay a +=+⎧⎨+=⎩
无解，则a =
5. 已知点F 是抛物线2
4y x =的焦点，M 、N 是该抛物线上两点，||||6MF NF +=，
则MN 中点的横坐标为
6. 过原点的直线l 与双曲线22
22:1x y C a b
-=(0,0)a b >>的左右两支分别相交于A 、B 两
点，(F 是双曲线的左焦点，若||||4FA FB +=，0FA FB ⋅=，则双曲线的方程
是
7. 点(1,1)M 到抛物线2
y ax =的准线的距离是2，则a =
8. △ABC 外接圆半径为1，圆心为O ，3450OA OB OC ++=，则OC AB ⋅= 9. 已知圆2
2:(1)(1)4M x y -+-=，直线:60l x y +-=，A 为直线l 上一点，若圆M 上 存在两点B 、C ，使得60BAC ︒
∠=，则点A 横坐标取值范围是
10. 已知1F 、2F 分别是椭圆2
214
x y +=的两焦点，点P 是该椭圆上一动点，则12PF PF ⋅ 的取值范围是
11. 若直线240ax by -+=(0,0)a b >>被圆2
2
2410x y x y ++-+=截得的弦长为4， 则ab 的最大值是
12. 已知1F 、2F 分别为椭圆2
214
x y +=左右焦点，点P 在椭圆上，12||2PF PF +=， 则12F PF ∠=
13. 已知20a b ab +-=(0,0)a b >>，当ab 取得最小值时，曲线||||
1x x y y a b
-=上的
点到直线y =
的距离的取值范围是
14. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆2
2
:16O x y +=，点(2,2)P ，M 、N 是圆O 上相 异两点，且PM PN ⊥，若PQ PM PN =+，则||PQ 的取值范围是
二. 选择题
15. 若(2,3)a =，(4,7)b =-，则a 在b 方向上的投影为（ ）
A.
B.
C.
D. 16. 已知过定点(2,0)P 的直线l
与曲线y =相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，
当△AOB 的面积取到最大值时，直线l 的倾斜角为（ ） A. 150︒
B. 135︒
C. 120︒
D. 不存在
17. 已知双曲线22
22:1x y C a b
-=(0,0)a b >>的左右焦点分别为1F 、2F ，点O 为双曲线的
中心，点P 在双曲线右支上，△12PF F 内切圆的圆心为Q ，圆Q 与x 轴相切于点A ，过2F
作直线PQ 的垂线，垂足为B ，则下列结论中成立的是（ ） A. ||||OA OB > B. ||||OA OB < C. ||||OA OB = D. ||OA 、||OB 大小关系不确定
18. 若椭圆2212211:1x y C a b +=11(0)a b >>和椭圆22
22222
:1x y C a b +=22(0)a b >>的焦点相同，
且12a a >，给出如下四个结论：① 椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点；② 1122
a b
a b >；
③ 2222
1212a a b b -=-；④ 1212a a b b -<-；其中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①③
B. ①③④
C. ①②④
D. ②③④
三. 解答题
19. 已知,x y 满足约束条件10
230
x y x y --≤⎧⎨
--≥⎩，当目标函数z ax by =+(0,0)a b >>在该约束
条件下取到最小值22
a b +最小值；
20. 已知△ABC
的三边长||AB =||4BC =，||1AC =，动点M 满足CM =
CA CB λμ+，且14
λμ=
； （1）求cos ACB ∠；（2）求||CM 最小值；
21. 双曲线22
22:1x y E a b
-=(0,0)a b >>；
（1）点1(,0)A a -、2(,0)A a ，动点P 在E 上，作11A Q A P ⊥，22A Q A P ⊥，求点Q 的
轨迹方程；
（2）点00(,)M x y 、00(,)N x y --为E 上定点，点P 为E 上动点，作MP MQ ⊥，
NP NQ ⊥，求Q 的轨迹方程；
22. 两圆221111:0C x y D x E y F ++++=（圆心1C ，半径1r ），与22
22:C x y D x +++
220E y F +=（圆心2C ，半径2r ）不是同心圆，方程相减（消去二次项）得到的直线 121212:()()0l D D x E E y F F -+-+-=叫做圆1C 与圆2C 的根轴；
（1）求证：当1C 与2C 相交于,A B 两点时，AB 所在直线为根轴l ；
（2）对根轴上任意点P ，求证：2222
1122||||PC r PC r -=-；
（3）设根轴l 与12C C 交于点H ，12||C C d =，求证：H 分12C C 的比222
12222
12
d r r d r r λ+-=-+；
23. 已知椭圆22
22:1x y E a b +=(0)a b >>上动点P 、Q ，O 为原点；
（1）若2222
||||OP OQ a b +=+，求证：||OP OQ k k ⋅为定值；
（2）点(0,)B b ，若BP BQ ⊥，求证：直线PQ 过定点； （3）若OP OQ ⊥，求证：直线PQ 为定圆的切线；
参考答案
一. 填空题
1. 810⎛⎫ ⎪⎝⎭
2. 7
2 3. (6,1)(1,4)--- 4. 1- 5. 2
6. 2212x y -=
7. 1
12-或14
8. 15- 9. [1,5] 10. [2,1]-
11. 1 12. 2
π
13. 14.
二. 选择题
15. C 16. A 17. C 18. B
三. 解答题
19. 4； 20.（1）
1
2
；（2 21.（1）22224
a x
b y a -=；（2）2222222200a x b y a x b y -=-； 22. 略； 23. 略；。