第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数-高考状元之路

第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数
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（一）基本初等函数Ⅱ（三角函数）
1．任意角的概念、弧度制
(1)了解任意角的概念和弧制度的概念．
(2)能进行弧度与角度的互化．
2．三角函数
(1)理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义．
(2)能利用单位圆中的三角函数线推导出απαπ
±±,2的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出
===y x y x y ,co s ,sin x tan 的图像，了解三角函数的周期性．
(3)理解正弦函数、余弦函数在[O ，2羽上的性质（如单调性、最大值和最小值、图像与z 轴交点等），理解正切函数在)2
.2(ππ-内的单调性． (4)理解同角三角函数的基本关系式： .tan cos sin ,
1cos sin 22x x x x x ==+ (5)了解函数)sin(ϕω+=x A y 的物理意义；能画出函数y )sin(ϕω+=x A 的图像；了解参数ϕω,,A 对函数图像变化的影响．
(6)会用三角函数解决一些简单实际问题，了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．
（二）三角恒等变换
1．和与差的三角函数公式
(1)会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．
(2)会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．
(3)会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．
2．简单的三角恒等变换
能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）．
（三）解三角形
1．正弦定理和余弦定理
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度盘问题
2．应用
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题，
◎考情分析………-
1．三角函数的定义及应用、运用同角三角函数关系式对三角式进行化简与求值是高考热点，主要以选择题、填空题的形式考查．
2．三角函数的值域、最大（小）值、单调性、奇偶性、周期性以及三角函数图像的对称性是高考热点，主要以选择题、填空题的形式考查．
3．结合三角恒等变换，考查)4sin(+=x A y ω的性质及简单应用是解答题中三角函数考查的热点．而其图像时平移和伸缩变换常在客观题中考查．
4．利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角函数式的化简求值是高考常考的内容．公式逆用、变形用（尤其是余弦二倍角的变形用）是高考热点．在选择题、填空题、解答题中都可以考查．
5．利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积是高考考查的热点．常与三角恒等变换相结合，综合
考查边角互化，三角形形状的判断等．在平面解析几何、立体几何中常作为工具求角和两点间距离．
6．应用正弦定理、斜弦定理时解决实际问题的能力及测量问题的考查是高考的热点，在选择、填空、解 答题中即可能考查，属中档题，
预习设计 基础备考
知识梳理
1．角的概念的推广
(1)按旋转方向不同分为
(2)按终边位置不同分为 和终边落在坐标轴上的角．
2．终边相同的角
终边与角α相同的角可写成
3．弧度制
(1)1弧度的角：把长度等于 长的弧所对的圆心角叫做l 弧度的角．
(2)规定：正角的弧度数为 ，负角的弧度数为 ，零角的弧度数为 ︱α︱=
L 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．
(3)用“弧度”做单位米度量角的制度叫做弧度制，比值
r
l 与所取的r 的大小 ，仅与 有关．
(4)弧度与角度的换算：= 360 弧度；= 180 弧度．
(5)弧长公式：=l ，扇形面积公式：=
扇形S 4．任意角的三角函数
(1)任意角的三角函数定义：
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x ，y)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是=αsin =αcos . =αtan , 它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标
的比值为函数值的函数．
(2)三角函数在各象限内的符号口诀是：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”．
5．三角函数线
设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直x 轴于
点M ．由三角函数的定义知，点P 的坐标为),sin ,(cos αα即,(cos αP ),sin α其中=αcos
=αsin , 单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线
相交于点T ，则=αtan 我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的
典题热身
1．若),(45180z k k ∈+⋅= α则α在 ( )
A ．第一或第三象限
B ．第一或第二象限
C ．第二或第四象限
D ．第三或第四象限
2．已知角α的终边经过点（3，-1），则角α的最小正值是 ( )
32.πA 611.πB 65.πc 4
3.πD
3．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为 ( 1
2.A 2sin .B 1sin 2.
