垂径定理

O A B M

垂直弦的直径

一、圆是轴对称（有无数条对称轴，过圆心的任一条直线都是对称轴）；又是中心对称，对称中心是圆心.

二、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧.

符号语言：∵CD 为⊙O 的直径，AB 为⊙O 的弦，且CD ⊥AB ，垂足为E ，

∴ AE=BE, = , = .

推 论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ∵ CD 为⊙O 的直径，AB 为⊙O 的弦（不是直径），且AE=BE.

∴ CD ⊥AB ， = , = .

弦心距：圆心到弦的距离（垂线段OE ）

考点分析：

垂径定理及推论的应用，证明.

典型例题分析

类型1. 垂径定理及推论概念

例1．下面四个命题中正确的一个是（ ）

A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径

B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦

C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心

D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 例2. 如图1-2，如果AB 为⊙O 直径，弦AB CD ⊥，垂足为

E ，

那么下列结论中错误的是（ ）

A ．DE CE =

B ．

C ．BA

D BAC ∠=∠ D ．AD AC >

例3. 如图1－3在⊙O 中，弦CD 垂直平分半径OA ，且CD ＝6cm ，

则半径OA 的长为（ ）

A. cm 34

B. cm 54

C. cm 32

D. cm 8

图1－2 图1－3 图1－4

例4. 如图1－4，⊙O 的直径CD 与弦AB 交于点M ，添加条件：_____________（写出一个即可），就可得

到M 是AB 的中点.类型2. 垂径定理的运用在垂径定理的运用中，通常的是要利用定理构建直角三角形，利用勾股定理进行运算.

例5. 过⊙O 内一点M 的最长的弦长为cm 10，最短的弦长为cm 8，那么⊙O 的半径等于________cm ，

OM 的长为________cm

类型2. 垂径定理分类讨论 例1. 如图2－1，⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，

则OM 的长的取值范围是（ ） A. 5OM 3≤≤ B. 5OM 4≤≤ C. 5OM 3<< D. 5OM 4<< 图2－1

例2. 已知：AB 、CD 为⊙O 的两条弦，且AB ∥CD ，⊙O 的半径为5cm ，AB=8cm ，CD=6cm ，求AB 、

CD 之间的距离.

例3. 已知：△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，半径OB=5cm ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，求AB 的长．

C D A B O E C

A D O

类型3. 利用垂径定理求线段长度，角度

例1. 如图3－1，在圆O 中，直径AB 垂直于弦CD ，并且交CD 于E ，直径MN 交CD 于F ，且

OE FD FO 2==，求COD ∠.

图3－1

例2. 如图3－2，AB 为⊙O 的直径，且AB ⊥弦CD 于E ，CD ＝16，AE ＝4，求OE 的长.

图3－2

例3. 如图3－3，在ABC Rt ∆中，∠C=900，AC=5cm ，BC=12cm ，以C 为圆心、AC 为半径的圆交斜边

于D ，求AD 的长.

图3－3

例4. 如图3－4，已知：AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于E 点，BE ＝1，AE ＝5，∠AEC ＝300，

求CD 的长.

图3－4

例5. 如图3－5，O 是两个同心圆的圆心，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点，OE ⊥CD 于E ，若AB=2CD=4OE 求：大圆半径R 与小圆半径r 之比.

图3－5

A C

B D B D

C B A .O A B

D C

E .O A C O

E D B

类型4. 垂径定理相关证明

例1.如图4－1，BF ，CE 是⊙O 的直径，

．求证：OCN OBN ∠=∠．

图4－1

例2．如图4－2，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任一点，A 是 的中点，AD ⊥BC 于D. 求证：.2

1BF AD =

图4－2

例3．已知：如图4－3，⊙O 的弦AB ，CD 相交于点P ，PO 是APC ∠的平分线，点M ,N

分别是，

的中点，MN 分别交AB ，CD 于点E ，F ．求证：PO MN ⊥．

图4－3

例4．如图，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点M ，CD AE ⊥，CD BF ⊥，垂足分别是E ，F ．

(1)求证：DF CE ⊥．

(2)若26=AB ，24=CD ，求BF AE -的值．

图4－4

类型5. 垂径定理的综合应用

例1. 一水平放臵的圆柱型水管的横截面如图5－1所示，如果水管横截面的半径

是13cm ，水面宽24=AB ，则水管中水深是_______cm. 图5－1

例2. 如图5－2，某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为2.7米，拱顶高出水面4.2米，现有一艘宽3米，

船仓顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这里．问货船能否顺利通过这座拱桥？

图5－2

例3. 如图5－3，在某养殖场A 处发现高致病性禽流感，为防止禽流感蔓延，政府规定离疫点3千米范围

内为捕杀区；离疫点3至5千米范围内为免疫区.现有一条笔直的公路EB 通疫区，若在捕杀区内CD ＝4千米，问这条公路在改免疫区内多少千米？

图5－3

E C D B .A