高等量子力学 密度算符和密度矩阵

下面看混合态. 取一个比(14.2)式更一般的混合态如下： 式更一般的混合态如下： 下面看混合态 取一个比 式更一般的混合态如下
ψ 1 : p1 , ψ 2 : p2 , LLL
∑p
i
=1
(14.8)
物理量A在这个混合态中的平均值： 物理量 在这个混合态中的平均值： 在这个混合态中的平均值
2 2
= p 2 , 它们仍是两种完全不同
的状态. 的状态
ψ = ψ 1 c1 + ψ 2 c2
在这两种态中的取值概率. 讨论一个物理量 A 在这两种态中的取值概率 设 A 的本 在纯态中 征矢量为 ai , 相应的本征值是 ai , 在纯态中, 物理量 A 取 ai 值的概率是
ψ 1 : p1 ψ 2 : p2
ai ψ 1
2
p1 + ai ψ 2
2
p2
(14.4)
以上的说法若在X表象中说 以上的说法若在 表象中说, 纯态的函数为 表象中说
ψ ( x ) = ψ 1 ( x )c1 + ψ 2 (x )c2
而混合态的态函数可以写成
ψ 1 (x ) : p1 ψ 2 (x ) : p 2
粒子处于 x0 点的概率在纯态中为
ρ (t ) = ∑ ψ i (t ) piS ψ i (t )
S S
(14.13)
S
ih
∂ρ (t ) = ih ∑ ∂t i
S
S
∂ ψ i (t ) ∂t
S
i
S
pi ψ i (t ) + ψ i (t ) pi
S
S S
∂ S ψ i (t ) ∂t
= ∑ H ψ i (t ) pi ψ i (t ) − ψ i (t ) pi ψ i (t ) H = H , ρ S (t )
2
对纯态 对混合态
(14.21)
证明： 证明：取一组基 { n } , 利用完全性关系 ∑ n n = 1 , 有
trρ 2 = ∑∑ n ψ i pi ψ i ψ j p j ψ j n
n ij
n
= ∑∑ ψ j n n ψ i pi ψ i ψ j p j
例如一个系统处于 ψ 1 态的概率为 p1 , 处于 ψ 2 态的概 率为 p 2 ( p1 + p 2 = 1) , 系统的这个态目前还无法作简单的描 我们只能用下面的写法表示这个态： 写, 我们只能用下面的写法表示这个态：
ψ 1 : p1 ψ 2 : p2
(14.2)
纯态和混合态是完全不同的两种状态, 即使在(14.1)式 纯态和混合态是完全不同的两种状态 即使在 式 和 (14.2)式中有 c1 = p1 , c 2 式中有
ψ (x 0 ) = ψ 1 (x 0 )c1 + ψ 2 ( x0 )c 2
2
2
相干叠加 不相干叠加
ห้องสมุดไป่ตู้
而在混合态中为
ψ 1 ( x 0 ) p1 + ψ 2 ( x 0 ) p 2
2 2
由此看出, 发生干涉现象, 由此看出 在纯态中两个态ψ 1 (x ) 和ψ 2 (x ) 发生干涉现象 而 混合态则不发生干涉, 各自表现出自己的位置概率. 混合态则不发生干涉 各自表现出自己的位置概率
1、 trρ = 1 (14.20)
n
证明： 证明：取一组基 { n } , 利用完全性关系 ∑ n n = 1 , 有
trρ = ∑∑ n ψ i pi ψ i n = ∑∑ ψ i n n ψ i pi
n i n i
= ∑ ψ i ψ i pi = ∑ pi = 1
i i
2、
= 1, trρ < 1.
这个状态也是纯态. 这个状态也是纯态.
