平面向量全章综合练习
完整版)平面向量单元测试卷及答案
完整版)平面向量单元测试卷及答案平面向量单元测试卷一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分）1.下列命题中的假命题是（）A、AB与BA的长度相等；B、零向量与任何向量都共线；C、只有零向量的模等于零；D、共线的单位向量都相等。
2.若a是任一非零向量，b是单位向量；①|a|。
|b|；②a∥b；③|a|。
|b|；④|b|= ±1；⑤a=|a|b，其中正确的有（）A、①④⑤B、③C、①②③⑤D、②③⑤3.设a，b，c是任意三个平面向量，命题甲：a+b+c=0；命题乙：把a，b，c首尾相接能围成一个三角形。
则命题甲是命题乙的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、非充分也非必要条件4.下列四式中不能化简为AD的是（A、(AB+CD)+BCB、(AM+MB)+(BC+CD)C、(AC+AB)+(AD-CB)D、OC-OA+CD5.设a=(-2,4)，b=(1,-2)，则（A、a与b共线且方向相反B、a与b共线且方向相同C、a与b不平行D、a与b是相反向量6.如图1，△ABC中，D、E、F分别是边BC、CA和AB 的中点，G是△ABC中的重心，则下列各等式中不成立的是（）A、BG=2BE/3B、DG=AG/2C、CG=-2FGD、DA+FC=BC7.设a=(-2,1-cosθ)，b=(1+cosθ,-4)，且a∥b，则锐角θ=( )A、π/4B、π/6C、π/3D、5π/6 或7π/68.若C分AB所成比为-3，则A分CB所成的比是（A、-3/2B、3/2C、-2/3D、-29.XXX<0，则a与b的夹角θ的范围是（）A、[π/2，π)B、[0，π/2)C、(π/2，π)D、(0，π/2]10.设a与b都是非零向量，若a在b方向的投影为3，b 在a方向的投影为4，则a的模与b的模之比值为（）A、3/4B、4/3C、3/7D、4/7cos(－)a·b=cos(－)=1/2sin(－)=±√3/2又∵∈（,），=，且sin(－)＞0sin(－)=√3/2π/3sin cos－cos sin=1/2sin(＋)=√3/22π/3sin=√3/217．（1）|a+b|=|e1+e2|=√2a+b|2=2a|2+|b|2+2a·b=2a·b=-1/2又kab·(a－3b)=0ka·a－3kb·b=0k=9/52）ka·b+3kb·b=0k=-3/5四、19．（1）设所求向量为c，则c·a=0，c·b=0 c·(a+b)=0又∵a+b=（1,1,1），∴c·（1,1,1）=0c与（1,1,1）垂直又∵c·(a－b)=0c·（1，－1，0）=0c与（1，－1，0）垂直c∥（0，0，1）c=k（0，0，1）又∵c·a=0k=－1/3所求向量为（0，0，1/3）2）设所求向量为c，则c∥a×b又∵a×b=（1，1，1）c∥（1，1，1）c=k（1，1，1）又∵c·a=0k=-1/3所求向量为（－1/3，－1/3，－1/3）165∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβcosαcosβ+sinαsinβcos(α-β)∵α∈(-π/2,π/2)sin(α-β)=-sinα=-(-cos(α-β)sinβ/cosβ)=cos(α-β)sinβ/cosβ5/4*sinβ+3/5*cosβ17.解：1) |a+b|²=|-2e₁+4e₂|²=4e₁²+16e₂²-8e₁e₂又e₁⊥e₂，e₁·e₂=0，e₁²+e₂²=1a+b|²=20a+b|=√20=2√5又|e₁|=|e₂|=1a|=|b|=√22) (ka+b)·(a-3b)=k|a|²-2k(a·b)+b·a-3|b|²又|a|=|b|=√2ka+b)·(a-3b)=2k-6+2=2k-4又(a+b)·(a-3b)=-4k=1918.解：1)a·b=cosx·cosx-sinx·sinx=cos2xa+→b|=√(4cos²x+4)=2√(cos²x+1)2)f(x)=a·b-2λ|a+b|=cos2x-4λcosx2cos²x-1-4λcosx2(cosx-λ)²-2λ²-1当λ<0时，f(x)无最小值当0≤λ≤1时，f(x)在cosx=λ时取得最小值-2λ²-1当λ>1时，f(x)在cosx=1时取得最小值1-4λ要使f(x)取得最小值-3，需解方程-2λ²-1=-3，解得λ=√2/2。
(完整版)高中数学平面向量综合练习含解析
uuuur
uuuur uuur
| CM | 1 ，则 CM AB 的取值范围是
．
r
r rr
rr
22．向量 a (1,1)，且 a 与 a b 的方向相反，则 a b的取值范围是
．
