二次函数的应用（解析版）

一、集合

1.集合的概念：由某些确定的对象组成的整体叫做集合，简称集．组成集合的对象叫做这个集合的元素，一般采用大写英文字母A,B,C…表示集合，小写英文字母a,b,c…表示集合的元素．

2.元素的性质： (1)互异性：一个给定的集合中的元素都是互不相同的；只要

构成两个集合的元素是一样的，我们就说这两个集合相等。

(2)无序性：一个给定的集合中的元素排列无顺序；

(3) 确定性：一个给定的集合中的元素必须是确定的.

3.常用的数集： （1）所有自然数组成的集合叫做自然数集，记作N ．

（2）所有正整数组成的集合叫做正整数集，记作*N 或+Ζ．

（3）所有整数组成的集合叫做整数集，记作Z ．

（4）所有有理数组成的集合叫做有理数集，记作Q ．

（5）所有实数组成的集合叫做实数集，记作R ．

（6）不含任何元素的集合叫做空集，记作∅．例如，方程x 2+1=0

的实数解的集合里不含有任何元素，所以这个解集就是空集。

4.集合的表示方法：列举法、描述法、V enn 图法

5.集合的基本关系：

（1）元素与集合：a A ∈；a A ∉． （2）集合与集合：包含关系（子集），A B ⊇或B A ⊆(A 包含于B ，B

含于A ，A>B ）

6. 子集：

（1）任何一个集合A 都是它自身的子集，即A A ⊆．

（2）规定：空集是任何集合的子集，即A ∅⊆．

（3）如果A B ⊇，同时B A ⊇，那么集合B 的元素都属于集合A ，同时集合A 的元素都属

于集合B ，因此集合A 与集合B 的元素完全相同，由集合相等的定

义知A B =

（4）如果集合B A ⊆，但存在元素B x A x ∉∈且,，我们称集合A 是集合

B 的真子集，记作A ⫋B 。

（5）如果A B ⊇，同时B A ⊇，则 A B =。

（6）空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集.

7.集合的基本运算：（1）并集：A ⫋B ＝{x |x ⫋A ，或x ⫋B };

（2）交集：A ∩B ＝{x |x ⫋A ，且x ⫋B }．

（3）补集（⫋U A ＝{x | x ⫋U ，且x ⫋A }，U 为全集．）

二、函数的基本概念

1.函数的定义

一般地，设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，通常记为y ＝f (x )，x ⫋A .

集合与函数

知识讲解 A

B

2.函数的三要素：定义域、对应关系和值域．

3.函数相等：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等．

4.函数的表示法：解析法、图象法、列表法．

5．映射的概念

设A ，B 是两个非空集合，如果按照某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任何一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应。

那么，就称对应f ：A→B 为从集合A 到集合B 的映射，记作：f ：A→B 。

6．区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间．

7．分段函数

8．函数单调性的定义

(1)增函数 (2)减函数

9．函数单调区间的定义

如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．

10.最大值，最小值

11.用定义法证明函数单调性的一般步骤

单调区间——取值——作差——变形——定号——下结论．

12．求单调区间的方法：定义法、图象法．

13．复合函数y ＝f [g (x )]在公共定义域上的单调性(同增异减，先求定义域，单调区间是定义

域的子集．）

14．函数的奇偶性定义

对于函数f (x )的定义域内任意一个x ：

(1)f (－x )＝f (x )⫋f (x )是偶函数；

(2)f (－x )＝－f (x )⫋f (x )是奇函数．

15．函数的奇偶性的性质

(1)对称性：1）奇(偶)函数的定义域关于原点对称，

2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称；

(2)整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 必须成立；

(3)可逆性：f (－x )＝f (x )⫋f (x )是偶函数；f (－x )＝－f (x )⫋f (x )是奇函数；

(4)等价性：偶函数：f (－x )－f (x )＝0；奇函数：f (－x )＋f (x )＝0；

16．分类

奇函数，偶函数，既是奇函数又是偶函数（f (x )=0），非奇非偶函数(y=kx+b)．

17．函数的奇偶性判断方法与步骤

利用定义判断：(1)定义域是否关于原点对称，(2)数量关系f (－x )＝±f (x )哪一个成立．

例1：以下五个写法中：⫋{0}⫋{0，1，2}；⫋⫋⫋{1，2}；

⫋{0，1，2}={2，0，1}；⫋0⫋⫋；⫋A∩⫋=A ，正确的个数有（ B ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

例2：已知集合A={x|x 2=1},B={x|ax=1},（1）若B⫋A,求a 的值；

解：由于A={1，-1}，B⊆A ，当B=⊆时，有a=0；当B≠⊆时，有B={1}或B={-1}，

又B={1/a}所以

a=±1,所以a=0或a=±1

典型例题