2-5对数与对数函数

2-5对数与对数函数 基础巩固强化
1.(2011·广东高州市大井中学模拟)函数y ＝ln (x ＋1)
－x 2
－3x ＋4的定义域为( )
A ．(－4，－1)
B ．(－4,1)
C ．(－1,1)
D ．(－1,1]
[答案] C
[解析] 要使函数有意义，须⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋1>0，
－x 2－3x ＋4>0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x >－1，
－4<x <1，
∴－1<x <1. 2．函数y ＝log 2|x |的图象大致为( )
[答案] C
[解析] 由|x |＝1时，y ＝0排除A 、B ；由x >0时，y ＝log 2x 为增函数，排除D ，选C.
3．定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x >0时，f (x )＝2012x ＋log 2012x ，则方程f (x )＝0的实根的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．5 [答案] C
[解析] 当x >0时，f (x )＝0即2012x ＝－log 2012x ，在同一坐标系
下分别画出函数f 1(x )＝2012x ，f 2(x )＝－log 2012x 的图象(图略)，可知两个图象只有一个交点，即方程f (x )＝0只有一个实根，又因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以当x <0时，方程f (x )＝0也有一个实根，又因为f (0)＝0，所以方程f (x )＝0的实根的个数为3.
4．(文)(2011·山东实验中学模拟)已知函数f (x )＝
⎩⎨⎧
(13
)x ，x ≥3，f (x ＋1)，x <3，
则f (2＋log 32)的值为( )
A ．－227 B.154 C.227 D ．－54
[答案] B
[解析] ∵0＜log 32<1，∴2<2＋log 32<3，
∴f (2＋log 32)＝f (3＋log 32)＝f (log 354)＝(13)log 354＝1
54.
(理)(2012·内蒙古包头模拟)设f (x )是定义在R 上的偶函数，对∀x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )，且当x ∈[－2,0]时，f (x )＝(1
2)x －1，若在区间(－2,6]内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >1)恰有3个不同的实数根，则实数a 的取值范围是( )
A ．(1,2)
B ．(2，＋∞)
C ．(1，3
4) D ．(3
4，2)
[答案] D
[解析] ∵f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )的周期为4，当x ∈[0,2]时，－x ∈[－2,0]，∴f (－x )＝2x －1，又f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －1，依据其周期性和对称性，画出f (x )在(－2,6]上的
图象，当y ＝log a (x ＋2)的图象与f (x )在(－2,6]上的图象恰有3个交点时，应有⎩⎪⎨⎪
⎧
a >1，log a (6＋2)>3，
log a (2＋2)<3，
∴3
4<a <2.
5．(文)(2011·天津文，5)已知a ＝log 23.6，b ＝log 43.2，c ＝log 43.6，则( )
A ．a >b >c
B ．a >c >b
C ．b >a >c
D ．c >a >b
[答案] B
[解析] ∵a ＝log 23.6>1，c ＝log 43.6<1.∴a >c . 又∵c ＝log 43.6>log 43.2＝b .∴a >c >b .
(理)(2011·重庆文，6)设a ＝log 13
12，b ＝log 13
23，c ＝log 334，则a 、b 、
c 的大小关系是( )
A ．a <b <c
B ．c <b <a
C ．b <a <c
D ．b <c <a
[答案] B
[解析] ∵a ＝log 13
12，b ＝log 13
23，
∵y ＝log 13
x 单调递减而12<2
3，
∴a >b 且a >0，b >0，又c <0.故c <b <a .
6．函数y ＝log 12
(x 2－5x ＋6)的单调增区间为( )
A ．(5
2，＋∞)
B ．(3，＋∞)
C ．(－∞，5
2) D ．(－∞，2)
[答案] D
[解析] 由x 2
－5x ＋6>0得x >3或x <2，由s ＝x 2
－5x ＋6＝(x －52)
2
－1
4知s ＝x 2－5x ＋6在区间(3，＋∞)上是增函数，在区间(－∞，2)上是减函数，因此函数y ＝log 12
(x 2－5x ＋6)的单调增区间是(－∞，
2)，选D.
7．(2011·北京东城一模)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2a x ，x ≤1，
log a (x 2
－1)，x >1，
且f (22)＝1，则f [f (2)]＝________.
[答案] 6
[解析] ∵f (22)＝log a [(22)2－1]＝log a 7＝1， ∴a ＝7.
又f (2)＝log 73<1，∴f (f (2))＝2×7log 73＝2×3＝6.
