环境系统分析课件(PPT 38张)
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南昌航空工业学院环境系统分析课件 2006.4.18.
2、一元线性回归分析法
亦称最小二乘法
该法有两个假定： ①所有自变量的值均不存在误差，因变量的 值则含有测量误差； ②与各测量点拟合最好的直线为能使各点到 直线的竖向偏差（因变量偏差）的平方和 最小的直线。
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否则令
南昌航空工业学院环境系统分析课件
返回第三步 。
2006.4.18.
若以相对误差表示则可取
|(Z1-Z0)/Z1| ≤ε
否则计算的允许选代误差（也称截断 误差）要视目标函数的绝对值大小而定。 用最优化方法估值时，要由经验给定参数 的初值。
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2006.4.18.
例：已知河流沿程的溶解氧（DO）的测定 数据如下：
试确定其中的耗氧速度常数Kd和得氧速度
常数Ka。
解：首先，建立目标函数
20 k d Z ( k d , k a ) 10 ( e k d ( 8 / 4 ) e k a ( 8 / 4 ) ) 8 .5 ka kd 20 k d k d ( 28 / 4 ) k a ( 28 / 4 ) 10 (e e ) 7 .0 ka kd 20 k d 10 ( e k d ( 36 / 4 ) e k a ( 36 / 4 ) ) 6 . 1 ka kd 20 k d k d ( 56 / 4 ) k a ( 56 / 4 ) 10 (e e ) 7 .2 ka kd
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在函数的形式比较复杂，不易求得梯度 的解析式时，可以计算其数值梯度.
第四步：计算参数修正步长λ
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二阶梯度矩阵 H（ θ °）亦称海森矩阵 。
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5、网格法 假定有n个等定参数，且已知各参数 的取值范围，把各搜索区间（取值范围） 分成若干个等分，则参数空间 θ=(θ1, θ2,…, θn)T就被划分成若干网格， 计算所有网格顶点上的目标函数值，并 取其中最小的值所对应的参数值作为最 优估计值。 若精度还不够，则可再分细些。
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6、经验公式计算法
如：河流的复氧速度常数，大气扩散方程中 的方差等。除经验公式计算法外，其余方 法均应有自度量和因变量的实测输入输出 数据，注意使用条件，范围。 二、模型的验证与误差分析
在模型建立且参数估wk.baidu.com之后，还应对 模型进行验证和误差分析方可投入应用。
环境系统分析
第8讲
主讲: 李明俊 教授 2006.5.8
南昌航空工业学院环境系统分析课件
2006.4.18.
第四章
数学模型的参数估计及灵敏度分析
前章所述的一些解析模型常用于环境质量的 模拟预测和控制规划 一维解析模型广泛地用于各种河流的水质模 拟和预测中
三维解析模型在大气质量的预测中普通采用
在流动均匀稳定的条件下，二维解析模型可 用来模拟河流的水质 在模型具体应用时，必须首先对模型中的参 数进行估值和进行灵敏度的分析。
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验证所用的数据应与参数估值时所用数 据独立，以模型的计算结果和实测数据之间 的吻合程度来判断。 常用方法： 1、图形表示法 观测值为横坐标，计算值为纵坐标，据 各自变量可得上面相应的两值。 由于环境系统问题的复杂性，对于大系 统，有的文献认为，对于观测值和计算值在 2倍误差范围内都认为满意。
X(km) DO(mg/l)
0 10.0
8 8.5
28 7.0
36 6.1
56 7.2
若起点的BOD（L0）为20mg/l，饱和溶解氧 （Cs）为10.0mg/l，河流平均流速为 Ux=4.0km/h,由S-P模型可知河流溶解氧的 变化规律符合下述方程:
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2 2
2
2
2006.4.18.
用一阶梯度法，据前述的七步，编制计 算机程序，给定初值， K0d=1.0d-1=0.042h-1，
K0a=2.0d-1=0.083h-1 当目标Z=0.4681时，得
到参数的最优估计值:
Kd=0.053 h-1=1.27 d-1
Ka=0.19 h-1=4.67 d-1。（ℇ取的是0.0001）。
min）。
对一个连续可微的目标函数可采用最速下 降法（一阶梯度法）。
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梯度法的步骤如下：
第一步:设θ1,θ2, …,θm的初值为 θ 1°,θ 2 °, …θm °, 允许迭代误差为ℇ.
第二步：计算目标函数的初值
第三步：计算目标函数对参数的梯度。
偏差的平方和最小意味着各个点的偏 差均很小。 最佳的b和m的估计值：（y=mx+b） 由
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3、多元线性回归分析 （原理相同）
以二元为例
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4、最优化估值方法
函数一般式 ：
建立目标函数：
使其最小（ Z
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一、 模型参数的估值方法
有经验公式，图解法，最小二乘法和最优化 方法等估值方法
除经验公式外，其余方法均是利用系统输入 输出数据和数学模型本身确定合理的参数数 值。
1、 图解法
对经适当处理后以转换为直线的公式，均 可用图解法估计参数，其误差取决于点位的 精度和绘制直线的精度。
对于复杂的数学表达式，海森矩阵的 解析值很难计算，可以数值梯度来近似 的解析值。 对于海森矩阵的对角元素：
对于非对角元素：
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第五步：计算参数θi的修正值 θi1 第六步，计算新的目标函数值Z1
第七步 ，比较Z1和Z0
若 ，则停止运算，并输出参数 的估计值θi1 （i=1,2……n）
2、一元线性回归分析法
亦称最小二乘法
该法有两个假定： ①所有自变量的值均不存在误差，因变量的 值则含有测量误差； ②与各测量点拟合最好的直线为能使各点到 直线的竖向偏差（因变量偏差）的平方和 最小的直线。
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否则令
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返回第三步 。
2006.4.18.
