CH3 第2节 边缘分布

y
y= x
fX ( x) = ∫ e− y dy
x
+∞
= e− y
故
x +∞
= e− x
x x 0 x
x
暂时固定
e− x , x > 0, fX ( x) = 0, x ≤ 0.
fY ( y) = ∫
+∞
暂时固定
−∞
f ( x, y) dx
+∞ −∞
当 y ≤ 0 时, fY ( y) = ∫ 0dx = 0 当 y > 0 时,
一、边缘分布函数
作为一个整体, 二维随机变量 (X,Y)作为一个整体 具有分布函 作为一个整体 依次称为二维随机 布函数, 布函数 分别记为 FX ( x) , F ( y) , 依次称为二维随机 Y 的边缘分布函数. 变量 (X,Y) 关于 X 和 Y的边缘分布函数 的边缘分布函数 数 F ( x, y) , 而 X 和 Y 都是随机变量 , 也有各自的分
由此得 D 和 F 的联合分布律与边缘分 布律 :
F
D
P{ D = i }
0 1 2
1 2 3 4 1 10 0 0 0 0 4 10 2 10 1 10 0 0 0 2 10 1 10 4 10 2 10 3 10
P{ F = j }
1 10 7 10 2 10 1
或将边缘分布律表示为
D 1 2 3 4 pk 1 10 4 10 2 10 3 10 F 0 1 2 pk 1 10 7 10 2 10
(X,Y) 关于 Y 的边缘分布律为: 的边缘分布律为
P{Y = y j } = ∑ P{ X = xi ,Y = yj } = ∑pij ∆ p. j
i =1
∞
∞
(
j = 1,2, L )
i =1
离散型随机变量关于X 离散型随机变量关于 和Y 的边缘分布函数 分别为: 分别为
FX ( x) = F( x, ∞) = ∑∑ pij ,
2. 二维正态分布 若二维随机变量（ 若二维随机变量（X,Y）具有概率密度 ） −1 ( x − µ )2 1 1 f ( x, y) = exp 2 2 2 σ1 2πσ1σ2 1 − ρ 2 1− ρ
(
)
( x − µ1 )( y − µ2 ) ( y − µ2 ) 2ρ − 2ρ + 2 σ1σ2 σ2
∞
t2 − 2
( x− µ1 )2 − 2 2σ1
⋅ 2π
1 e = 2πσ1
( x− µ1 )2 − 2 2σ1
( −∞< x < ∞)
同理
1 fY ( y) = e 2πσ2
可见
( y− µ2 )2 − 2 2σ2
( −∞< y < ∞)
二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布 , 并且不依赖于参数 ρ . 也就是说,对于给定的 也就是说 对于给定的 µ1, µ2 , σ1, σ2 , 不同的 ρ 对应 不同的二维正态分布,但它们的边缘分布却都是一样的 不同的二维正态分布 但它们的边缘分布却都是一样的. 但它们的边缘分布却都是一样的 由边缘分布一般不能确定联合分布. 此例表明 由边缘分布一般不能确定联合分布
2
所以
fX ( x) =
1 2πσ1σ2 1 − ρ2
e
( x− µ1 ) − 2 2σ1
2
( ∫−∞e
∞ −∞
y− µ2 x− µ1 − −ρ σ1 2 1− ρ2 σ2 1
2
)
dy
fX ( x) =
1 2πσ1σ2 1 − ρ2
e
( x− µ1 ) − 2 2σ1
2
( ∫−∞e
Y
X
0
16 49 12 49
1
12 49 9 49
0 1
解
Y
X
0 1
0
12 42 + 12 42
1
+ +
12 42 + 6 42
pi• = P{X = xi }
注意 联合分布
4 7
3 7
p• j = P{Y = yj } 4 7 3 7 1
边缘分布
例2 一整数 N 等可能地在 1, 2, 3,L,10 十个值中取
O
+∞
x
= 6( y − y ).
当 y < 0 或 y > 1时, fY ( y ) =
∫− ∞ f ( x , y ) d x = 0.
