《物理光学》光波的叠加综述

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§2-5光波的分析
通常用一种空间频谱图解方法来表示傅里 叶分析的结果：以横坐标表示空间角频率， 纵坐标表示振幅，在对应于振幅不为零的 频率位置引垂线，使其长度等于相应频率 的振幅值。 任何一个周期性复杂波 振幅 4/π 的频谱图都是一些 离散的线谱。所以 周期性复杂波的 4/3π 4/5π 4/7π 频谱是离散频谱。 k
λ
Bn =
2
λ
∫ sin nkzdz + λ ∫ (−1) sin nkzdz λ
0 2
2
2
λ
1 1 2 = [−cos nkz]0 + [cos nkz]λ λ nπ nπ 2 = 2 [ − cos nπ ] 1 nπ
λ
§2-5光波的分析
得到B =4/π， =0， =4/3π， =0， 得到B1=4/π，B2=0，B3=4/3π，B4=0， B5=4/5π，… =4/5π， 该矩形波的傅里叶级数，或者说这个矩形 波分解成的傅里叶简谐分波为：
§2-5光波的分析
二、非周期性波的分析 非周期性波不是无限次的重复它的波形, 非周期性波不是无限次的重复它的波形,而 是只存在于一定的有限范围之内，在这个范 围外振动为零，因而显现出波包的形状。 此时，由于其周期为无穷大，λ→∞， 此时，由于其周期为无穷大，λ→∞， 则傅里叶级数→ 则傅里叶级数→傅里叶积分：
E + E + 2E10E20 cos(ϕ20 −ϕ10 ) = E0
2 10 2 20 2
tgϕ0 =
E10 sin ϕ10 + E20 sin ϕ20 E10 cosϕ10 + E20 cosϕ20
叠加获得的新光波的振幅、振动方向与两原光波 的振幅、振动方向密切相关。 新光波的强度的变化与两原光波到达考查点时的 位相差( 位相差(或光程差）对应，当两原光波的振幅相 等时，合成波的强度为
I = 4I0 cos (
2
α2 −α1
2
) = 4I0 cos
2
δ
显然： 当δ=±2mπ或 △= ±2mλ0 2mπ 2mλ (m=0、 (m=0、1、2… ) 时，P点光强最大 ； 时，P 当δ=±2(m+1/2)π或△= ±（m+1/2）λ0 2(m+1/2)π m+1/2） (m=0、 (m=0、1、2… )时，P点光强最小 ； 介于上两者之间时, P点光强在0 2π 介于上两者之间时, P点光强在0 ~ 2π之间。
k 3k 5k 7k
§2-5光波的分析
傅里叶级数也可以表示为复数形式: 傅里叶级数也可以表示为复数形式: f (z) = ∑C exp(inkz) (4)
∞ n=−∞ n
其中系数
λ
Cn =
1
λ−
∫ f (z) exp(−inkz)dz λ
2
2
(n = 0,±1,±2⋯ )
(5)
显然式(4)级数中的每一项也都可以看成为 显然式(4)级数中的每一项也都可以看成为 一个单色波,所以式(4)式的意义仍然可以 一个单色波,所以式(4)式的意义仍然可以 理解为周期性复杂波的分解. 理解为周期性复杂波的分解.
