电磁场与电磁波试题及答案.

1. 写出非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式，并简要说明其物理意义。

2.答非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式为,,0,D B H J E B D t t
ρ∂∂∇⨯=+
∇⨯=-∇⋅=∇⋅=∂∂，(3分)（表明了电磁场和它们的源之间的全部关系除了真实电流外，变化的电场（位移电流）也是磁场的源；除电荷外，变化的磁场也是电场的源。

1. 写出时变电磁场在1为理想导体与2为理想介质分界面时的边界条件。

2. 时变场的一般边界条件 2n D σ=、20t E =、2t s H J =、20n B =。

(或矢量式2n D σ=、20n E ⨯=、2s n H J ⨯=、20n B =)
1. 写出矢量位、动态矢量位与动态标量位的表达式,并简要说明库仑规范与洛仑兹规范的意义。

2. 答矢量位,0B A A =∇⨯∇⋅=；动态矢量位A E t ϕ∂=-∇-
∂或A
E t
ϕ∂+
=-∇∂。

库仑规范与洛仑兹规范的作用都是限制A 的散度，从而使A 的取值具有唯一性；库仑规范用在静态场，洛仑兹规范用在时变场。

1. 简述穿过闭合曲面的通量及其物理定义 2.
s
A ds φ=
⋅⎰⎰ 是矢量A 穿过闭合曲面S 的通量或发散量。

若Ф> 0，流出S 面的通量大于流入的
通量，即通量由S 面内向外扩散，说明S 面内有正源若Ф< 0，则流入S 面的通量大于流出的通量，即通量向S 面内汇集，说明S 面内有负源。

若Ф=0，则流入S 面的通量等于流出的通量，说明S 面内无源。

1. 证明位置矢量x y z r e x e y e z =++ 的散度，并由此说明矢量场的散度与坐标的选择无关。

2. 证明在直角坐标系里计算 ，则有
()()x
y z x y z r r e e e e x e y e z x y z ⎛⎫
∂∂∂∇⋅=++⋅++ ⎪∂∂∂⎝⎭
3x y z x y z
∂∂∂=
++=∂∂∂ 若在球坐标系里计算，则 23
22
11()()()3r r r r r r r r r
∂∂∇⋅=
==∂∂由此说明了矢量场的散度与坐标的选择无关。

1. 在直角坐标系证明0A ∇⋅∇⨯=
2.
()[()()()]()()()0y x x x z z x
y z x y z y y x x z z A
A A A A A A e e e e e e x y z y z z x x y A A A A
A A x y z y z x z x y ∇⋅∇⨯∂∂∂∂∂∂∂∂∂
=++⋅-+-+-∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=-+-+-=∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 1. 简述亥姆霍兹定理并举例说明。

2. 亥姆霍兹定理研究一个矢量场，必须研究它的散度和旋度，才能确定该矢量场的性质。

例静电场
s
D ds q
⋅=∑⎰⎰ 0D ρ∇⋅=
有源
0l
E dl
⋅=⎰ 0E ∇⋅= 无旋
1. 已知 R r r '=-，证明R
R R R e R
'
'∇=-∇==。

2. 证明
x y z x y z
R R R x x y y z z R e e e e e e x y z R R R
'''
∂∂∂---∇=++=++∂∂∂ R '∇= …… R =-∇
1. 试写出一般电流连续性方程的积分与微分形式 ，恒定电流的呢？
2. 一般电流/0,/J dS dq dt J t ρ⋅=-∇⋅=-∂∂⎰
； 恒定电流0,0J dS J ⋅=∇⋅=⎰
1. 电偶极子在匀强电场中会受作怎样的运动？在非匀强电场中呢？
2. 电偶极子在匀强电场中受一个力矩作用，发生转动；非匀强电场中，不仅受一个 力矩作用，发生转动，还要受力的作用，使 电偶极子中心 发生平动，移向电场强的方向。

1. 试写出静电场基本方程的积分与微分形式 。

2. 答静电场基本方程的 积分形式
1
s
E ds q ε⋅=
∑⎰⎰ ，0
l
E dl
⋅=⎰
微分形式 ,0D E ρ∇⋅=
∇⨯=
1. 试写出静电场基本方程的微分形式，并说明其物理意义。

2. 静电场基本方程微分形式,0D E ρ∇⋅=
∇⨯= ，说明激发静电场的源是空间电荷的分布（或是激
发静电场的源是是电荷的分布）。

1. 试说明导体处于静电平衡时特性。

2. 答导体处于静电平衡时特性有 ①导体内 0E
=；
②导体是等位体（导体表面是等位面）；
③导体内无电荷，电荷分布在导体的表面(孤立导体，曲率)； ④导体表面附近电场强度垂直于表面，且
0/E n σε=。

1. 试写出两种介质分界面静电场的边界条件。

2. 答在界面上D 的法向量连续
12n n D D =或（1212n D n D ⋅=⋅）
；E 的切向分量连续12t t E E =或（1112n E n E ⨯=⨯）
1. 试写出1为理想导体，二为理想介质分界面静电场的边界条件。

2. 在界面上D 的法向量
2n D σ=或（12n D σ⋅=）
；E 的切向分量20t E =或（120n E ⨯=） 1. 试写出电位函数表示的两种介质分界面静电场的边界条件。

2. 答电位函数表示的两种介质分界面静电场的边界条件为12φφ=，12
1
2
n n
φφεε∂∂=∂∂ 1. 试推导静电场的泊松方程。

2. 解由 D ρ
∇⋅=
，其中 ,D E E
εφ
==-∇
，
D E ε∴∇⋅=∇⋅ ε为常数
2
ρ
φε
∴∇=-
泊松方程
1. 简述唯一性定理，并说明其物理意义
2. 对于某一空间区域V ，边界面为s ，φ满足
，
给定
（对导体给定q ）
则解是唯一的。