6( y − y ), 0 ≤ y ≤ 1, 得 fY ( y ) = 0, 其他 .
的边缘密度时， 在求连续型 r.v 的边缘密度时 ， 往往要求联 合密度在某区域上的积分. 合密度在某区域上的积分 当联合密度函数是分 片表示的时候， 片表示的时候，在计算积分时应特别注意积分限 .
xi ≤ x j =1
∞
F ( y) = F(∞, y) = ∑∑ pij . Y
y j ≤ y i =1
∞
Y
X
x1
x2
L
xi
L
y1 y2 M yj M
p 11 p 12 M p1 j
p 21 p 22 M p2 j
L L
L
p i1 pi2 M p ij
L L
L
M
M
∞
M
P { X = xi } =
y = x2
O
∫− ∞ f ( x , y ) d y = 0.
+∞
x
因而得
6( x − x 2 ), 0 ≤ x ≤ 1, f X ( x) = 其他 . 0,
当 0 ≤ y ≤ 1 时,
fY ( y ) =
y
y= x
(1,1)
∫− ∞
+∞
f ( x, y)d x
=
∫y
y
y = x2
6d x
一个值 . 设 D = D( N ) 是能整除 N 的正整数的个数 , F = F ( N ) 是能整除 N 的素数的个数 .试写出 D 和 F 的联合分布律 , 并求边缘分布律 . 解
样本点
D F
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 0 1 2 1
3 1
2 1
4 2 2 1
4 1
3 1
4 2
P(X=xi ,Y = y j )=pij, i, j = 1,2,L
则 (X,Y) 关于 的边缘分布律为 关于X 的边缘分布律为:
P{ X = xi } = ∑ P X = xi ,Y = yj = ∑ pij
j=1
∞
{
}
∞
( i = 1, 2, L )
j=1
pi .
∞ {X = xi } = U{X = xi ,Y = yj } j=1
y
y= x
fY ( y) = ∫ e− y dx = ye− y
y 0
y 0 y
故
ye , y > 0, fY ( y) = y ≤ 0. 0,
−y
y
x
暂时固定
同理可得 Y 的边缘分布函数
FY ( y ) = F ( ∞ , y ) =
∫−∞ ∫−∞ f ( x , y ) d x d y ,
fY ( y) = ∫ f ( x, y)d x.
−∞ +∞
y
+∞
Y 的边缘概率密度 的边缘概率密度.
例3
设随机变量 X 和 Y 具有联合概率密度
6, x 2 ≤ y ≤ x , f ( x, y) = 0, 其他 . 求边缘概率密度 f X ( x ), fY ( y ) .
定义 对于连续型随机变量 ( X ,Y ), 设它的概率 密度为 f ( x , y ), 由于
FX ( x ) = F ( x , ∞ ) = ∫ [ ∫
−∞ x ∞ −∞
f ( x , y ) d y ]d x ,
记
f X ( x) = ∫
∞
−∞
f ( x, y ) d y,
称其为随机变量 ( X , Y ) 关于 X 的边缘概率密度 .
∑1 p ij , i = 1, 2 ,L ; j=
∞
P{Y = y j } = ∑ pij , j = 1,2,L.