§2-5光波的分析
一、 周期性波的分析 二、非周期性波的分析
§2-5光波的分析
一、 周期性波的分析： 周期性波：接连着的相等的时间和空 间内运动完成重复一次的波。周期性波不一定 具有简谐性。对于这类周期性波可以应用数学 上的傅里叶级数定理： 具有空间周期λ的函数f(z)，可以表 具有空间周期λ的函数f(z)，可以表 示成一些空间周期为λ的整数倍（即λ λ/2， 示成一些空间周期为λ的整数倍（即λ，λ/2， λ/3… λ/3…）的简谐函数之和。其数学形式为
0 1 1 2 2
∞ A 0 f (z) = + ∑ ( An cos nkz + Bn sin nkz) 2 n= 1
§2-5光波的分析
(2)
式（1），（2）通常称为傅里叶级数，而A 式（1），（2）通常称为傅里叶级数，而A0， An，Bn称为函数f(z)的傅里叶系数，它们分别 称为函数f(z)的傅里叶系数，它们分别 为：
光波的叠加综述
波在其中服从叠加原理的媒质称为“ 波在其中服从叠加原理的媒质称为“线性媒 质”。此时，对于非相干光波： 此时，对于非相干光波：
I (P) = ∑Ii (P)
i= i=1 N
即N列非相干光波的强度满足线性迭加关系。 非相干光波的强度满足线性迭加关系。 对于相干光波 ：
N ~ ~ E(P) = ∑Ei (P) i=1
20 10
i(ϕ10 +ϕ20 ) ) exp[ ]exp[−iωt)] 2
§2-3 两个频率、传播方向相同、 两个频率 传播方向相同 频率、 相同、 振动方向互相垂直的 振动方向互相垂直的光波的叠加 叠加的结果为椭圆偏振光，和矢量终点的轨迹 满足如下方程：
E Ex Ey E + 2 −2 cosδ = sin 2 δ a1a2 a a2
f (z) =
其中第一项成为基波，它的空间角频率为 k=2π/λ，空间频率为1/λ，是基频。第 k=2π/λ，空间频率为1/λ，是基频。第 二项、第三项是三次谐波和五次谐波[ 二项、第三项是三次谐波和五次谐波[空间 频率m/λ(m≥2)是谐频] 频率m/λ(m≥2)是谐频]。
1 1 (sin kz + sin 3kz + sin 5kz +⋯ ) π 3 5
§2-5光波的分析
λ 2 A = 0 ∫ f (z)dz λ0 λ 2 A = n ∫ f (z) cos nkzdz λ0 λ 2 B = f (z) si nkzdz n n λ∫ 0
(3 )
上式表明： 若f(z)代表一个以空间角频率k沿z方向传播的 f(z)代表一个以空间角频率k 周期性复杂波，则经过傅里叶分析，可以分解 成许多振幅不同且空间角频率分别为k 2k， 成许多振幅不同且空间角频率分别为k，2k， 3k，…的单色波的叠加。 3k， 即若给定一个复杂波的函数形式，对他进行傅 里叶分析，只需由式（3 里叶分析，只需由式（3）决定它的各个分波 的振幅便可。
§2-5光波的分析
例：如图示，空间周期为λ 例：如图示，空间周期为λ的矩形波，在 一个周期内它可用如下函数表示：
+1 f (z) = −1 0 （ ≻z≺ ） 2 (
λ
f(z)
λ
+1 0 -λ/2 -1 z λ/2 λ
2
≺ z ≺ λ)
f(z)为奇数：则A =0， f(z)为奇数：则A0=0，An=0
v=
ω
k
vg =
ωm
km
∆ω = ∆k
dv vg = v − λ dλ
由前述讨论可知： 1．无论多少个相同频率而有任意振幅和位相的 单色光波的叠加时，所得到的合成波仍然是单 色光波。 2．两个不同频率的单色光波叠加起来，其结果 就不再是单色波，而是一个复杂波，波形曲线 不再是正弦或余弦曲线。 3．上述结果可以推广到三个或三个以上波动的 叠加与合成问题。 4．反过来，任意一个复杂波也可以分解成一组 单色波。 下面将讨论复杂波的分析方法，并分别对周期 性和非周期性复杂波两种情况加以讨论。
光波的叠加综述
光波的叠加综述
一、本章所讨论内容的理论基础： （一）、波的独立传播定律： 两列光波在空间交迭时， 它的传播互不干扰 , 两列光波在空间交迭时 ， 它的传播互不干扰, 亦即每列波如何传播， 亦即每列波如何传播，就像另一列波完全不存在 一样各自独立进行.此即波的独立传播定律。 一样各自独立进行.此即波的独立传播定律。 （二）、波的叠加原理： 当两列(或多列)波在同一空间传播时， 当两列(或多列)波在同一空间传播时，空间各点 都参与每列波在该点引起的振动。 都参与每列波在该点引起的振动。若波的独立传 播定律成立，则当两列(或多列)波同时存在时， 播定律成立，则当两列(或多列)波同时存在时， 在它们的交迭区域内每点的振动是各列波单独在 该点产生振动的合成.此即波的迭加原理。 该点产生振动的合成.此即波的迭加原理。
f (z) = a0 + a1 cos( 2π
λ
z + β1 ) + a2 cos(
2π
λ
z + β2 ) + . . . .