(14.1)
有时由于统计物理的原因或量子力学本身的原因系统的状 有时 由于统计物理的原因或量子力学本身的原因系统的状 由于统计物理的原因或量子力学本身的原因 在一个确定的态中, 态无法用一个态矢量来描写. 系统并不处在一个确定的态中 而 无法用一个态矢量来描写 系统并不处在一个确定的态中 等各态中, 是有可能处于 ψ 1 , ψ 2 , L ,等各态中 分别有概率 p1, p 2 , L . 这 等各态中 种状态无法用一个态矢量表示, 称为混合态 种状态无法用一个态矢量表示 称为混合态. 混合态
2 2
§14-2 密度算符和密度矩阵
我们希望找到一个单一的数学量去描写混合态, 我们希望找到一个单一的数学量去描写混合态 这个量就是 本节要介绍的密度算符. 先从纯态开始. 本节要介绍的密度算符 先从纯态开始 一、密度算符的定义 物理量A的平均值： 物理量 的平均值： 的平均值
A = ψ Aψ
(14.5)
ψ 1 : p1 , ψ 2 : p2 , LLL
∑p
i
=1
二、刘维方程
在海森伯绘景中, 态矢量 ψ 在海森伯绘景中 一个不随时间而变的算符： 一个不随时间而变的算符：
H
不含时, 因此密度算符是 不含时
ρ
H
= ∑ ψi
i
H
piH ψ i
(14.12)
而在薛定谔绘景中, 密度算符则是一个含时算符： 而在薛定谔绘景中 密度算符则是一个含时算符：
ρ mn = m ρ n = ∑ m i pi i n = ∑ δ mi pi δ in = p mδ mn
i i
常常用到 位置表象中的密度矩阵. 这时, 常常用 到 位置表象中的密度矩阵 这时 密度矩阵是以 x' 和 x 连续编号的连续矩阵： 连续编号的连续矩阵：
ρ x ' x = x' ρ x = ∑ x' ψ i pi ψ i x
A = ∑ pi ψ i Aψ i
i
n i
A = ∑∑ p i ψ i n n Aψ i = ∑∑ n Aψ i p i ψ i n
n i
= ∑ n A[∑ ψ i pi ψ i ] n = trAρ
n i
(14.9)
混合态的密度算符或统计算符： 混合态的密度算符或统计算符：
ρ = ∑ ψ i pi ψ i
至此, 这个量去描写混合态. 至此 我们找到了密度算符 ρ 这个量去描写混合态 ρ 是希尔伯特空间中的一个算符, 这比用(14.8)式表示混合态要 是希尔伯特空间中的一个算符 这比用 式表示混合态要 方便多了. 同时可以看到, 纯态是混合态的一个特殊情况. 方便多了 同时可以看到 纯态是混合态的一个特殊情况
2
2
ψ = ψ 1 c1 + ψ 2 c2
如果在纯态(14.1)式中 ψ 1 和 ψ 2 都是某一算符 A 的本 式中, 如果在纯态 式中 征矢量, 则在纯态中, 征矢量 本征值分别为 a1 和 a 2 , 则在纯态中 物理量 A 取值 为 a1 和 a 2 的概率确是 c1 和 c 2 , 但是物理量取 a1 或 a 2 的概 率并不等于系统处于 ψ 1 态和 ψ 2 态的概率 关于这一点 态的概率. 关于这一点, 讨论一个(与 不对易的)算符 的取值概率就清楚了, 讨论一个 与 A 不对易的 算符 B 的取值概 率就清楚了 对于 纯态来讲, 系统就是处于 ψ 态 , 对于一个纯态 ψ , 不存在 纯态来讲 “系统处于某态的概率 这一概念 系统处于某态的概率”这一概念 系统处于某态的概率 这一概念.
(14.7)
中的平均值. 这个概率是密度算符在本征态 ai 中的平均值
两式可知, 由 (14.5)和 (14.7)两式可知 对于一个纯态ψ , 凡是能用 和 两式可知 态矢量 ψ 给出的信息, 都可以同样用密度算符 ρ 给出, 因 给出的信息 给出 此 , 密度算符 ρ 是可以完全代替态矢量来描写纯态的另一 种数学量. 种数学量
§14 密度矩阵
§14-1 纯态和混合态 §14-2 密度算符和密度矩 阵 §14-3 例
§14-1
纯态和混合态
能用希尔伯特空间中的一个矢量描写的状态都是纯态 能用希尔伯特空间中的一个矢量描写的状态都是 纯态. 纯态 两个纯态 ψ 1 和 ψ 2 , 通过叠加可以得到另一个状态 ψ :
ψ = ψ 1 c1 + ψ 2 c2
i
= ∑ψ i ( x') piψ i∗ ( x )
i
(14.17)
对于这样的矩阵, 其迹是 对于这样的矩阵
trρ = ∫ ρ xx dx