uuur uuur 23．如图，在三棱锥中 D ABC 中，已知 AB 2 ，AC BD 3 ，设 AD a ，BC b ，
r r r rr r r rr r r
rr
c (a 2b) c a c (2b) c a c (2 b) 2 1 c a 0
考点：向量的运算 4． B 【解析】
试题分析：由已知
ur r m∥n，则 a (1 a)
2 1 a2 a 2 0 a 1,a 2
考点：共线向量 5． D
答案第 1 页，总 13 页
uuuur n 是向量 OAn 与 i 的夹角，则
cos
1
cos 2
L
cos 2016 的值为
．
sin 1 sin 2
sin 2016
0,1 ，
试卷第 4 页，总 6 页
r 27．已知向量 a
(sin
x,
3 ),
r b
(cos x, 1).
2
rr （ 1）当 a // b 时，求 2cos2 x sin 2x 的值；
）
A． 1 2
3
B．
2
C ．1 2
D
．3
2
8．在平行四边形 ABCD 中，AD
2 ， BAD
60 o，E
为
CD
的中点．若
uuuv AD
uuuv BE
1，
则 AB 的长为 ( )
A． 6
(完整word版)《平面向量》综合测试题
《平面向量》综合测试题一、选择题1. 若A （2，-1），B （-1，3），则AB 的坐标是 ( ) A.（1，2） B.（-3，4） C. （3，-4） D. 以上都不对2.与a =（4，5）垂直的向量是 ( ) A.（-5k ,4k ） B. (-10，2） C. (54,k k-) D.（5k , -4k ） 3. △ABC 中,BC =a , AC =b ,则AB 等于 ( ) A.a+b B.-(a+b ) C.a-b D.b-a 4.化简52(a －b )－31(2a +4b )+152(2a +13b )的结果是 ( ) A.51a ±51b B.0 C. 51a +51b D. 51a －51b 5.已知|p |=22,|q |=3, p 与q 的夹角为4π,则以a =5p +2q ,b =p －3q 为邻边的平行四边形的一条对角线长为 ( )A.15B.15C. 16D.146.已知A (2,-2),B (4,3),向量p 的坐标为(2k -1,7)且p ∥AB ,则k 的值为 ( ) A.109-B.109C.1019-D.1019 7. 已知△ABC 的三个顶点，A 、B 、C 及平面内一点P 满足PA PB PC AB ++=，则点P 与△ABC 的关系是 ( )A. P 在△ABC 的内部B. P 在△ABC 的外部C. P 是AB 边上的一个三等分点D. P 是AC 边上的一个三等分点 8.在△ABC 中，AB =c , BC = a , CA =b ,则下列推导中错误的是 ( ) A.若a ·b <0,则△ABC 为钝角三角形 B. 若a ·b =0,则△ABC 为直角三角形 C. 若a ·b =b ·c ,则△ABC 为等腰三角形 D. 若c ·( a +b +c )=0,则△ABC 为等腰三角形9.设e 1,e 2是夹角为450的两个单位向量,且a =e 1+2e 2,b =2e 1+e 2,,则|a +b |的值 ( ) A.23 B.9 C.2918+ D.223+10.若|a |=1,|b a -b )⊥a ,则a 与b 的夹角为 ( )A.300B.450C.600D.750二、填空题11.在△ABC,4=且,8=⋅AC AB 则这个三角形的形状是 .12.一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为h km /2，则船实际航行的速度的大小和方向是 .13. 若向量)4,7(),1,2(),2,3(-=-=-=c b a ,现用a 、b 表示c ,则c= . 14.给出下列命题:①若a 2+b 2=0,则a =b =0;②已知A ),,(11y x B ),(22y x ,则);2,2(212121y y x x ++= ③已知a ,b ,c 是三个非零向量,若a +b =0,则|a·c |=|b·c |④已知0,021>>λλ,e 1,e 2是一组基底,a =λ1e 1+λ2e 2则a 与e 1不共线,a 与e 2也不共线; ⑤若a 与b 共线,则a·b =|a |·|b |.其中正确命题的序号是 . 三、解答题15.如图,ABCD 是一个梯形,CD AB ,//=, M 、N 分别是AB DC ,的中点,已知=AB a ,=AD b ,试用a 、b 表示,DC BC 和.MN16设两个非零向量e 1、e 2不共线.如果AB =e 1+e 2,=BC 2e 1+8e 2,CD =3(e 1-e 2) ⑴求证:A 、B 、D 共线;⑵试确定实数k,使k e 1+e 2和e 1+k e 2共线.17.已知△ABC 中,A (2,4),B (-1,-2),C (4,3),BC 边上的高为AD .⑴求证:AB ⊥AC ;⑵求点D 与向量AD 的坐标.18.已知二次函数f (x ) 对任意x ∈R，都有f (1-x )=f (1+x )成立，设向量a =(sin x ,2), b =(2sin x ,21),ABNMDCc =(cos2x ,1),d =(1,2)。