只要满足唯一性定理中的条件，解是唯一的，可以用能想到的最简便的方法求解（直接求解法、镜像法、分离变量法……），还可以由经验先写出试探解，只要满足给定的边界条件，也是唯一解。

不满足唯一性定理中的条件无解或有多解。

1. 试写出恒定电场的边界条件。

2. 答恒定电场的边界条件为
，
，
1. 分离变量法的基本步骤有哪些?
2. 答具体步骤是1、先假定待求的位函数由两个或三个各自仅含有一个坐标变量的乘积所组成。

2、把假定的函数代入拉氏方程，使原来的偏微分方程转换为两个或三个常微分方程。

解这些方程，并利用给定的边界条件决定其中待定常数和函数后，最终即可解得待求的位函数。

1. 叙述什么是镜像法？其关键和理论依据各是什么？
2. 答镜像法是用等效的镜像电荷代替原来场问题的边界，其关键是确定镜像电荷的大小和位置，理论依据是唯一性定理。

7、 试题关键字恒定磁场的基本方程
1. 试写出真空中恒定磁场的基本方程的积分与微分形式，并说明其物理意义。

2. 答真空中恒定磁场的基本方程的积分与微分形式分别为
0s l
B ds H dl I ⋅=⋅=⎰∑⎰’ 0B H J
∇⋅=∇⨯= 说明恒定磁场是一个无散有旋场，电流是激发恒定磁场的源。

1. 试写出恒定磁场的边界条件，并说明其物理意义。

2. 答:恒定磁场的边界条件为:12()s n H H J ⨯-=,12()0n B B ⨯-=，说明磁场在不同的边界条件下磁场
强度的切向分量是不连续的，但是磁感应强强度的法向分量是连续。

1. 一个很薄的无限大导电带电面，电荷面密度为σ。

证明垂直于平面的z 轴上0
z z =处的电场强度E 中，
有一半是有平面上半径为
03z 的圆内的电荷产生的。

2. 证明半径为r 、电荷线密度为
d l r
ρσ=的带电细圆环在z 轴上
z z =处的电场强度为
02232
00d d 2()
z
r z r
r z σε=+E e
故整个导电带电面在z 轴上
z z =处的电场强度为
0022322212
00000
d 1
2()2()2z z z
r z r z r z r z σσσ
εεε∞
∞
==-=++⎰
E e e e
而半径为
03z 的圆内的电荷产生在z 轴上0z z =处的电场强度为
2232
000
d1
2()42
z z z
r z r
r z
σσ
εε
'==-==
+
E e e e E
1. 由矢量位的表示式
()
()d
4R
τ
μ
τ
π
'
'
=⎰J r
A r
证明磁感应强度的积分公式
3
()
()d
4R
τ
μ
τ
π
'⨯
'
=⎰J r R
B r
并证明0
B
∇⋅=
2. 答
()
()()d
4R
τ
μ
τ
π
'
'
=∇⨯=∇⨯⎰J r
B r A r
00
()1
d()()d
44
R R
ττ
μμ
ττ
ππ
'
'''
=∇⨯=-⨯∇
⎰⎰
J r
J r
00
33
()
()()d d
44
R R
ττ
μμ
ττ
ππ
'⨯
'''
=-⨯-=
⎰⎰
R J r R
J r
[()]0
∇⋅=∇⋅∇⨯=
B A r
1. 由麦克斯韦方程组出发，导出点电荷的电场强度公式和泊松方程。

2. 解点电荷q产生的电场满足麦克斯韦方程
∇⨯=
E和ρ
∇⋅=
D
由ρ
∇⋅=
D得
d d
ττ
τρτ
∇⋅=
⎰⎰
D
据散度定理，上式即为
d
s
q
⋅=
⎰D S
利用球对称性，得
2
4
r
q
r
π
=
D e
故得点电荷的电场表示式
24r
q r πε=E e
由于0∇⨯=E ，可取ϕ=-∇E ，则得
2εεϕεϕρ∇⨯=∇⋅=-∇⋅∇=-∇=D E
即得泊松方程
2ρϕε∇=-
1. 写出在空气和μ=∞的理想磁介质之间分界面上的边界条件。

2. 解 空气和理想导体分界面的边界条件为
0s ⨯=⨯=n E n H J
根据电磁对偶原理，采用以下对偶形式
s ms →,→-,→E H H E J J
即可得到空气和理想磁介质分界面上的边界条件
0ms ⨯=⨯=-n H n E J
式中，J ms 为表面磁流密度。

1. 写出麦克斯韦方程组（在静止媒质中）的积分形式与微分形式。

2.
()l
s
D H dl J dS t ∂⋅=+
⋅∂⎰⎰⎰ D H J t
∂∇⨯=+∂ l
s B E dl dS t ∂⋅=-⋅∂⎰
⎰⎰
B E t
∂∇⨯=-∂ 0s
B dS ⋅=⎰⎰
0B ∇⋅=
s
D dS q ⋅=⎰⎰
D ρ∇⋅=
1. 试写媒质1为理想介质2为理想导体分界面时变场的边界条件。

2. 答边界条件为
120t t E E == 或
10n E ⨯=
1t s H J = 或 1s n H J ⨯=
120n n B B == 或 10n B ⋅= 1n s D ρ= 或 1s n D ρ⋅=
1. 试写出理想介质在无源区的麦克斯韦方程组的复数形式。

2. 答
H j E ωε∇⨯= E j H ωμ∇⨯=-
0B ∇⋅=
0D ∇⋅=
1. 试写出波的极化方式的分类，并说明它们各自有什么样的特点。

2. 答波的极化方式的分为圆极化，直线极化，椭圆极化三种。

圆极化的特点xm ym E E =，且,xm ym E E 的相位差为2
π±
， 直线极化的特点,xm ym E E 的相位差为相位相差0,π，
椭圆极化的特点xm ym E E ≠，且,xm ym E E 的相位差为2π
±
或
0,π， 1. 能流密度矢量（坡印廷矢量）S 是怎样定义的？坡印廷定理是怎样描述的？
2. 答能流密度矢量（坡印廷矢量）S 定义为单位时间内穿过与能量流动方向垂直的单位截面的能量。