8．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (1－x )＝f (1＋x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x －1，则f (2011)＋f (2012)的值为________．
[答案] －1
[解析] ∵f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (x ＋2)＝f (－x )＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )．即f (x )是周期为4的周期函数，∴f (2011)＋f (2012)＝f (3)＋f (0)＝f (－1)＋f (0)＝20－1－(21－1)＝－1.
[点评] (1)一般地，若f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称，且可变形为f (x ＋2a )＝f (－x )．如果同时知道f (x )为奇函数(或偶函数)，则利用奇偶性可得出f (－x )＝±f (x )，从而可知f (x )为周期函数且可得出其周期．
(2)本题将指数函数求值与函数的周期性、奇偶性融为一体，这是高考命题的常见模式．
9．(文)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
log 3x ，x >0，
(13)x
，x ≤0，
那么不等式f (x )≥1的解
集为________．
[答案] {x |x ≤0或x ≥3}
[解析] f (x )≥1化为⎩⎪⎨⎪⎧
x >0，
log 3
x ≥1，或⎩⎨⎧
x ≤0，
(13
)x
≥1，
∴x ≥3或x ≤0.
(理)(2011·浙江省宁波市“十校联考”)设a >0，a ≠1，函数f (x )＝ax 2＋x ＋1有最大值，则不等式log a (x －1)>0的解集为________．
[答案] {x |1<x <2}
[解析] ∵t ＝x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34≥3
4， f (x )＝ax 2＋x ＋1有最大值，∴0<a <1， ∴不等式log a (x －1)>0化为0<x －1<1， ∴1<x <2.
10．(文)已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)(a >0，且a ≠1)． (1)求函数f (x )的定义域和值域；
(2)若函数f (x )有最小值为－2，求a 的值．
[解析] (1)由⎩
⎪⎨⎪⎧
1－x >0，
x ＋3>0，得－3<x <1，
所以函数的定义域为{x |－3<x <1}． f (x )＝log a [(1－x )(x ＋3)]， 设t ＝(1－x )(x ＋3)＝4－(x ＋1)2，
所以t ≤4，又t >0，则0<t ≤4.
当a >1时，y ≤log a 4，值域为{y |y ≤log a 4}， 当0<a <1时，y ≥log a 4，值域为{y |y ≥log a 4}． (2)由题意及(1)知：当0<a <1时，函数有最小值， 所以log a 4＝－2，解得a ＝1
2.
(理)已知函数f (x )＝log a (a x －1)(a >0且a ≠1)． (1)证明函数f (x )的图象在y 轴的一侧；
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)是f (x )图象上两点，证明直线AB 的斜率大于0.
[解析] (1)由a x －1>0，得a x >1.
当a >1时，解得x >0，此时f (x )的图象在y 轴右侧； 当0<a <1时，解得x <0，此时f (x )的图象在y 轴左侧． ∴对a >0且a ≠1的任意实数a ，f (x )的图象总在y 轴一侧． (2)①当a >1时，x >0，由0<x 1<x 2得，1<ax 1<ax 2， ∴0<ax 1－1<ax 2－1，即ax 2－1
ax 1－1>1.
∴f (x 2)－f (x 1)＝log a (ax 2－1)－log a (ax 1－1) ＝log a ax 2－1ax 1－1
>0.
直线AB 的斜率k AB ＝f (x 2)－f (x 1)
x 2－x 1>0.
②当0<a <1时，由x 1<x 2<0得， ax 1>ax 2>1，f (x 2)－f (x 1)>0. 同上可得k AB >0.
能力拓展提升
11.(2011·安徽省淮南市模拟)若x ∈(e －1,
1)，a ＝ln x ，b ＝(12)ln x
，c
＝e ln x ，则( )
A ．c >b >a
B ．b >a >c
C ．a >b >c
D ．b >c >a
[答案] D
[解析] ∵x ∈(e －1,1)，∴a ＝ln x ∈(－1,0)； c ＝e ln x
＝x ∈(1
e ，1)；
b ＝(12)ln x
∈(1,2)． ∴a <c <b .
12．(2011·广东省佛山市综合测试)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
log 2x (x >0)，
2x
(x ≤0)，若f (a )＝1
2，则实数a 等于( )
A ．－1 B. 2 C ．－1或 2 D ．1或－ 2
[答案] C
[解析] 当a >0时，log 2a ＝12，所以a ＝2，当a ≤0时，2a
＝12，所以a ＝－1.
13．(2011·丹阳一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
3x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，
则使函数f (x )
的图象位于直线y ＝1上方的x 的取值范围是________．
[答案] {x |－1<x ≤0或x >2}
[解析] 由y >1得，⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，3x ＋1>1，或⎩⎪⎨⎪⎧
x >0，
log 2x >1，
∴－1<x≤0或x>2.