2024全国高考真题数学汇编：平面向量及其应用章节综合
2024全国高考真题数学汇编平面向量及其应用章节综合一、单选题1．（2024全国高考真题）已知向量,a b满足1,22a a b ，且2b a b ，则b （）A ．12B C ．2D ．12．（2024全国高考真题）已知向量(0,1),(2,)a b x ，若(4)b b a，则x （）A ．2B ．1C ．1D ．23．（2024全国高考真题）设向量 1,,,2a x x b x，则（）A ．“3x ”是“a b”的必要条件B ．“3x ”是“//a b”的必要条件C ．“0x ”是“a b”的充分条件D ．“1x ”是“//a b”的充分条件4．（2024全国高考真题）在ABC 中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若π3B ，294b ac ，则sin sin A C （）A ．13B ．13C ．2D ．135．（2024北京高考真题）设a ，b 是向量，则“·0a b a b”是“a b 或a b ”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题6．（2024上海高考真题）已知 ,2,5,6,k a b k R ，且//a b ，则k 的值为．7．（2024天津高考真题）在边长为1的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点，1,2CE DE BE BA BC u u r u u r u u u r ，则；F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则AF DG的最小值为．三、解答题8．（2024天津高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知92cos 5163a Bbc ，．(1)求a ；(2)求sin A ；(3)求 cos 2B A 的值．9．（2024全国高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2A A ．(1)求A ．(2)若2asin sin 2C c B ，求ABC 的周长．10．（2024北京高考真题）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A 为钝角，7a ，sin 2cos B B ．(1)求A ；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC 存在，求ABC 的面积．条件①：7b ；条件②：13cos 14B；条件③：sin c A 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．11．（2024全国高考真题）记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C B ，222a b c (1)求B ；(2)若ABC 的面积为3c ．参考答案1．B【分析】由2b a b 得22b a b，结合1,22a a b ，得22144164a b b b ，由此即可得解.【详解】因为 2b a b ，所以20b a b ，即22b a b，又因为1,22a a b ，所以22144164a b b b ，从而2b .故选：B.2．D【分析】根据向量垂直的坐标运算可求x 的值.【详解】因为 4b b a ，所以40b b a，所以240b a b即2440x x ，故2x ，故选：D.3．C【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.【详解】对A ，当a b 时，则0a b，所以(1)20x x x ，解得0x 或3，即必要性不成立，故A 错误；对C ，当0x 时， 1,0,0,2a b ，故0a b，所以a b，即充分性成立，故C 正确；对B ，当//a b时，则22(1)x x ，解得1x ，即必要性不成立，故B 错误；对D ，当1x 时，不满足22(1)x x ，所以//a b不成立，即充分性不立，故D 错误.故选：C.4．C【分析】利用正弦定理得1sin sin 3A C ，再利用余弦定理有22134a c ac ，由正弦定理得到22sin sin A C 的值，最后代入计算即可.