坡印廷定理的表达式为()()e m s
d
E H dS W W P dt
τ-⨯⋅=
++⎰
或
22211
()()22s
d E H dS E H d E d dt ττ
εμτγτ-⨯⋅=
++⎰⎰⎰，反映了电磁场中能量的守恒和转换关系。

1. 试简要说明导电媒质中的电磁波具有什么样的性质？（设媒质无限大）
2. 答导电媒质中的电磁波性质有电场和磁场垂直；振幅沿传播方向衰减 ； 电场和磁场不同相；以平面波形式传播。

2. 时变场的一般边界条件 12n n D D σ-=、12t t E E =、12t t s H H J -=、12n n B B =。

(写成矢量式
12()n D D σ-=、12()0n E E ⨯-=、12()s n H H J ⨯-=、12()0n B B -=一样给5分)
1. 写出非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式，并简要说明其物理意义。

2. 答非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式为,,0,D B
H J E B D t t
ρ∂∂∇⨯=+
∇⨯=-∇⋅=∇⋅=∂∂（表明了电磁场和它们的源之间的全部关系除了真实电流外，变化的电场（位移电流）也是磁场的源；除电荷外，变化的磁场也是电场的源。

1. 写出时变电磁场在1为理想导体与2为理想介质分界面时的边界条件
2. 时变场的一般边界条件 2n D σ=、20t E =、2t s H J =、20n B =。

(写成矢量式2n D σ=、
20n E ⨯=、2s n H J ⨯=、20n B =一样给5分)
1. 写出矢量位、动态矢量位与动态标量位的表达式,并简要说明库仑规范与洛仑兹规范的意义。

2. .答矢量位,0B A A =∇⨯∇⋅=；动态矢量位A E t ϕ∂=-∇-
∂或A
E t
ϕ∂+
=-∇∂。

库仑规范与洛仑兹规范的作用都是限制A 的散度，从而使A 的取值具有唯一性；库仑规范用在静态场，洛仑兹规范用在时变场。

1. 描述天线特性的参数有哪些？
2. 答描述天线的特性能数有辐射场强、方向性及它的辐射功率和效率。

1. 天线辐射的远区场有什么特点？
2. 答天线的远区场的电场与磁场都是与1/r成正比，并且它们同相，它们在空间相互垂直，其比值即为媒质的本征阻抗，有能量向外辐射。

1. 真空中有一导体球A，内有两个介质为空气的球形空腔B和C。

其中心处分别放置点电荷和，试求空间的电场分布。

2. 对于A球内除B、C空腔以外的地区，由导体的性质可知其内场强为零。

对A球之外，由于在A球表面均匀分布的电荷，所以A球以外区域
（方向均沿球的径向）
对于A内的B、C空腔内，由于导体的屏蔽作用则
(为B内的点到B球心的距离)
(为C内的点到C球心的距离)
1. 如图所示，有一线密度的无限大电流薄片置于平面上，周围媒质为空气。

试求场中各点的磁感应强度。

2. 根据安培环路定律, 在面电流两侧作一对称的环路。

则
由
1. 已知同轴电缆的内外半径分别为和 ,其间媒质的磁导率为，且电缆长度
，忽略端部效应，求电缆单位长度的外自感。

2. 设电缆带有电流
则
1. 在附图所示媒质中，有一载流为的长直导线，导线到媒质分界面的
距离为。

试求载流导线单位长度受到的作用力。

2. 镜像电流
镜像电流在导线处产生的值为
单位长度导线受到的作用力
力的方向使导线远离媒质的交界面。

1. 图示空气中有两根半径均为a，其轴线间距离为d的平
行长直圆柱导体，设它们单位长度上所带的电荷量分别为和，
若忽略端部的边缘效应，试求
(1) 圆柱导体外任意点p的电场强度的电位的表达式；
(2) 圆柱导体面上的电荷面密度与值。

2.
以y轴为电位参考点，则
1. 图示球形电容器的内导体半径，外导体内径，其间充有
两种电介质与，它们的分界面的半径为。

已知与的相对介电常数分别为。

求此球形电容器的电容。

2.
解
1. 一平板电容器有两层介质，极板面积为,一层电介质厚度，
电导率，相对介电常数，另一层电介质厚度，
电导率。

相对介电常数，当电容器加有电压
时，求
(1) 电介质中的电流；
(2) 两电介质分界面上积累的电荷；
(3) 电容器消耗的功率。

2.
(1)
(2)
(3)
1. 有两平行放置的线圈，载有相同方向的电流，请定性画出场中的磁感应强度分布
(线)。

2. 线上、下对称。

1. 已知真空中二均匀平面波的电场强度分别为: 和求合成波电场强度的瞬时表示式及极化方式。

2.
得
合成波为右旋圆极化波。

1. 图示一平行板空气电容器，其两极板均为边长为a的正方形，板间距
离为d，两板分别带有电荷量与，现将厚度为d、相对介电常数为
，边长为a 的正方形电介质插入平行板电容器内至处，试问该电介质
要受多大的电场力？方向如何？
2. (1)解当电介质插入到平行板电容器内a/2处，则其电容可看成两个电容器的并联静电能量
当时，
其方向为a/2增加的方向，且垂直于介质端面。

