分类讨论思想在分段函数中的应用

分类讨论思想在分段函数中的应用

[典例] 已知实数a ≠0，函 数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，

则a 的值为______．

[解析] ①当1－a ＜1，即a ＞0时，a ＋1＞1，由f (1－a )＝f (1＋a )，得2(1－a )＋a

＝－(1＋a )－2a ，计算得a ＝－32

(舍去)；②当1－a ＞1，即a ＜0时，a ＋1＜1，由f (1－a )＝f (1＋a )，得2(1＋a )＋a ＝－(1－a )－2a ，计算得a ＝－34，符合题意．综上所述，a ＝－34

. [答案] －34

[题后悟道]

解答本题利用了分类讨论思想，由于f (x )为分段函数，要表示f (1－a )和f (1＋a )的值，首先应对自变

量1－a 和1＋a 的范围进行讨论，这样才能选取不同的关系式，列出方程，求出a 的值．得出结果后，应注意检验．所谓分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要把研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略．

针对训练

设函数f (x )＝⎩⎨⎧ x ，x ≥0，－x ，x <0，

若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝( ) A ．－3

B ．±3

C ．－1

D ．±1

解析：选D ∵f (a )＋f (－1)＝2，且f (－1)＝1＝1，

∴f (a )＝1，当a ≥0时，f (a )＝ a ＝1，a ＝1；当a <0时，

f (a )＝－a ＝1，a ＝－1.∴a ＝±1.