(14.18)
三、密度算符的一些性质 我们研究一个一般的混合态： 我们研究一个一般的混合态：
ρ = ∑ ψ i pi ψ i
i
∑p
i
i
=1
(14.19)
只要在(14.19)式中取 pi = δ iα 即可 即可. 对于纯态 ρ = ψ α ψ α , 只要在 式中取
i
∑ pi = 1 i
(14.10)
同样, 的概率, 同样 在混合态中物理量 A 取值 a j 的概率 即
Wj = ∑ aj ψ i
i
2
pi = a j ρ a j
(14.11)
(14.9)和(14.11)二式与纯态情况 和 二式与纯态情况(14.5)和(14.7)二式完全一样； 二式完全一样； 二式与纯态情况 和 二式完全一样 而混合态的密度算符是参与混合态的那些纯态的密度算符的 加权平均. 加权平均
= tr H , ρ S (t ) A S = tr Hρ S (t )A S − ρ S (t )HA S
= tr ρ S (t )A S H − ρ S (t )HA S = tr ρ S (t ) A S , H
{[
] } {
}
{
} {
[
]}
= AS , H
[
]
(14.15)
密度算符在一个具体表象中的矩阵称为密度矩阵 密度算符在一个具体表象中的矩阵称为密度矩阵. 在薛定 密度矩阵 谔绘景中的密度矩阵是含时的, 而在海森伯绘景中, 谔绘景中的密度矩阵是含时的 而在海森伯绘景中 密度矩阵 则是不含时的. 密度矩阵中的“密度”一词是历史上形成的, 则是不含时的 密度矩阵中的“密度”一词是历史上形成的 并不贴切, 不必深究. 并不贴切 不必深究
n
A = ∑ ψ n n Aψ = ∑ n Aψ ψ n = trAρ
n
密度算符： 密度算符：
ρ=ψ ψ
(14.6)
注意构造密度算符时必须使用归一化的态矢量. 注意构造密度算符时必须使用归一化的态矢量
再来看物理量 A 在ψ 态中取值 a i 的概率 Wi ：
Wi = ai ψ
2
= ai ψ ψ ai = ai ρ ai
在混合态中, 在混合态中 系统有一定概率处于 ψ 1 态, 当它处于此态时 它具有 ψ 1 态所有的全部性质, 对于 ψ 2 态也是一样. 而在纯 态所有的全部性质 态也是一样 态中, 两态叠加, 已经形成一个新的态, 态中 ψ 1 与 ψ 2 两态叠加 已经形成一个新的态 这个新态原 则上已不再原封不动地具有原来两个态的性质了. 则上已不再原封不动地具有原来两个态的性质了 原封不动
ψ = ψ 1 c1 + ψ 2 c2
ai ψ
2
= ai ψ 1 c1 + ai ψ 2 c 2
2
(14.3)
而 在 混 合 态 中 , 若 系 统 处 于 ψ 1 态 , 则 A 取 ai 的 概 率 幅 是
ai ψ 1 , 若系统处于 ψ 2 态, 则为 ai ψ 2 , 系统既然以概率 p1
那么, 处于 ψ 1 态, 以概率 p 2 处于 ψ 2 态, 那么 A 取值 ai 的概率应为
设 K 表象的基矢为 { n m L}, 则 K 表象中的密度矩阵为
ρ mn = m ρ n = ∑ m ψ i pi ψ i n
i
(14.16)
的本征态, 如果参与构成混合态的都是物理量 K 的本征态 则这个混合 表象中的密度矩阵是对角矩阵, 态在 K 表象中的密度矩阵是对角矩阵 其对角元是相应本征 态的权重 pi .
i
[
]
(14.14)
这是密度算符的运动方程,称为刘维方程. 与海森伯绘景不同. 这是密度算符的运动方程 称为刘维方程 与海森伯绘景不同 称为刘维方程
可以利用运动方程计算一个不显含时间的物理量 A S 在 随时间的变化： 混合态中的平均值 A S 随时间的变化：
∂ρ S (t ) S ∂ S ∂ ih A = ih trρ S (t )A S = ihtr A ∂t ∂t ∂t
有时会看到一 种解释 , 说在 (14.1)式中 所表现的纯态中 , 式中 “ c1 是系统处于 ψ 1 态的概率 c 2 是处于 ψ 2 态的概率 这 态的概率, 态的概率”.
2
2
种说法是不对的, 种说法是不对的 如果把 c1 和 c 2 换成 p1 和 p 2 , 这倒是对于 混合态的正确解释. 我们知道, 纯态是一个全新的态, 混合态的正确解释 我们知道 纯态是一个全新的态 处于纯态 的系统, 的系统 不再有可能处于 ψ 1 或 ψ 2 态.