1. 长直导线中载有电流，其近旁有一矩形线框，尺寸与相互位置如图所示。

设
时，线框与直导线共面时，线框以均匀角速度绕平行于直导线的对称
轴旋转，求线框中的感应电动势。

2. 长直载流导线产生的磁场强度
时刻穿过线框的磁通
感应电动势
参考方向时为顺时针方向。

1. 无源的真空中，已知时变电磁场磁场强度的瞬时矢量为
试求(1) 的值 ; (2) 电场强度瞬时矢量和复矢量(即相量)。

2. （1)
由
得
故得
(2)
1. 证明任一沿传播的线极化波可分解为两个振幅相等, 旋转方向相反的圆极化波的叠加。

2. 证明设线极化波
其中 :
和分别是振幅为的右旋和左旋圆极化波。

1. 图示由两个半径分别为和的同心导体球壳组成的球形电容器，在球壳间
以半径为分界面的内、外填有两种不同的介质，其介电常数分别为
和，试证明此球形电容器的电容
为
2. 证明设内导体壳外表面所带的电荷量为Q，则
两导体球壳间的电压为
(证毕)
1. 已知求
(1) 穿过面积在方向的总电流
(2) 在上述面积中心处电流密度的模；
(3) 在上述面上的平均值。

2.
(1)
(2) 面积中心 , ,
(3) 的平均值
1. 两个互相平行的矩形线圈处在同一平面内，尺寸如图所示，其中，。

略去端部效应，试求两线圈间的互感。

2. 设线框带有电流，线框的回路方向为顺时针。

线框产生的为
1. 用有限差分法计算场域中电位，试列出图示正方形网格中内点的拉普拉
斯方程的差分格式和内点的泊松方程的差分格式。

2.
1. 已知，今将边长为的方形线框放置在坐标
原点处，如图，当此线框的法线分别沿、和方向时，求框中的感
应电动势。

2. (1) 线框的法线沿时由
得
(2) 线框的法线沿时
线框的法线沿时
1. 无源真空中，已知时变电磁场的磁场强度为；
, 其中、为常数，求位移电流密度。

2. 因为
由
得
1. 利用直角坐标系证明()()fG f G f G ∇⨯=∇⨯+∇⨯
2. 证明左边=()()x x y y z z fA fA e fA e fA e ∇⋅=∇⋅++（()()()y y x x z z
fA e fA e fA e x y z
∂∂∂=++∂∂∂ ()()()()()()y y y x x x
x y
z z z z
A e f e A e f e f A f A x x y y
A e f e f A z z ∂∂∂∂=+++∂∂∂∂∂∂++∂∂
()()()()[][()()]
y y x x x z z
x
y y
y y A e A e f e A e f
f f A x y z x f e f e A A y y
f A A f
∂∂∂∂=+++∂∂∂∂∂∂+∂∂=∇⋅+⋅∇=右边
1. 求无限长直线电流的矢量位A 和磁感应强度B 。

2. 解直线电流元产生的矢量位为
02212'
{}4[(')]
z
I dz dA e r z z μπ=+- 积分得
2
022122
022
2212
02210'
{}
4[(')]ln[(')4()[()]22ln{}
4()[()]22ln 4l z
l l z l
z
z
I dz A e r z z I e z z l l
z z r I
e l l z z r I l e r
μπ
μπμπμπ
+
-
+-=+-=--+-+=-++++=⎰
当,l A →∞→∞．附加一个常数矢量00
ln 4z
I r C e l
μπ= 则00000ln ln ln 444z
z z I I r I r
l A e e e r l r
μμμπππ=+= 则由04z
I A B A e e r r
ϕ
ϕμπ∂=∇⨯=-=∂ 1. 图示极板面积为S 、间距为 d 的平行板空气电容器内，平行地放入一块面积为S 、厚度为a 、介电常数为ε的介质板。

设左右两极板上的电荷量分别为Q +与 Q -。

若忽略端部的边缘效应，试求 (1) 此电容器内电位移与电场强度的分布； (2) 电容器的电容及储存的静电能量。

2. 解1）12x Q D D e S
==
1
100
x D Q
E e S εε==，22x D Q E e S εε==
2) 011()S Q Q
C U E d a d a
ε=
==-- 222Q Q S C U E a a
ε=
== Q
+x
o
Q
+d
εε
εx
o
1
E 2
E 1
E
012
120()
S C C C C C a d a εεεε=
=++-
22
00
()1122a d a Q W Q C S εεεε+-==
1. 在自由空间传播的均匀平面波的电场强度复矢量为
)/(1010)2
20(4204m v e a e a E z j y z j x πππ-----⨯+⨯=
求（1）平面波的传播方向； （2）频率； （3）波的极化方式； （4）磁场强度；
（5）电磁波的平均坡印廷矢量av S。

2. 解（1）平面波的传播方向为＋ｚ方向
（2）频率为90
3102c
f k Hz π
==⨯ （3）波的极化方式因为410,02
2
xm ym x y E E π
π
ϕϕ-==-=-
=-
，故为左旋圆极化．
（4）磁场强度
442000
44200
1
(1010)1
(1010)j z z z x z y j z
y x H a E a a ja a e a ja e ππεμηη------=⨯=⨯+⨯=-
（5）平均功率坡印廷矢量
*442044200
4242
00810211
Re[]Re[(1010)22
1
(1010)1(10)(10)[]211[210]21200.26510(/)
j z av x y j z
y x z z z S E H a ja e a ja e a a a W m ππηηηπ
---------=⨯=+⨯-=+=⨯⨯=⨯
1. 利用直角坐标，证明f A A f A f ∇⋅+⋅∇=⋅∇
)(
2. 证明左边=()()x x y y z z fA fA e fA e fA e ∇⋅=∇⋅++
()()()y y x x z z
fA e fA e fA e x y z
∂∂∂=
++∂∂∂ ()()()()()()y y y x x x
x y
z z z z
A e f e A e f e f A f A x x y y
A e f e f A z z
∂∂∂∂=+++∂∂∂∂∂∂++∂∂
()()()()[][()()]
y y x x x z z
x
y y
y y A e A e f e A e f
f f A x y z x f e f e A A y y
f A A f
∂∂∂∂=+++∂∂∂∂∂∂+∂∂=∇⋅+⋅∇ =右边
1. 1 求矢量22x y z A e x e x e y z =++沿xy 平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分，此正方形的两边分别与x 轴和y 轴相重合。