14．(文)(2012·江南十校联考)已知函数f(x)是R上的单调递增函数且为奇函数，则f(1)的值________(把所有可能的序号都填上)．
①恒为正数；②恒为负数；
③恒为0; ④可正可负．
[答案]①
[解析]∵f(x)在R上为奇函数，∴f(0)＝0，
又∵f(x)在R上为增函数，
∴f(1)>f(0)＝0.
∴f(1)的值恒为正数．
(理)(2011·绍兴一模)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且f(lg x)＝f(1)，则x的值等于________．
[答案]10或1
10
[解析]∵f(x)在[0，＋∞)上是单调函数，且为偶函数，又f(lg x)
＝f(1)，∴lg x＝±1，∴x＝10或1
10.
15．(文)已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋2kx(k∈R)是偶函数．
(1)求k的值；
(2)若方程f(x)＝m有解，求m的取值范围．
[解析](1)由函数f(x)是偶函数可知，f(－x)＝f(x)，
∴log4(4x＋1)＋2kx＝log4(4－x＋1)－2kx，
即log44x＋1
4－x＋1
＝－4kx，
∴log44x＝－4kx，
∴x＝－4kx，即(1＋4k)x＝0，
对一切x ∈R 恒成立，∴k ＝－1
4. (2)由m ＝f (x )＝log 4(4x
＋1)－1
2x
＝log 44x ＋12x ＝log 4(2x ＋12x )，
∵2x
>0，∴2x
＋12x ≥2，∴m ≥log 42＝1
2.
故要使方程f (x )＝m 有解，m 的取值范围为[1
2，＋∞)． (理)(2011·金华模拟)设集合A ＝{x |2(log 1
2x )2－7log 2x ＋3≤0}，若当x ∈A 时，函数f (x )＝log 2x 2a ·log 2x 4的最大值为2，求实数a 的值．
[解析] ∵A ＝{x |2(log 2x )2－7log 2x ＋3≤0} ＝{x |1
2≤log 2x ≤3}＝{x |2≤x ≤8}，
而f (x )＝(log 2x －a )(log 2x －2)＝(log 2x )2－(a ＋2)log 2x ＋2a ， 令log 2x ＝t ，∵2≤x ≤8，∴1
2≤t ≤3.
∴f (x )可转化为g (t )＝t 2－(a ＋2)t ＋2a ，其对称轴为直线t ＝a ＋2
2， ①当t ＝a ＋22≤74，即a ≤3
2时， [g (t )]max ＝g (3)＝2⇒a ＝1，符合题意； ②当t ＝a ＋22>74，即a >3
2时，
[g (t )]max ＝g (12)＝2⇒a ＝11
6，符合题意． 综上，a ＝1，或a ＝11
6.
16．(文)(2011·南昌模拟)f (x )的定义域为(0，＋∞)，且对一切x >0，
y >0都有f (x
y )＝f (x )－f (y )，当x >1时，有f (x )>0.
(1)求f (1)的值；
(2)判断f (x )的单调性并证明；
(3)若f (6)＝1，解不等式f (x ＋3)－f (1
x )<2.
[解析] (1)∵对任意x >0，y >0，都有f (x
y )＝f (x )－f (y )成立， ∴令x ＝y ＝1得，f (1)＝f (1)－f (1)＝0. (2)设x 1>x 2>0，则x 1
x 2
>1，
∴f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1
x 2)>0，∴f (x 1)>f (x 2)，
∴f (x )在(0，＋∞)上为增函数．
(3)∵f (6)＝1，∴f (6)＝f (36
6)＝f (36)－f (6)， ∴f (36)＝2.
∴不等式f (x ＋3)－f (1
x )<2化为 ⎩⎪⎨⎪⎧
f (x (x ＋3))<f (36)，x >0，x ＋3>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧
x (x ＋3)<36，
x >0，
∴0<x <317－32
. (理)(2011·马鞍山市二检)设函数f (x )＝(1＋x )2－2ln(1＋x )． (1)若对任意的x ∈[0,1]，不等式f (x )－m ≤0都成立，求实数m 的最小值；
(2)求函数g (x )＝f (x )－x 2－x 在区间[0,2]上的极值． [解析] (1)设f (x )在[0,1]的最大值为f (x )max ，
依题意有f (x )max ≤m ，
∵f ′(x )＝2(1＋x )－2
1＋x ＝2x 2＋4x 1＋x
，
当x ∈[0,1]时，f ′(x )≥0，故f (x )在[0,1]为增函数， f (x )max ＝f (1)＝4－2ln2，于是m ≥4－2ln2， 即实数m 的最小值为4－2ln2.