【详解】因为29,34B b ac，则由正弦定理得241sin sin sin 93A C B .由余弦定理可得:22294b ac ac ac ，即:22134a c ac，根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C ，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C，因为,A C 为三角形内角，则sin sin 0A C ，则sin sin A C .故选：C.5．B【分析】根据向量数量积分析可知0a b a b 等价于a b，结合充分、必要条件分析判断.【详解】因为220a b a b a b ，可得22a b ，即a b ，可知0a b a b 等价于a b ，若a b 或a b ，可得a b ，即0a b a b，可知必要性成立；若0a b a b ，即a b，无法得出a b 或a b ，例如 1,0,0,1a b，满足a b ，但a b 且a b ，可知充分性不成立；综上所述，“0a b a b”是“a b 且a b ”的必要不充分条件.故选：B.6．15【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可.【详解】//a b ，256k ，解得15k ．故答案为：15．7．43518【分析】解法一：以,BA BC 为基底向量，根据向量的线性运算求BE，即可得 ，设BF BE k u u u r u u r ，求,AF DG u u u r u u u r ，结合数量积的运算律求AF DG 的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求BE，即可得 ，设 1,3,,03F a a a，求,AF DG u u u r u u u r ，结合数量积的坐标运算求AF DG 的最小值.【详解】解法一：因为12CE DE ，即13CE BA ，则13BE BC CE BA BC u u u r u u r u u u u r r u u u r ，可得1,13，所以43；由题意可知：1,0BC BA BA BC，因为F 为线段BE 上的动点，设 1,0,13BF k BE k BA k BC k，则113AF AB BF AB k BE k BA k BC，又因为G 为AF 中点，则1111112232DG DA AG BC AF k BA k BC，可得11111113232AF DG k BA k BC k BA k BC22111563112329510k k k k，又因为 0,1k ，可知：当1k 时，AF DG 取到最小值518；解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则 11,0,0,0,0,1,1,1,,13A B C D E，可得 11,0,0,1,,13BA BC BE，因为 ,BE BA BC 131，所以43 ；因为点F 在线段1:3,,03BE y x x 上，设 1,3,,03F a a a，且G 为AF 中点，则13,22a G a ，可得 131,3,,122a AF a a DG a，则 22132331522510a AF DG a a a，且1,03a，所以当13a 时，AF DG 取到最小值为518 ；故答案为：43；518 .8．(1)4(3)5764【分析】（1）2,3a t c t ，利用余弦定理即可得到方程，解出即可；（2）法一：求出sin B ，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出cos A ，则得到sin A ；（3）法一：根据大边对大角确定A 为锐角，则得到cos A ，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.【详解】（1）设2,3a t c t ，0t ，则根据余弦定理得2222cos b a c ac B ，即229254922316t t t t ，解得2t （负舍）；则4,6a c .（2）法一：因为B 为三角形内角，所以sin 16B ，再根据正弦定理得sin sin a b A B ，即4sin A sin 4A ，法二：由余弦定理得2222225643cos 22564b c a A bc ，因为 0,πA ，则sin 4A（3）法一：因为9cos 016B ，且 0,πB ，所以π0,2B，由（2）法一知sin 16B，因为a b ，则A B ，所以3cos 4A ，则3sin 22sin cos 24A A A2231cos 22cos 12148A A9157cos 2cos cos 2sin sin 216816864B A B A B A.