i =1
我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边 缘上，由此得出边缘分布这个名词. 缘上，由此得出边缘分布这个名词
已知下列分布律求其边缘分布律. 例1 已知下列分布律求其边缘分布律
四、课堂练习
设(X,Y)的概率密度是 的概率密度是
e− y , x > 0, y > x f ( x, y) = 0, 其它
的边缘概率密度. 求( X,Y )关于 X 和 Y 的边缘概率密度 关于
暂时固定 解
f X ( x) = ∫
+∞
−∞
f ( x, y) dy
+∞ −∞
当 x ≤ 0 时, fX ( x) = ∫ 0dy = 0 当 x > 0 时,
试求二维正态随机变量的边缘概率密度. 例 3 试求二维正态随机变量的边缘概率密度 解 因为
f X ( x) = ∫
+∞
−∞
f ( x, y) dy
( y − µ2 )2 ( x − µ1 )( y − µ2 ) − 2ρ 2 σ2 σ1σ2
y − µ2 x − µ1 ( x − µ1 )2 = −ρ − ρ2 1 σ2 σ1 σ1
则称（ 上服从均匀分布 则称（X,Y）在G上服从均匀分布 ） 上服从均匀分布. 向平面上有界区域G上任投一质点， 向平面上有界区域 上任投一质点，若质点落 上任投一质点 内任一小区域B的概率与小区域的面积成正比 在 G内任一小区域 的概率与小区域的面积成正比 ， 内任一小区域 的概率与小区域的面积成正比， 而与B的形状及位置无关 的形状及位置无关. 而与 的形状及位置无关 则质点的坐标 (X,Y)在G 在 上服从均匀分布. 上服从均匀分布
∞ −∞
y− µ2 x− µ1 − −ρ σ1 2 1− ρ2 σ2 1
2
)
dy
y − µ2 x − µ1 令 t= −ρ , 则有 2 σ1 1 − ρ σ2 1
1 fX ( x) = e 2πσ1
( x− µ1 )2 − 2 2σ1
1 ∫−∞e dt = 2πσ e 1
FX ( x) = P{ X ≤ x}= P{ X ≤ x,Y < +∞} = F ( x, +∞) F ( y) = P{Y ≤ y} = P{ X < +∞,Y ≤ y} = F ( +∞, y) Y
二、离散型随机变量的边缘分布律
一般地， 一般地，对离散型 r.v ( X,Y )， ， X和Y 的联合分布律为 和
解
fX ( x) =
∫− ∞
+∞
f ( x, y)d y
y
y= x
(1,1)
当 0 ≤ x ≤ 1 时,
fX ( x) =
=
∫− ∞ f ( x , y ) d y
∫
x
2
+∞
y = x2
O
x
x
6d y
= 6( x − x ).
2
y
y= x
(1,1)
当 x < 0 或 x > 1时,
fX ( x) =
−∞ < x < ∞, −∞ < y < ∞,
2
其中 µ , µ2,σ1,σ2, ρ均为常数 , 且 σ1 > 0,σ2 1 则称（ ） ρ < 1. 则称（ X,Y）服从参数为
µ1, µ2,σ1,σ2, ρ
> 0,
2 2 的二维正态分布. 记作（ X,Y）～ N( µ1, µ2 ,σ1 ,σ2 , ρ). 二维正态分布 记作（ ）
第二节 边缘分布
边缘分布函数 离散型随机变量的边缘分布律 连续型随机变量的边缘概率密度 课堂练习
二维联合分布全面地反映了二维随机变量 (X,Y)的取值及其概率规律 而单个随机变量 的取值及其概率规律. 而单个随机变量X,Y 的取值及其概率规律 也具有自己的概率分布. 那么要问:二者之间有 也具有自己的概率分布 那么要问 二者之间有 什么关系呢? 什么关系呢 这一节里,我们就来探求这个问题 这一节里 我们就来探求这个问题 .
例3 设随机变量
Xi
−1 0 1 1 4 2
1 , 1 4
i = 1, 2
且满足P{X1X2=0}=1，求 且满足 ， 的联合概率分布； （1）(X1 ,X2)的联合概率分布； ） 的联合概率分布 （2） P{X1 <X2}； ） ； （3） P{X1 =X2}。 ） 。
三、连续型随机变量的边缘分布
下面我们介绍两个常见的二维分布. 下面我们介绍两个常见的二维分布
Hale Waihona Puke Baidu
1. 二维均匀分布 是平面上的有界区域， 设G是平面上的有界区域，其面积为 若二 是平面上的有界区域 其面积为A.若二 维随机变量（ 维随机变量（ X,Y）具有概率密度 ）
1 , ( x, y) ∈G f ( x, y) = A 0, 其它