c 1sin 2.D
4．若,2tan =α则α
αααcos sin cos 3sin +-的值是 （ ） 31.-A 35.-B 31.c 3
5.D 5．点P 从点(O ，1)沿单位圆122=+y x 顺时针第一次运动到点)22,22(
-时，转过的角是 弧度．
课堂设计 方法备考
题型一 象限角、终边相同角的表示
【例1】(1)已知角α是第一象限角，确定2,
2αa 的终边所在的位置．
(2)写出终边在直线x y 3=上的角的集合
题型二 弧长与扇形面积
【例2】已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R ．
(1)若,10,60cm R o ==α求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；
(2)若扇形的周长是一定值c(c>0)，当a 为多少弧度时，该扇形有最大面积，
题型三 三角函数的定义
【例3】已知角α的终边在直线3x+4y=0上，求sin α，COS α，tan α的值．
题型四 三角函数线及其应用
【例4】在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合，
;2
3sin )1(≥α ⋅-≤2
1cos )2(α
技法巧点………．
1．常见的终边相同的角的表示
2．三角函数定义的拓展
已知角α终边上一点P(x ，y)，求α的三角函数值时，可先求出该点到原点的距离r ，再利用下式求解：
==ααcos ,sin r y ,n ta ,x
y r x =α 这也是可看作三角函数的定义 失误防范 1．注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于900的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、
第三类是区间角．
2．角度制与弧度制可利用rad π=
180进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
3．注意熟记00～3600间特殊角的弧度表示．
随堂反馈
1．已知α为第三象限的角，则2
α所在的象限是 ( ) A ．第一或第二象限 B ．第二或第三象限 C ．第一或第三象限 D ．第二或第四象限
2．(2011．泰安模拟)已知扇形的半径为12 cm ，弧长为18cm ，则扇形圆心角的弧度数是 ( )
3．（2011．山东实验中学诊断）已知点P( tana ，COSa)在第三象限，则角α的终边在 ( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
32.A 23.B π32.c π2
3.D
4．(2011．淄博模拟)与6100角终边相同的角可表示为( )
z k k A ∈+⋅,230360. z k k B ∈+⋅,250360.
z k k C ∈+⋅,70360. z k k D o ∈+⋅,270360.
5．满足23sin 2
1<≤-
θ的θ的取值范围是 高效作业 技能备考
知识方法加技能·高考路上任我行 对应学生书P64
一、选择题
1．若点P 在角π3
2的终边上，且,2||=OP 则点P 的坐标为（ ） )3,1.(A )1,3.(-B )3,1.(--c )3,1.(-D
2．若角α的终边与角β的终边关于原点对称，则 ( )
βα=.A βα+= 180.B z k k a C ∈+⋅=⋅,360β z k k D ∈++⋅=,180360.βα
3．(2011．秦皇岛模拟)已知α为第一象限角，则2
α所在的象限是 ( ) A ．第一或第二象限 B ．第二或第三象限 C ．第一或第三象限 D ．第二或第四象限
4．若α为第三象限角，则2
cos |2cos |2sin |2sin
|ααα+=a y 的值为( ) 0.A 2.B 2.-c 2.D 或2-
5．(2011．大连模拟)点P 从(1，O)出发，沿单位圆122=+y x 顺时针方向运动
3
2π弧长到达Q 点，则Q 的坐标为( ) )23,21.(-A )21,23.(--B )23,2
1.(--C )21,23(.-⋅D
6．(2011．海口模拟)已知点)tan ,(sin αααs p ∞-在第一象限，则在[O ，2兀]内α的取值范围是
( )
)2,4(ππ⋅A )45,(ππ⋅B )45,43(ππ⋅c )4
5,()2,4(ππππ ⋅D
二、填空题
7．（2011．南昌模拟）已知点P( tan α，COS α)在第三象限，则角α的终边在第 象限．
8．（2011．江西高考）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且,552sin -=θ则
=y
9．若角α的终边落在直线x y -=上，则
+-ααsin 1sin ααcos cos 1-的值等于
三、解答题
10．设α为第四象限角，其终边上的一个点是)5,(-x P 且,4
2cos x =
α求αsin 和.tan α
11．已知扇形OAB 的圆心角α为,120 半径长为6， (1)求
B A 的弧长；
(2)求弓形OAB 的面积．
12.已知A 、B 是单位圆O 的动点，且A 、B 分别在第一、二象限．C 是圆O 与轴正半轴的交点，△AOB 为正三角形．记⋅=∠αAOC
(1)若A 点的坐标为),54,53(求α
ααα2cos cos 2sin sin 22++的值； (2)求2||BC 的取值范围．。