(2)g (x )＝f (x )－x 2－x ＝1＋x －2ln(1＋x )， g ′(x )＝1－2
1＋x ＝x －1x ＋1
.
当x >1时，g ′(x )>0，当－1<x <1时，g ′(x )<0， 故g (x )在[0,1]上是减函数，在(1,2]上是增函数， 从而g (x )在[0,2]上的极小值为g (1)＝2－2ln2＝ln e 2
4.
1．设a ＝lg e ，b ＝(lg e )2，c ＝lg e ，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >b D ．c >b >a
[答案] B
[解析] ∵1<e <3，∴1<e <e <e 2<10， ∴0<lg e <1.则lg e ＝1
2lg e <lg e ，即c <a . ∵c －b ＝12lg e －(lg e )2
＝12lg e (1－2lg e ) ＝12lg e ·lg 10e 2>0.∴c >b ，故选B.
2．(2011·四川文，4)函数y ＝(12)x ＋1的图象关于直线y ＝x 对称的
图象大致是( )
[答案] A
[解析] 解法1：作y ＝(12)x
的图象，然后向上平移1个单位，得y ＝(12)x
＋1的图象，再把图象关于y ＝x 对称即可．
解法2：令x ＝0得y ＝2，∴对称图象过点(2,0)，排除C 、D ；又令x ＝－1得y ＝3，∴对称图象过点(3，－1)，排除B ，故选A.
3．函数f (x )＝|log 12
x |的图象是( )
[答案] A
[解析] f (x )＝|log 12
x |＝|log 2x |
＝⎩⎪⎨⎪⎧
log 2x (x ≥1)－log 2x (0<x <1)
，故选A. [点评] 可用筛选取求解，f (x )的定义域为{x |x >0}，排除B 、D ，f (x )≥0，排除C ，故选A.
4．(2012·内蒙古包头模拟)已知函数
f (x )＝⎩⎨⎧
x 12
，x >0，
(1
2)x
，x ≤0，
则
f [f (－4)]＝( )
A ．－4
B ．－14
C ．4
D ．6
[答案] C
[解析] f (－4)＝(12)－4＝16，f [f (－4)]＝f (16)＝161
2＝4.
5．(2012·北京市东城区综合练习)函数y ＝f (x )与y ＝g (x )有相同的定义域，且都不是常数函数，对于定义域内的任何x ，有f (x )＋f (－x )＝0，g (x )g (－x )＝1，且当x ≠0时，g (x )≠1，则F (x )＝2f (x )g (x )－1＋f (x )
为( )
A ．奇函数非偶函数
B ．偶函数非奇函数
C ．既是奇函数又是偶函数
D ．非奇非偶函数 [答案] B
[解析] ∵g (x )－1≠0⇒g (x )≠1⇒x ≠0，∴y ＝F (x )的定义域关于
坐标原点对称．F (x )＝f (x )[2
g (x )－1＋1]＝f (x )·g (x )＋1g (x )－1，F (－x )＝f (－
x )·g (－x )＋1g (－x )－1＝－f (x )·1
g (x )＋11g (x )－1＝－f (x )·1＋g (x )1－g (x )＝f (x )·g (x )＋1
g (x )－1
＝F (x )，∴y ＝F (x )是偶函数．又由于y ＝f (x )和y ＝g (x )都不是常数函数，∴f (x )不恒为0，g (x )不恒为－1，即F (x )不恒为0，所以F (x )不是奇函数，故选B.
6．方程log 3(x 2－10)＝1＋log 3x 的解是________． [答案] x ＝5
[解析] 原方程化为log 3(x 2－10)＝log 3(3x )，由于y ＝log 3x 在(0，＋∞)上严格单增，则x 2－10＝3x ，解之得x 1＝5，x 2＝－2.∵要使log 3x 有意义，应有x >0，∴x ＝5.
7．(2011·上海交大附中月考)函数f (x )＝lg(x ＋a
x －6)(a ∈R )的值域为R ，则实数a 的取值范围是________．
[答案] (－∞，9]
[解析] ①a ≤0时，x ＋a
x －6能取遍一切正数， ∴f (x )的值域为R ；
②a >0时，要使f (x )的值域为R ，应使x ＋a
x －6可以取到所有正数，故x >0时，x ＋a
x －6的最小值2a －6≤0，∴0<a ≤9，综上a ≤9.。