法二：3sin 22sin cos 24A A A，则2231cos 22cos 12148A A，因为B 为三角形内角，所以sin 16B，所以 9157cos 2cos cos 2sin sin 216864B A B A B A9．(1)π6A(2)2【分析】（1）根据辅助角公式对条件sin 2A A 进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；（2）先根据正弦定理边角互化算出B ，然后根据正弦定理算出,b c 即可得出周长.【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）由sin 2A A 可得1sin 122A A ，即sin()1π3A ，由于ππ4π(0,π)(,)333A A ，故ππ32A ，解得π6A方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）由sin 2A A ，又22sin cos 1A A ，消去sin A 得到：224cos 30(2cos 0A A A ，解得cos 2A，又(0,π)A ，故π6A方法三：利用极值点求解设()sin (0π)f x x x x ，则π()2sin (0π)3f x x x，显然π6x时，max ()2f x ，注意到π()sin 22sin(3f A A A A ，max ()()f x f A ，在开区间(0,π)上取到最大值，于是x A 必定是极值点，即()0cos sin f A A A ，即tan 3A ，又(0,π)A ，故π6A方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）设(sin ,cos )a b A A ，由题意，sin 2a b A A，根据向量的数量积公式，cos ,2cos ,a b a b a b a b，则2cos ,2cos ,1a b a b ，此时,0a b，即,a b 同向共线，根据向量共线条件，1cos sin tan A A A 又(0,π)A ，故π6A方法五：利用万能公式求解设tan 2A t，根据万能公式，22sin 21t A A t整理可得，2222(2(20((2t t t ，解得tan22A t 223tan 13t A t ，又(0,π)A ，故π6A（2）由题设条件和正弦定理sin sin 2sin 2sin sin cos C c B B C C B B ，又,(0,π)B C ，则sin sin 0B C，进而cos 2B ，得到π4B ，于是7ππ12C A B，26sin sin(π)sin()sin cos sin cos 4C A B A B A B B A，由正弦定理可得，sin sin sin a b cA B C ，即2ππ7πsin sin sin6412bc，解得b c 故ABC的周长为2 10．(1)2π3A；(2)选择①无解；选择②和③△ABC【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案；（2）选择①，利用正弦定理得3B，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出sin B 式子得3b ，再利用两角和的正弦公式即可求出sin C ，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到5c，再利用正弦定理得到sin Csin B ，最后利用三角形面积公式即可；【详解】（1）由题意得2sin cos cos B B B，因为A 为钝角，则cos 0B，则2sin B，则7sin sin sin b a BA A，解得sin A ，因为A 为钝角，则2π3A.（2）选择①7b ，则333sin 714142B，因为2π3A ，则B 为锐角，则3B ，此时πA B ，不合题意，舍弃；选择②13cos 14B ，因为B 为三角形内角，则sin B ，则代入2sin 7B得2147，解得3b ， 2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333C A B B B B3131335321421414,则1153153sin 7322144ABC S ab C.选择③sin c Ac 5c ，则由正弦定理得sin sin a c A C 5sin C ，解得sin C ，因为C 为三角形内角，则11cos 14C ，则 2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333B A C C C C3111533321421414，则11sin 7522144ABC S ac B △11．