再求A ∇⨯对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。

2. 解
2
2
2
2
2
d d d 2
d 0d 8
C x x x x y y =-+-=⎰⎰⎰⎰⎰A l
又
2
222x
y z
x z yz x x y z x
x y z ∂∂∂
∇⨯=
=+∂∂∂e e e A e e
所以
22
00
d (22)d d 8
x
z
z
S
yz x x y ∇⨯=+=⎰⎰⎰A S e e e
故有
d 8C
=⎰A l d S
=∇⨯⎰A S
1. 同轴线内外半径分别为a 和b ，填充的介质0≠γ，具有漏电现象，同轴线外加电压U ，求 （1）漏电介质内的ϕ；
（2）漏电介质内的E 、J
；
（3）单位长度上的漏电电导。

2. 解（1）电位所满足的拉普拉斯方程为
1()0d d r dr dr
ϕ
= 由边界条件,;,0r a U r b ϕϕ====所得解为
()[
]ln ln U b
r b r a
ϕ= （2）电场强度变量为()ln r
r d U E r e e b
dr r a ϕ=-=， 则漏电媒质的电流密度为()ln
r U
J E r e b r a γγ==
（3）单位长度的漏电流为022ln ln
r U U
I r e b b r a a
γπγπ=⋅=
单位长度的漏电导为002ln I G b
U a
πγ
=
=
1. 如图 所示，长直导线中载有电流 cos m i I t ω=，一 矩形导线框位于其近旁，其两边与直线平行并且共面，求导线框中的感应电动势。

2. 解载流导线产生的磁场强度的大小为
02i
B r
μπ=
穿过线框的磁通量
00.2cos ln
2c a
c
c a
c
m B ds
i
bdr r bI t c a c
φμπμωπ++=
=
+=⎰⎰ 线框中的感应电动势
0sin ln
2m d dt
bI t c a c
φ
εμωωπ=-
+=
参考方向为顺时针方向。

1. 空气中传播的均匀平面波电场为0jk r x E e E e -⋅=，已知电磁波沿ｚ轴传播，频率为f 。

求 (1)磁场H ； (2)波长λ；
(3)能流密度S 和平均能流密度av S ；
(4)能量密度W 。

2. 解
（1）01
jk r z x H e e E e η
-⋅=
⨯
0jk r y
e E e ε
μ-⋅= （2）v f λ=
=
（3）0
00jk r jk r x y S E H e E e e E e εμ-⋅-⋅=⨯=
⨯ 220022
00cos (2)jk r
z z
e E e e E ft kz εμεπμ-⋅==-
*20011Re()22av z S E H e E εμ=
⨯= （4）220011
22
W E H εμ=
+ 1. 平行板电容器的长、宽分别为a 和b ，极板间距离为d 。

电容器的一半厚度(0/2d )用介电常数为ε
的电介质填充，
（1）板上外加电压0U ，求板上的自由电荷面密度、束缚电荷； （2）若已知板上的自由电荷总量为Q ，求此时极板间电压和束缚电荷； （3）求电容器的电容量。

2. （1） 设介质中的电场为z E =E e ，空气中的电场为0=E 0z E e 。

由=D 0D ，有
00E E εε=
又由于
002
2U d
E d E
-=+ 由以上两式解得
00
02()U E d εεε=-
+
002()U E d
εεε=-
+
故下极板的自由电荷面密度为
00
02()U E d
εεσεεε==-
+下
上极板的自由电荷面密度为
00
0002()U E d
εεσεεε=-=
+上
电介质中的极化强度
000
002()()()z
U d
εεεεεεε-=-=-+P E e
故下表面上的束缚电荷面密度为
000
02()()p z U d
εεεσεε-=-=
+e P 下
上表面上的束缚电荷面密度为
000
02()()p z U d
εεεσεε-==-
+e P 上
（2）由
002()U Q ab d
εεσεε=
=+ 得到
00()2dQ
U ab
εεεε+=
故
0()p Q
ab
εεσε-=
下
（3）电容器的电容为
002()ab Q C U d
εεεε=
=+
1. 频率为100MHz 的正弦均匀平面波在各向同性的均匀理想介质中沿（z +）方向传播，介质的特
性参数为4r ε=、1r μ=，0γ=。

设电场沿x 方向，即x x E e E =；当0t =，1
8
z m =
时，电场等于其振幅值 410/V m - 。

试求 （1） (,)H z t 和(,)E z t ； （2） 波的传播速度； （3） 平均波印廷矢量。

2. 解以余弦形式写出电场强度表示式
(,)(,)cos()
x x x m xE E z t e E z t e E t kz ωψ==-+
把数据代入410/m E V m -=
42/3
k f rad m π
π===
41386
xE kz rad ππ
ψ==
⋅= 则
4848484(,)10cos(210)/3614(,)10cos(210)361410cos(210)/6036
x x
y y y y
y
E z t e t z V m E H z t e H e e t z e t z A m ππ
ππππη
με
ππ
ππ---=⨯-+===⨯-+=⨯-+
（2）波的传播速度
8
8
310
1.510/
2
v m s
⨯
====⨯
（3）平均坡印廷矢量为*
1
Re[]
2
av
S E H
=⨯
44
4
()()
43636
110
Re[10]
260
j z j z
av x y
S e e e e
ππππ
π
-
---
-
=⨯
42
8
2
1(10)
Re[]
260
10
/
120
z
z
e
e W m
π
π
-
-
=
=
1. 在由5
r=、0
z=和4
z=围成的圆柱形区域，对矢量22
r z
r z
=+
A e e验证散度定理。