若以相对误差表示则可取
|(Z1-Z0)/Z1| ≤ε
否则计算的允许选代误差（也称截断 误差）要视目标函数的绝对值大小而定。 用最优化方法估值时，要由经验给定参数 的初值。
南昌航空工业学院环境系统分析课件
2006.4.18.
例：已知河流沿程的溶解氧（DO）的测定 数据如下：
试确定其中的耗氧速度常数Kd和得氧速度
常数Ka。
解：首先，建立目标函数
20 k d Z ( k d , k a ) 10 ( e k d ( 8 / 4 ) e k a ( 8 / 4 ) ) 8 .5 ka kd 20 k d k d ( 28 / 4 ) k a ( 28 / 4 ) 10 (e e ) 7 .0 ka kd 20 k d 10 ( e k d ( 36 / 4 ) e k a ( 36 / 4 ) ) 6 . 1 ka kd 20 k d k d ( 56 / 4 ) k a ( 56 / 4 ) 10 (e e ) 7 .2 ka kd
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在函数的形式比较复杂，不易求得梯度 的解析式时，可以计算其数值梯度.
第四步：计算参数修正步长λ
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二阶梯度矩阵 H（ θ °）亦称海森矩阵 。
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5、网格法 假定有n个等定参数，且已知各参数 的取值范围，把各搜索区间（取值范围） 分成若干个等分，则参数空间 θ=(θ1, θ2,…, θn)T就被划分成若干网格， 计算所有网格顶点上的目标函数值，并 取其中最小的值所对应的参数值作为最 优估计值。 若精度还不够，则可再分细些。
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6、经验公式计算法
如：河流的复氧速度常数，大气扩散方程中 的方差等。除经验公式计算法外，其余方 法均应有自度量和因变量的实测输入输出 数据，注意使用条件，范围。 二、模型的验证与误差分析
在模型建立且参数估wk.baidu.com之后，还应对 模型进行验证和误差分析方可投入应用。
环境系统分析
第8讲
主讲: 李明俊 教授 2006.5.8
南昌航空工业学院环境系统分析课件
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第四章
数学模型的参数估计及灵敏度分析
前章所述的一些解析模型常用于环境质量的 模拟预测和控制规划 一维解析模型广泛地用于各种河流的水质模 拟和预测中
三维解析模型在大气质量的预测中普通采用
在流动均匀稳定的条件下，二维解析模型可 用来模拟河流的水质 在模型具体应用时，必须首先对模型中的参 数进行估值和进行灵敏度的分析。
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验证所用的数据应与参数估值时所用数 据独立，以模型的计算结果和实测数据之间 的吻合程度来判断。 常用方法： 1、图形表示法 观测值为横坐标，计算值为纵坐标，据 各自变量可得上面相应的两值。 由于环境系统问题的复杂性，对于大系 统，有的文献认为，对于观测值和计算值在 2倍误差范围内都认为满意。
X(km) DO(mg/l)
0 10.0
8 8.5
28 7.0
36 6.1
56 7.2
若起点的BOD（L0）为20mg/l，饱和溶解氧 （Cs）为10.0mg/l，河流平均流速为 Ux=4.0km/h,由S-P模型可知河流溶解氧的 变化规律符合下述方程:
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2 2
2
2
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用一阶梯度法，据前述的七步，编制计 算机程序，给定初值， K0d=1.0d-1=0.042h-1，
K0a=2.0d-1=0.083h-1 当目标Z=0.4681时，得
到参数的最优估计值:
Kd=0.053 h-1=1.27 d-1
Ka=0.19 h-1=4.67 d-1。（ℇ取的是0.0001）。
min）。
对一个连续可微的目标函数可采用最速下 降法（一阶梯度法）。
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梯度法的步骤如下：
第一步:设θ1,θ2, …,θm的初值为 θ 1°,θ 2 °, …θm °, 允许迭代误差为ℇ.
第二步：计算目标函数的初值
第三步：计算目标函数对参数的梯度。
偏差的平方和最小意味着各个点的偏 差均很小。 最佳的b和m的估计值：（y=mx+b） 由
南昌航空工业学院环境系统分析课件
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3、多元线性回归分析 （原理相同）
以二元为例
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4、最优化估值方法
函数一般式 ：
建立目标函数：
使其最小（ Z
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一、 模型参数的估值方法
有经验公式，图解法，最小二乘法和最优化 方法等估值方法
除经验公式外，其余方法均是利用系统输入 输出数据和数学模型本身确定合理的参数数 值。
1、 图解法
对经适当处理后以转换为直线的公式，均 可用图解法估计参数，其误差取决于点位的 精度和绘制直线的精度。
对于复杂的数学表达式，海森矩阵的 解析值很难计算，可以数值梯度来近似 的解析值。 对于海森矩阵的对角元素：
对于非对角元素：
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第五步：计算参数θi的修正值 θi1 第六步，计算新的目标函数值Z1
第七步 ，比较Z1和Z0
若 ，则停止运算，并输出参数 的估计值θi1 （i=1,2……n）