(1)π3B (2)【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出cos ,sin C C ，最后结合已知sin C B 得cos B 的值即可；（2）首先求出,,A B C ，然后由正弦定理可将,a b 均用含有c 的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.【详解】（1）由余弦定理有2222cos a b c ab C ，对比已知222a b c ，可得222cos 222a b c C ab ab，因为 0,πC ，所以sin 0C ，从而sin2C ，又因为sin C B，即1cos2B ，注意到0,πB ，所以π3B .（2）由（1）可得π3B，cos2C ，0,πC ，从而π4C ，ππ5ππ3412A ，而5πππ1sin sin sin12462A，由正弦定理有5πππsin sin sin1234a b c，从而,a b，由三角形面积公式可知，ABC的面积可表示为21113sin222228ABCS ab C c c，由已知ABC的面积为323338c所以c。
平面向量综合练习题
高三数学平面向量综合练习题一、选择题1、设平面向量a =(－2，1)，b =(λ，－1)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是A 、),2()2,21(+∞⋃- B 、(2，+∞)C 、(21-，+∞)D 、(－∞，21-) 2、设a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，则下列为a 与b 共线的充要条件的有 ①存在一个实数λ，使a =λb 或b =λa ；②|a ·b |=|a |·|b |； ③2121y y x x =；④(a +b )//(a －b ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个3、若函数y=2sin(x+θ)的图象按向量(6π，2)平移后，它的一条对称轴是x=4π，则θ的一个可能的值是A 、125πB 、3πC 、6π D 、12π 4、ΔABC 中，若BC BA AC AB ⋅=⋅，则ΔABC 必约A 、直角三角形B 、钝角三角形C 、锐角三角形D 、等腰三角形5、已知ΔABC 的三个顶点A 、B 、C 及所在平面内一点P 满足AB PC PB PA =++，则点P 与ΔABC 的关系是A 、P 在ΔABC 内部B 、P 在ΔABC 外部C 、P 在直线AB 上D 、P 在ΔABC 的AC 边的一个三等分点上6、在边长为1的正三角形ABC 中，a BC =，AB c =，CA b =，则a c c b b a ⋅+⋅+⋅=1、已知a =(cos θ，sin θ)，b =(3，－1)，则|2a －b |的最大值为____________2、已知P(x ，y)是椭圆1422=+y x 上一点，F 1、F 2是椭圆的两焦点，若∠F 1PF 2为钝角，则x 的取值范围为________________3、设m =(a,b)，n =(c,d)，规定两向量m, n 之间的一个运算“×”为m×n =(ac －bd ，ad+bc)，若已知p =(1，2)，p×q =(－4，－3)，则q =____________ 4、将圆x 2+y 2=2按a =(2，1)平移后，与直线x+y+λ=0相切，则实数λ的值为____________三、解答题1、6、已知a =(cos α，sin α)，b =(cos β，sin β)，0<α<β<π。
高中数学(平面向量)综合练习含解析
高中数学(平面向量)综合练习含解析1．在△ABC 中，AB c ，AC b ．若点 D 满足BD 2DC ，则AD （）A．2 1b c B．3 35 2c b C．3 32 1b c D．3 31 2b c3 32．已知OA 1, OB 3 ，OA OB 0 ，点 C 在AOB 内，且AOC 30 ，OC mOA nOB m,n R ，则mn等于（）A．3 B．13C．33D． 33．若向量a,b,c 满足a∥b，且a c，则c a 2b （）A．4 B．3 C．2 D．04．已知向量m (a, 2), n (1,1 a) ，且m∥n，则实数a （）A． 1 B．2 或 1 C．2 D． 25．已知向量a (1,2) ，向量b (x, 2) ，且a(a b) ，则实数x等于A． 4 B．4 C．0 D． 96．已知| a| ＝1，| b | ＝ 2 ，且a (a b)，则向量a与向量b 的夹角为（）A． B ． C ． D ．6 4 3 2 37．