2. 解在圆柱坐标系中
2
1
()(2)32
rr z r
r r z
∂∂
∇=+=+
∂∂
A
所以
425
000
d d d(32)d1200
z r r r
π
τ
τφπ
∇=+=
⎰⎰⎰⎰
A
又
2
d(2)(d d d)
r z r r z z
S S
r z S S S
φφ
=+++
⎰⎰
A S e e e e e
4252
2
0000
55d d24d d1200
z r r
ππ
φφπ
=⨯+⨯=
⎰⎰⎰⎰
故有
d1200
τ
τπ
∇=
⎰A d
S
=⎰A S
1. 求（1）矢量
222223
24
x y z
x x y x y z
=++
A e e e
的散度；（2）求∇A对中心在原点的一个单位立方体的积分；（3）求A对此立方体表面的积分，验证散度定理。

2.
解 （1）
2222232222
()()(24)2272x x y x y z x x y x y z x y z ∂∂∂∇=++=++∂∂∂A
（2）∇A 对中心在原点的一个单位立方体的积分为
121212
2222121212
1
d (2272)d d d 24
x x y x y z x y z τ
τ---∇=
++=
⎰⎰⎰⎰
A
（3）A 对此立方体表面的积分
12121212
22121212111
d ()d d ()d d 22S
y z y z
----=--⎰
⎰⎰⎰⎰A S
1212
1212
2
22212121111
2()d d 2()d d 22x x z x x z
----+--⎰⎰⎰⎰
1212
1212
2
32231212121211
24()d d 24()d d 22x y x y x y x y
----+--⎰⎰⎰⎰
1
24=
故有
1d 24
τ
τ∇=
⎰A d S
=⎰A S
1. 计算矢量r 对一个球心在原点、半径为a 的球表面的积分，并求∇r 对球体积的积分。

2. 解
223
d d d sin d 4r S
S
S aa a π
π
φθθπ=
=
=⎰⎰⎰⎰r S r e
又在球坐标系中
2
21()3r r r r ∂∇=
=∂r
所以
223000
d 3sin d d d 4a
r r a ππτ
τθθφπ∇==⎰⎰⎰⎰r
1. 求矢量22
x y z x x y z =++A e e e 沿xy 平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分，此正方形的两边分
别与x 轴和y 轴相重合。

再求∇⨯A 对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。

2.
解 2
2
2
2
2
d d d 2
d 0d 8
C x x x x y y =-+-=⎰⎰⎰⎰⎰A l
又
2
222x
y z
x z yz x x y z x
x y z ∂
∂∂
∇⨯=
=+∂∂∂e e e A e e
所以
22
00
d (22)d d 8
x
z
z
S
yz x x y ∇⨯=+=⎰⎰⎰A S e e e
故有
d 8C
=⎰A l d S
=∇⨯⎰A S
1. 证明（1）3∇=R ；（2）0∇⨯=R ；（3）()∇=A R A 。

其中x y z x y z =++R e e e ，A
为一常矢
量。

2. 解 （1）
3x y z
x y z ∂∂∂∇=
++=∂∂∂R
20x
y z
x y z x
y
y ∂∂
∂∇⨯=
=∂∂∂e e e R （）
（3）设
x x y y z z
A A A =++A e e e
则
x y z A x A y A z
=++A R
故
()()()x
x y z y x y z A x A y A z A x A y A z x y ∂∂
∇=+++++∂∂A R e e
()z
x y z A x A y A z z ∂
+++∂e
x x y y z z A A A =++=e e e A
1. 两点电荷18C q =位于z 轴上4z =处，24C
q =-位于y 轴上4y =处，求(4,0,0)处的电场强度。

2. 解 电荷1q 在(4,0,0)处产生的电场为
1
113014q πε
'-=
=
'-r r E r r
电荷2q 在(4,0,0)处产生的电场为
22230244
4q πε-'-=
='-e e r r E r r
故(4,0,0)处的电场为
122+-=+=
e e e E E E
1. 两平行无限长直线电流1I 和2I
，相距为d ，求每根导线单位长度受到的安培力m
F 。

2. 解 无限长直线电流1I
产生的磁场为
01
12I r φ
μπ=B e
直线电流2I
每单位长度受到的安培力为
1
012122112
d 2m z I I I z d
μπ=⨯=-⎰F e B e
式中
12
e 是由电流1I 指向电流2I
的单位矢量。

同理可得，直线电流1I
每单位长度受到的安培力为
012211212
2m m I I d μπ=-=F F e
1. 一个半径为a 的导体球带电荷量为Q ，当球体以均匀角速度ω绕一个直径旋转，求球心处的磁感应强度
B 。

2. 解 球面上的电荷面密度为
24Q
a σπ=
当球体以均匀角速度ω绕一个直径旋转时，球面上位置矢量r a =r e 点处的电流面密度为
S z r a σσσω==⨯=⨯J v ωr e e
sin sin 4Q
a a φφ
ωωσθθπ==e e
将球面划分为无数个宽度为d d l a θ=的细圆环，则球面上任一个宽度为d d l a θ=细圆环的电流为
d d sin d 4S Q
I J l ωθθπ==
细圆环的半径为sin b a θ=，圆环平面到球心的距离cos d a θ=，利用电流圆环的轴线上的磁场公式，
则该细圆环电流在球心处产生的磁场为
223002232
222232d sin d d 2()8(sin cos )z
z
b I
Qa b d a a μμωθθ
πθθ==++B e e
30sin d 8z
Q a μωθθπ=e
故整个球面电流在球心处产生的磁场为
300
sin d 86z z Q Q
a a π
μωθμωθππ==⎰
B e e
1. 半径为a 的球体中充满密度()r ρ的体电荷，已知电位移分布为
32
54
2
()()
r r Ar r a D a Aa r a r ⎧+≤⎪
=⎨+≥⎪
⎩
其中A 为常数，试求电荷密度()r ρ。

