第7章弯曲正应力(1,2)

本章研究主要研究等直梁在平面弯曲时，其横截面上的 正应力、剪应力以及有关的强度计算。
§7-1梁横截面上的正应力·梁的正应力强度条件
一、 纯弯曲时梁横截面上的正应力
纯弯曲（CD段）： F
F
FS = 0，M = const
A
C
a 横截面上只有正应力，没有剪应力。
横力弯曲或剪切弯曲 （AC段和DB段）：
注意：上述公式是由矩形截面梁在纯弯曲情况下推导出来的， 但它对具有所有横截面形状对称于y轴的梁都适用，例如截面 为圆形、工字形和梯形等。此外，上述公式是在直梁的条件下 推导的，一般不能用于曲梁；但当曲梁的曲率半径于截面高度 之比大于10时，也可以近似应用。该公式适用于弹性范围。
讨论
（1）应用正应力公式时，一般将 M和y 用绝对值代入. 根据截面
第七章 弯曲应力
第七章 弯曲应力
§7-1梁横截面上的正应力·梁的正应力强度条件 §7-2 梁横截面切应力·梁的切应力强度条件 §7-4 提高梁强度的主要措施 §7–5 弯曲中心的概念
比较—分类法
第7章知识点
梁的正应力 （公式、适用范
围、最大正应力）
梁的切应力 （各种截面的切应力
及其最大切应力）
提高梁强度的百度文库施 （三方面）
α d D
h
d
z y
b
z y
D d
z y
（2）对于中性轴不是对称轴的横截面（有两个抗弯截面模量）
应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离
ycmax和 ytmax 直接代入公式
σ My Iz
σc max
yc max
M
z
σ t max
Myt max Iz
M Wz1
σ c max
Myc max Iz
弯曲中心的概念
梁的正应力强度条件 及其解决的三问题
梁的切应力强度 条件及其计算
AσydA M
τdA A
Fs
dA M
dA FS
在横截面上，只有法向内力 元素σdA才能合成弯矩M， 只有切向内力元素τdA才能 合成剪力FS
M FS
M
dA y dA
FS
z dA
所以，在梁的横截面上一般既有正应力，又有切应力。
弯矩的正负号就可直接判断 的正负号. 例如截面弯矩M为正时，
中性轴以下为受拉区，则该区域各点的正应力为拉应力；而中性
轴以上为受压区，则该区域各点的正应力为压应力。
（2）梁某截面上的最大正应力发生在该横截面上离中性轴最 远的点处.
σmax M ymax
Iz
引用记号
Wz
Iz ymax
—抗弯截面系数（或称为抗弯截面模量）， 单位：m3、cm3，mm3。
then propose the hypothesis 形
几
何
关
Distribution regularity
系
of deformation
物
理
关
Distribution regularity
系
of stress
静
力
关
Establish the formula
系
观察变形， 提出假设 变形的分布规律
应力的分布规律
M Wz 2
yt max
y
σtmax
Wz1
Iz yt m
a
x
,Wz
2
Iz yc m ax
二、 横力弯曲时的正应力和梁的正应力强度条件
（一）横力弯曲时的正应力
My
IZ 上式是在平面假设和单向受力假设的基础上推导的， 实验证明在纯弯曲情况下这是正确的。
对于横力弯曲，由于剪力的存在，横截面产生剪切变形， 使横截面发生翘曲，不再保持为平面。理论证明在L/h大于5 时该式的精度能满足工程要求。
E y
设中性轴为z
M
y
z dA
FN
dA 0
A
E y dA 0
A
E
ydA 0
A
A ydA Sz 0
中性轴Z必过截面形心
横截面对Z轴的静矩
M y
zdA
A
0
A
zE
y
dA
E
A
zydA
0
E y
zydA I yz 0 截面的惯性积（ y为对称轴）
A
M z y dA M
则公式改写为
σ max
M Wz
请同学们思考等直梁最大正应 力公式如何写?
梁的抗弯截面系数（抗弯截面模量）：
（1）当中性轴Z为对称轴时
实心圆截面 Wz
Iz d /2
πd 4 / 64 d /2
πd 3 32
矩形截面
Wz
Iz h/2
bh3 /12 h/2
bh2 6
空心圆截面
Wz
πD3 32
(1 4 )
M xy
Iz
（二）梁弯曲正应力强度条件
等直梁的危险截面：最大弯矩Mmax所在的截面; 等直梁的危险点：危险截面上离中性轴最远的点。 其正应力强度条件可写成：
M
A
yE
y dA
M
A
y2dA I z
设中性轴为z
y
z dA
A
截面对z轴（中性轴）的惯性
矩
1 M 中性层的曲率公式
EI z
将
1 M
EIz
代入
σE y
得到纯弯曲时横截面上任一点正应力的计算公式:
My σ
Iz
式中：M为梁横截面上的弯矩；
y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离；
Iz为梁横截面对中性轴的惯性矩.
2.单向受力假设：
梁由无数根纵向纤维组成，假设各纵向纤维之间互不 挤压。于是各纵向纤维均处于单向受拉或受压的状态。
中性层
梁在弯曲变形时，凹面部分纵向纤维缩短，凸面
部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既不伸长也不 缩短,保持原来的长度，这一纵向纤维层称为中性层。
中性层
中性轴
中性层与横截面的交线称为中性轴
建立公式
一.几何变形
弯曲变形动画
（1）aa、bb弯成
弧线，aa缩短，bb
伸长,部分纵向线
段缩短，另一部分 M 纵向线段伸长。
mn aa
M
（2）mm、nn变形后
仍保持为直线，且仍
与变为弧线的aa，bb
bb mn
正交。
M
M
1.平面假设：
梁各个横截面变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形
后的轴线，横截面绕某一轴旋转了一个角度。
横截面上任一点的线应变
y
y
z
dx
y
d
dx ( y)d d y
dx
d
结论：一点的的线应变与它到中性层
y
的距离成正比。
二. 物理关系
E
Ey
dx
dx
结论：一点的正应力与它到中性层的距离成正比。
三.静力平衡
FN dA 0 A
M y
z dA 0
A
M z
y dA M
A
l
FS
F
FF
Da B
FS ≠0，M ≠0
横截面上既有正应力，又有剪应力。
F
M
Fa
梁弯曲动画
弯曲正应力公式推导思路
deformation geometric relationship
physical relationship
static relationship
Examine the deformation， 变