已知平面向量a，b 满足a a b 3 ，且 a 2 ，b 1，则向量a与b 夹角的正弦值为（）A．12B ．32C ．12D ．328．在平行四边形ABCD 中，AD 2 ，BAD 60 ，E为CD 的中点．若AD BE 1，则AB 的长为( )A． 6 B ．4 C ．5 D ．69 ．O 为平面上的定点， A ， B ， C 是平面上不共线的三点，若(OB OC ) (OB OC 2OA) 0，则ABC 是（）A．以AB为底面的等腰三角形B．以BC为底面的等腰三角形C．以AB为斜边的直角三角形D．以BC为斜边的直角三角形试卷第 1 页，总 4 页10．在ABC 中，则有（）1MB AB ，且对AB边上任意一点N，恒有NB NC MB MC ，4A．AB BC B ．AB ACC．AB AC D ．AC BC11．点P是ABC 所在平面内的一点，若CB PA PB( R) ，则点P在（）A．ABC 内部B．AC边所在的直线上C．AB边所在的直线上D．BC边所在的直线上12．在ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b ，c，c b 6，c b a 2 ，且O 为此三角形的内心，则AO CB （）A．4 B ．5 C ．6 D ．713．在ABC 中，BC a, AC b,| a|2,| b| 3,a b 3则∠C的大小为（）A．30 B ．60 C ．120 D ．15014．在ABC 中，A、B 、C 的对边分别为a、b 、c，且b c o s C 3 a c o s B c o s B ，BA BC 2，则ABC 的面积为（）A． 2 B ．32C ．2 2D ．4 215．若非零向量a, b满足| a b | | a b | 2 | a |，则向量b与a b 的夹角为.16．在平面直角坐标系中，设M , N,T 是圆C : 2 2(x 1) y 4上不同三点，若存在正实数a,b，使得CT aCM bCN ，则3 2 2 1a ab ab ba的取值范围为．17．已知向量a (1, 3) ，向量a,c 的夹角是3 ，a c 2，则|c|等于．18．已知正方形ABCD ，过正方形中心O的直线MN 分别交正方形的边AB ,CD 于点2MNM、N ，则最小值为_________________．2BN19．若a,b均为非零向量，且a 2b a, b 2a b ，则a,b的夹角为．120．在等腰梯形ABCD中，已知AB//DC，∠ABC=60°，BC=2AB=2，动点 E 和F 分别在线段BC和DC上，且BE = BC ，DF =12DC ，则AE ·BF 的最小值为．试卷第 2 页，总 4 页21．已知ABC 是边长为 1 的正三角形，动点M 在平面ABC内，若AM AB 0，|CM | 1，则CM AB的取值范围是．22．向量a (1,1)，且a与a b 的方向相反，则 a b的取值范围是．23．如图，在三棱锥中 D ABC 中，已知AB 2，AC BD 3，设AD a，BC b ，CD c ，则2cab 1的最小值为．24．已知 A 点坐标为( 1,0) ，B 点坐标为(1,0) ，且动点M 到A 点的距离是 4 ，线段MB 的垂直平分线l 交线段MA 于点P ．（1）求动点P 的轨迹C方程．（2）若P是曲线C上的点，，求k PA PB 的最大值和最小值．25．△ABC中，内角为A，B，C，所对的三边分别是a，b，c，已知 2b ac ，cos3 B ．4（1）求1 1 tan A tan C；（2）设BA·3BC , 求a c．226．已知函数 f x1x 1，点O为坐标原点, 点A n n, f n (n N *) ,向量i0,1 ，cos cos cosn 是向量OA n 与i的夹角，则 1 2 2016sin sin sin1 2 2016的值为．27．已知向量3a (sin x, ),b (cos x, 1).2试卷第 3 页，总 4 页（1）当a//b时，求22cos x sin2x的值；（2）求f(x)(a b)b在,02上的值域．2y2DX Ey F28．如图，在平面直角坐标系中，方程为x0的圆M的内接四边形ABCD的对角线AC和BD互相垂直，且AC和BD分别在x轴和y轴上．（1）若四边形ABCD的面积为40，对角线AC的长为8，AB AD0，且ADC为锐角，求圆的方程，并求出B,D的坐标；（2）设四边形ABCD的一条边CD的中点为G，OH AB，且垂足为H，试用平面解析几何的研究方法判断点O、G、H是否共线，并说明理由．29．在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2)，点P(x,y)在ABC中三边围成的区域（含边界）上，且OP AB AC(,R)．（1）若23，求OP；（2）用x,y表示并求的最大值．