2. 解 由ρ∇=D ，有
2
2
1d ()()d r r r D r r
ρ=∇=
D 故在r a <区域
2322
02
1d ()[()](54)d r r r Ar r Ar r r
ρεε=+=+ 在r a >区域
542022
1d ()
()[]0d a Aa r r r r r
ρε+==
1. 一个半径为a 薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜，球内充满总电荷量为Q 为的体电荷，球壳上又
另充有电荷量Q 。

已知球内部的电场为4
()r r a =E e ，设球内介质为真空。

计算（1） 球内的电荷分布；
（2）球壳外表面的电荷面密度。

2. 解 （1） 由高斯定理的微分形式可求得球内的电荷体密度为
43
22000022441d 1d [()][()]6d d r r r E r r r r r a a
ρεεεε=∇===E
（2）球体内的总电量Q 为
3
220040
d 64d 4a
r Q r r a a τρτεππε===⎰⎰
球内电荷不仅在球壳内表面上感应电荷Q -，而且在球壳外表面上还要感应电荷Q ，所以球壳外表面上的总电荷为2Q ，故球壳外表面上的电荷面密度为
02
224Q
a σεπ=
= 1. 中心位于原点，边长为L 的电介质立方体的极化强度矢量为
0()x y z P x y z =++P e e e 。

（1）计算面束缚电荷密度和体束缚电荷密度；（2）证明总的束缚电荷为零。

2. 解 （1） 03P P ρ=-∇=-P
2
2
0()2
2P x L x x L L L x P σ======
n P
e P
2
2
0()2
2
P x L x x L L L x P σ=-=-=-==-=n P
e P
同理
0()()()()22222
P P P P L L L L L y y z z P σσσσ===-====-=
（2） 32
00d d 3602
P P P S
L
q S P L L P τ
ρτσ=+=-+⨯
=⎰⎰ 1. 一半径为0R 的介质球，介电常数为0r εε，其内均匀分布自由电荷ρ，证明中心点的电位为
200
21()23r r R ερ
εε+ 2. 解 由
d S
q =⎰D S
可得到
3
2
10443
r r D r R ππρ=<（）
3
2
20443
R r D r R ππρ=>（）
即
111000
,33r r D r r D E r R ρρεεεε=
==<（） 3300
122022
00,33R R D D E r R r r
ρρεε===>（） 故中心点的电位为
00
3
0122
0000(0)d d d d 33R R r R R
R r
E r E r r r r ρρϕεεε∞∞=+=+⎰⎰⎰⎰ 222
000000
21()6323r r r R R R ρρερεεεεε+=+= 1. 一个半径为R 的介质球，介电常数为ε，球内的极化强度r K r =P e ，其中K 为一常数。

（1） 计算束缚电荷体密度和面密度；（2） 计算自由电荷密度；（3）计算球内、外的电场和电位分布。

2. 解 （1）介质球内的束缚电荷体密度为
222
1d ()d p K K
r r r r r ρ=-∇=-
=-P 在r R =的球面上，束缚电荷面密度为
p r r R r R K
R
σ=====
n P e P （2）由于0ε=+D E P ，所以
0εεε
∇=∇+∇=
∇+∇D E P D P 即
(1)εε
-
∇=∇D P 由此可得到介质球内的自由电荷体密度为
2
0()p K
r εεερρεεεεεε=∇=
∇=-
=
---D P
总的自由电荷量
2
200014d 4d R K RK q r r r τ
επερτπεεεε===--⎰⎰ （3）介质球内、外的电场强度分别为
100()()r
K
r R r
εεεε=
=<--P E e
22
2
000()4()r
r
q RK r R r r επεεεε==>-E e e
介质球内、外的电位分别为
112d d d R
r
r
R
E r E r ϕ∞
∞
==+⎰⎰⎰E l
2
00
0d d ()()R r R K RK r r r r εεεεεε∞
=+--⎰⎰ 000ln ()()
K R K
r R r εεεεεε=
+
≤--
2220
000d d ()()()r
r RK RK
E r r r R r r εεϕεεεεεε∞
∞
===
≥--⎰⎰
1. 如图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零，上边盖板的电位为0U ，求槽内的电位函数。

2. 解 根据题意，电位(,)x y ϕ满足的边界条件为
① (0,)(,)0y a y ϕϕ== ② (,0)0x ϕ= ③ 0(,)x b U ϕ=
根据条件①和②，电位(,)x y ϕ的通解应取为
1
(,)sinh(
)sin()n n n y n x
x y A a a
ππϕ∞
==∑ 由条件③，有
01
sinh(
)sin()n n n b n x U A a a
ππ∞
==∑ 两边同乘以sin()n x a π，并从0到a 对x 积分，得到
002sin()d sinh()a
n U n x
A x a n b a a ππ=⎰ 0
02(1cos )
sinh()
4,1,3,5,sinh()02,4,6,U n n n b a U n n n b a n πππππ=
-⎧
=⎪
=⎨⎪=
⎩
，
故得到槽内的电位分布
1,3,5,
41(,)sinh()sin()sinh()n U n y n x
x y n n b a a a
ππϕπ
π==
∑
1. 两平行无限大导体平面，距离为b ，其间有一极薄的导体片由d y =到b y =)(∞<<-∞z 。