2
或写为 f (z) = a + a cos(kz + β ) + a cos(2kz + β ) + ⋅ ⋅ (1) 式中a 式中a0，a1，a2是待定常数， k=2π/λ为空间 k=2π/λ为空间 角频率。 傅里叶级数定理还可以写成更为简洁的形式。 a 由三角等式： n cos(nkz + βn ) = An cos nkz + Bn sin nkz 式中 An = an cos βn Bn = −an sin βn
= E0 exp[i(kz −ωt)]
式中： A
2
a1 sin α1 + a2 sin α2 = a + a + 2a1a2 cos(α2 −α1) tgα = a1 cosα1 + a2 cosα2
2 1 2 2
E0 = [E10 exp(iϕ10 )Hale Waihona Puke Baidu+ E20 exp(iϕ20 )] = E0 exp iϕ0
即N列相干光波的振幅满足线性迭加关系。 列相干光波的振幅满足线性迭加关系。
§2-1 两个频率、振动方向、传播方向相同 两个频率、振动方向、 频率 的单色光波的迭加 两个频率、振动方向、传播方向相同的单色 光波的迭加的结果为一个新的单色光波，表 示为： E = Acosα cosωt + Asin α sin ωt = Acos(α −ωt) 或： E(z, t) = [E10 exp(iϕ10 ) + E20 exp(iϕ20 )]exp[i(kz −ωt)]
1 f (z) = ∑Cn exp(inkz) ⇒ ∫ A(k) exp(ikz)dz 2π −∞
∞
∞
(6)
(7) 其中： −∫ f (z) exp(−ikz)dz = A(k) ∞ 称A(k)为函数f(z)的傅里叶变换(频谱)。 A(k)为函数f(z)的傅里叶变换(频谱)
§2-5光波的分析
显然，若f(z)表示一个波包, 显然，若f(z)表示一个波包,则傅里叶积分 可理解为一个波包可以分解成无穷多个频 率连续的、振幅随频率变化、有A(k)函数 率连续的、振幅随频率变化、有A(k)函数 关系的简谐分波，即，一个波包能够由多 个这些单色波合成。 如用示，为一个长度为2L，在2L范围内波 如用示，为一个长度为2L，在2L范围内波 的振幅A 常数，空间角频率k 的振幅A0=常数，空间角频率k0=常数，这种 波通常称为波列。 振幅
§2-4两个不同频率的单色光波的叠加 两个不同频率 不同频率的单色光波的叠加
合成波写成： E = 2a cos(kz − ωt) cos(km z − ωmt)
A 令： = 2a cos(km z − ωmt) 则 E = Acos(kz − ωt) 即合成波可看成一个频率为ω ，而振幅受到调 制（随时间和位置在–2a到2a之间变化）的波。 制（随时间和位置在–2a到2a之间变化）的波。 它包含两种速度：等相面的传播速度（相速度） 和等幅面的传播速度（群速度）。
2 x 2 1 2 y
E与x轴的夹角满足： E2 E20 cos(kz −ωt +ϕ20 ) tgα = = E1 E10 cos(kz −ωt +ϕ10 ) 此式表明：E的方向一般是不固定的，将随着z 此式表明：E的方向一般是不固定的，将随着z 和t变化。即合成波一般不是线偏振波。
§2-3 两个频率、传播方向相同、 两个频率 传播方向相同 频率、 相同、 振动方向互相垂直的 振动方向互相垂直的光波的叠加 椭圆形状由两叠加光波的位相差 δ=α2-α1或光程差∆和振幅比a2/a1 决定。 或光程差∆和振幅比a 旋向由δ 旋向由δ=α2-α1或光程差∆决定， 或光程差∆ sinδ sinδ>0 左旋情况 sinδ sinδ<0 右旋情况 强度： I = I x + I y 表示椭圆偏振光的强度恒等于合成它的两个 振动方向互相垂直的单色光波的强度之和， 它与两个叠加波的位相无关。
2
§2-2两个频率相同、振动方向相同而 两个频率相同、 频率相同 传播方向相反的 传播方向相反的单色波的叠加 叠加的结果为驻波：波函数为
E(z, t) = 2E10 cos(kz −
ϕ20 −ϕ10
2
此式表明：合成波上任意一点都作圆频率为 ω的 简谐振动。但： A：合成波振幅不是常数，与各点坐标有关， ϕ −ϕ 当 kz − 2 = mπ m=0、±1、 ± 2…的位置上 m=0、 振幅最大，为2E ，为波腹，间距为λ 振幅最大，为2E10，为波腹，间距为λ/2 ϕ −ϕ10 1 kz − 20 = (m + )π 当 m=0、±1、 ± 2… m=0、 2 2 的位置上振幅为零，为波节，间距为λ 的位置上振幅为零，为波节，间距为λ/2