函数的极值及其应用

函数的极值及其应用

作 者：xxxxx

指导老师：xx

摘要：论述了函数的极值问题，讨论了求函数极值的必要条件和充分条件，

通过例题分析了求函数的极值问题的具体步骤，并用实例展现了函数的极值在解

决实际问题中的重要作用．

关键词：函数的极值;函数极值的必要条件;函数极值的充分条件

在日常生活、工程实践和生产技术中，常会碰到这样的问题：在

一定的条件下，怎样才能用料最少而所生产的产品最多，或者成本最

低等．企业生产成本是影响企业利润的一个重要因素，因此企业经营

者为了获得较高的利润，必须在企业经营中考虑如何最大限度地降低

生产成本．通常这类问题最后都归结为一个数学问题，有些通过初等

方法就能得到解决．例如，初等数学中的求极值的方法在这类问题的

解决中就有着极其广泛的应用．这些都是数学中的极值问题．同样，

高等数学函数问题中，函数极值的求法与应用也是一个值得深思的问

题．那么从哪些方面对高等数学中函数的极值问题进行研究呢？

1 一元函数的极值问题及其应用

1.1 一元函数极值的定义

设函数()f x 在0x 的一个邻域内有定义，若对于该邻域内异于0x 的

x 恒有：()()0f x f x <，则称()0f x 为函数的极大值，称0x 为函数的极大

值点．()()0f x f x >，则()0f x 称为函数的极小值，称0x 为极小值点．函

数的极大值、极小值统称为函数的极值．极大值点、极小值点统称为

函数的极值点[1]．

1.2 函数极值存在的条件

1.2.1 函数极值存在的必要条件 设函数()f x 在点0x 处可导，且在0x 处取得极值，那么()'0f x =[2]．

由费马定理]1[知：()'0f x =只是可导函数存在极值的必要条件．但

不是充分条件，原因在于，如果()00f x '=，0x 并不一定是极值点．例

如，对于函数()3f x x =来说，()00f '=，但是由于当0x <时有()0f x <，

当0x >时，()0f x >，而()00f =，所以0x =不是它的极值点．使导数

等于零的点（即方程()0f x '=的实根）叫做函数()f x 的驻点．据此可

知，导函数的极值点必定是它的驻点，而函数的驻点却不一定是极值

点．此外，函数在它的导数不存在的点处也可能取得极值．例如，函数()f x x =在点0x =处不可导，但函数在该点取得极小值．

应该注意的是：极值反映函数的局部性态，是一个局部概念．极

大值不一定大于极小值，极大（小）值不一定是区间上的最大（小）

值，但就极值点附近的范围来说极大（小）值就是最大（小）值；区

间上的极值点可能有若干个．

怎样判定函数在驻点或不可导点处究竟是否取得极值？如果是，

究竟取得极大值还是极小值？下面给出两个判定极值的充分条件．

1.2.2函数极值存在的充分条件

函数极值的第一充分条件

设函数()f x 在0x 的一个邻域内可导，或者在点0x 处不可导但必须

连续．若当在该邻域内x 由小于0x 连续地变为大于0x 时，其导数()

f x '改变符号，则()0f x 为函数的极值，0x 为函数的极值点．若导函数()

f x '由正值变为负值，则0x 为极大值点，()0f x 为极大值；若导函数()f x '由

负值变为正值，则()0f x 为极小值，0x 为极小值点[2]．

由此可知：如果()f x 在0x 处可导且()00f x '=但()f x '在0x 的两侧同

号，则0x 不是函数的极值点，()f x 在0x 处不取得极值．

函数极值的第二充分条件

设函数()f x 在0x 处的二阶导数存在，若()00f x '=，且()00f x ''≠，

则0x 是函数()f x 的极值点，()0f x 为函数()f x 的极值，并且当()00

f x ''>时，0x 为极小值点，()0f x 为极小值；当()00f x ''<时，0x 为极大值点，

()0f x 为极大值[3]．

这表明，如果函数()f x 在驻点0x 处的二阶导数()00f x ''≠，那么该

驻点一定是极值点，并且可以按二阶导数0"()f x 的符号来判定()0f x 是

极大值还是极小值．但如果0"()0f x =，上述结论就不能应用．事实上，

当()00f x '=且0"()0f x =时，()f x 在0x 处可能有极大值，也可能有极小

值，也可能没有极值．例如，443123(),(),(=f x x f x x f x x =-=）

这三个函数在0x =处就分别属于这三种情况．因此，如果函数在驻点处的二阶导

数为零，那么还得用一阶导数在驻点左右邻近的符号来判定．

1.3 用微分法求函数极值的理论依据

定理1 （极值的必要条件）如果函数()f x 在点0x 处可导，而且

在点0x 处有极值（极大值或极小值）则必有()00f x '=[1]．

由定理1可知：可导函数有极值点，则其极值点必是使其导函数

值等于零的点（即方程()'0f x =的实根）；但反过来能使导函数值为零

的点不一定是极值点．

1.4 例题

例1 当x 为何值时函数()2481f x x x =-+有极值，其极值如何？

解 由题设条件知()88f x x '=-，令()880f x x '=-=知01x =，当1x <

时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>．故01x =是函数()2481f x x x =-+的

极小值点，且()10f =．

例2 求()3229123f x x x x =-+-的极值．

解 对原函数求导数可得：()()261812,1218,f x x x f x x '=-+''=-令

()0f x '=，则由2618120x x -+=，得到11x =，22x =．由于当()0f x ''>时

原函数在x 处取得极小值，当()0f x ''<时原函数在x 处取极大值．将

11x =代入得()1121860f ''=-=-<，所以函数在11x =处取得极大值，其

值为()12f =；将22x =代入得()2241860f ''=-=>，所以函数在22x =处

取得极小值，其值为()21f =．

例3 在厨房屋角有一个八尺深的方窖，现要利用窖的两壁拦一

角来做一个长方体形状的煤仓，其容量是288立方尺，问如何做能最

省材料．

解 设仓库宽为x 尺(0)x >，长为y 尺(0)y >，则容量是8288xy =，

因为0x >，0y >，这是一个关于两个正数的函数问题，且36xy =，两

正数之积为一定数，故当x y =时，其和有极值，即6x =，6y = 时，y

x +最小．如果用S 代表所用材料的面积，则()S=8x+y ，当6x =，6y =时，

S 最小最省材料．

2 二元函数的极值问题及其应用