上板和薄片保持电位0U ，下板保持零电位，求板间电位的解。

设在薄片平面上，从0=y 到d y =，电位线性变化，0(0,)y U y d ϕ=。

2. 解 应用叠加原理，设板间的电位为
(,)x y ϕ=12(,)(,)x y x y ϕϕ+
其中，1(,)x y ϕ为不存在薄片的平行无限大导体平面间（电压为0U ）的电位，即10(,)x y U y ϕ=；
2(,)x y ϕ是两个电位为零的平行导体板间有导体薄片时的电位，其边界条件为
① 22(,0)(,)0x x b ϕϕ== ② 2(,)0()x y x ϕ=→∞
③ 0
02100(0)
(0,)(0,)(0,)()
U U y y y d d b
y y y U U y d y b b ϕϕϕ⎧-≤≤⎪⎪=-=⎨
⎪-≤≤⎪⎩
根据条件①和②，可设2(,)x y ϕ的通解为
21
(,)sin()e
n x b
n n n y x y A b π
πϕ∞
-==∑
由条件③有
00100(0)
sin()()
n n U U y y y d n y d b A U b U y
d y b b π∞
=⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩
∑
两边同乘以sin()n y b π，并从0到b 对y 积分，得到
0002211()sin()d (1)sin()d d b
n d U U n y y n y
A y y y b d b b b b b
ππ=-+-⎰⎰
02
2sin()()U b n d
n d b
ππ=
故得到
(,)x y ϕ=002
2121sin()sin()e n x b
n U bU n d n y y b d n b b π
πππ∞
-=+
∑ 1. 如题（a ）图所示，在0<z 的下半空间是介电常数为ε的介质，上半空间为空气，距离介质平面距为h 处有一点电荷q 。

求（1）0>z 和0<z 的两个半空间内的电位；（2）介质表面上的极化电荷密度，并证明表面上极化电荷总电量等于镜像电荷q '。

2. 解 （1）在点电荷q 的电场作用下，介质分界面上出现极化电荷，利用镜像电荷替代介质分界面上的极化电荷。

根据镜像法可知，镜像电荷分布为（如题图（b ）、（c ）所示）
q q εεεε-'=-
+，位于 h z -= 0
q q εεεε-''=
+， 位于 h z =
题 4.24图（b ）
图 2.13 z
q
ε
h ε h
q '
1R
P
R '
o
题 4.24图（a ） z
q
ε
h
o
0ε z
0ε
h
0ε q q ''+
2R
P
o
题 4.24图（c ）
上半空间内的电位由点电荷q 和镜像电荷q '共同产生，即
10100444q q R R q ϕπεπεπε'
=
+
'
⎧⎫=
下半空间内的电位由点电荷q 和镜像电荷q ''共同产生，即
224q q R ϕπε''+=
= （2）由于分界面上无自由电荷分布，故极化电荷面密度为
()
120
0120
()
p z z z z E E σε===•-=-n P P
021
00
2232
0()(
)2()()z hq
z z
r h εεϕϕεπεε=-∂∂=-=-
∂∂++
极化电荷总电量为
02232000()d 2d d ()P P P S hq r
q S r r r r h εεσσπεε∞∞
-===-++⎰⎰⎰ 00
()q
q εεεε-'=-
=+
1. 一个半径为R 的导体球带有电荷量为Q ，在球体外距离球心为D 处有一个点电荷q 。

（1）求点电荷q 与导体球之间的静电力；（2）证明当q 与Q 同号，且
D
R
R D RD q Q --<2223)( 成立时，F
2. 解 （1据镜像法，像电荷q '和q ''的大小和位置分别为（如题图所示）
q D R q -='， D R d 2
='
q D
R
q q =
'-=''，0=''d 导体球自身所带的电荷Q 则与位于球心的点电荷Q 等效。

故点电荷q 受到的静电力为
22
00()4()4q q q q Q q
F F F F qq q D q D d D πεπε'''→→→=++'''+=
+
'-
()22
20()4q Q R D q Rq D D D R D πε⎧⎫+⎪⎪=-⎨⎬⎡⎤⎪⎪-⎣⎦⎩
⎭ （2）当q 与Q 同号，且F 表现为吸引力，即0<F 时，则应有
()
[]
0)(2
22<--
+D R D D Rq D q D R Q
由此可得出
D
R
R D RD q Q --<2223)( 1. 如题5.8所示图，无限长直线电流I 垂直于磁导率分别为1μ和2μ的两种磁介质的分界面，试求（1）两种磁介质中的磁感应强度1B 和2B ；（2）磁化电流分布。

2. 解 （1）由安培环路定理，可得
2I r φ
π=H e
所以得到
0102I
r φ
μμπ==B H e 22I r φ
μμπ==B H e
10μμ= 2μμ=
I
x
z
（2）磁介质在的磁化强度
2
00
()
1
2
I
r
φ
μμ
μπμ
-
=-=
M B H e
则磁化电流体密度
()
1d1d1
()()0
d2d
m z z
I
rM r
r r r r r
φ
μμ
πμ
-
=∇⨯==⋅=
J M e e
在0
=
r处，2B具有奇异性，所以在磁介质中0
=
r处存在磁化线电流m I。

以z轴为中心、r为半径作一个圆形回路C，由安培环路定理，有
00
1
d
m
C
I
I I
μ
μμ
+=⋅=
⎰B l
故得到
=
m
I
(1)I
μ
μ
-
在磁介质的表面上，磁化电流面密度为
mS z z
J M e
()
2
r
I
r
e
μμ
πμ
-
1. 如题图所示，一环形螺线管的平均半径
15
=
r cm，其圆形截面的半径2
=
a cm，鉄芯的相对磁导率
1400
r
μ=，环上绕1000
=
N匝线圈，通过电流A
I7.0
=。

（1）计算螺旋管的电感；
（2）在鉄芯上开一个
cm
1.0
=
l的空气隙，再计算电感。

（假设开口后鉄芯的
r
μ不变）（3）求空气隙和鉄芯内的磁场能量的比值。

2. 解（1）由于0
r
a<<，可认为圆形截面上的磁场是均匀的，且等于截面的中心处的磁场。

由安培环路定律，可得螺线管内的磁场为
2
NI
H
r
π
=
与螺线管铰链的磁链为
22
2
a N I
NS H
r
μ
ψμ
==
1
μ
2
μ
h
∆
l∆
)
(
1
1
P
H)
(
1
2
P
H
)
(
2
2
P
H
)
(
2
1
P
H
题5.9图
r
l
a
o。