30．已知椭圆22x yC:1(a b0)22a b,过左焦点F1(1,0)的直线与椭圆C交于M、N两点，且F2MN的周长为8；过点P(4,0)且不与x轴垂直的直线l与椭圆C相交于A、B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）求OA OB的取值范围；（3）若B点关于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点．试卷第4页，总4页参考答案1．C【解析】试题分析：如图所示，在ABC 中，AD AB BD又BD 2DC ，2 2 2 2 1BD BC BC AC AB b c AD AB BC c b c b c3 3 3 3 3故选C．考点：向量加法2．A【解析】试题分析：如图所示，建立直角坐标系．则OA 1,0 ,OB 0, 3 ,．故选 B∴, 3 , tan 30 3n 3 m 3OC mOA nOB m nm 3 n考点：共线向量【名师点睛】本题主要考查了共线向量及向量的模等知识，属基础题．解题时对一个向量根据平面向量基本定理进行分解，关键是要根据平行四边形法则，找出向量在基底两个向量方向上的分量，再根据已知条件构造三角形，解三角形即可得到分解结果．3．D【解析】试题分析：设 a b ，则由已知可得c (a 2b) c a c (2b) c a c (2 b) 2 1 c a 0考点：向量的运算4．B【解析】试题分析：由已知m∥n，则a (1 a) 2 1 a2 a 2 0 a 1,a 2考点：共线向量5．D答案第 1 页，总13 页【解析】试题分析： a b 1 x,4 由a(a b) 1,2 1 x,4 1 x 8 0 x 9考点；向量垂直的充要条件6．B【解析】试题分析：由题意得 2 a b 2a (a b) 0 ab a 1 cos a,b| a | | b | 2r ，所以向量a与r向量b的夹角为 4 ，选Ｂ．考点：向量夹角7．D【解析】试题分析：2 1 2a ab 3 a a b 3 a b 1 cos a,b a,b .2 3选D．考点：向量夹角8．D【解析】试题分析：1 1AD BE AD（BA+ AD DE) AD（- AB +AD AB) AD（AD AB)2 21 14 2 AB cos 4 AB 12 3 2，因此AB 6. 选D．考点：向量数量积9．B【解析】试题分析：设BC 的中点为 D ，∵(OB OC) (OB OC 2OA) 0 ，∴CB (2OD 2OA )0，∴CB 2AD 0，∴C B AD ，故△A BC的B C边上的中线也是高线．故△ABC是以BC为底边的等腰三角形，故选B．考点：三角形的形状判断．10． D【解析】试题分析：以 A 为原点，AB 为x轴，建立直角坐标系，设B(4,0), C(a,b) ，N ( x,0) ，则M (3,0) ，MB MC (1,0) (a 3,b ) a 3 ，答案第 2 页，总13 页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
平面向量综合练习(含答案)
平面向量(1)如果a , b是两个单位向量，则下列结论中正确的是的值为(7) 在长江南岸渡口处，江水以12.5km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h .渡船要垂直地渡过长江，则航向为_______________________ .(8) 三个力F1 , F2 , F3的大小相等，且它们的合力为0,则力F2与F3的夹角为______________ .(9) 用向量方法证明：三角形的中位线定理.UUU UJU UUUT (10)已知平面内三点A、B、C三点在一条直线上，OA ( 2, m), OB (n,1) , OC (5, 1),UUU 且OA UUUOB，求实数m , n的值.(A) a b (B) a b = 1 2 , 2(C) a b (D) aUJUT UJU (2)在四边形ABCD中，若AC AB uuurAD，则四边形ABCD的形状一定是()(A)平行四边形(B)菱形(C)矩形(D)正方形(3) 若平行四边形的3个顶点分别是(4,2),( 5,7),( 3,4),则第4个顶点的坐标不可能是()(4)(5) (A)( 12，5)(B) (-2 ，9)(C) (3，7)(D) (-4，-1)已知正方形ABCD的边长为1,UUUAB a ,UUT UUTBC b, AC c,则a b c等于(A) 0 (B) 3 (D) 2、2已知a3，b 4，且向量b不共线, 若向量a k b与向量a k b互相垂直，则实数k UUU(6)在平行四边形ABCD中，ABuuu UUU a , CB b ,O为AC与BD的交点，点M在BD 上, BM1UULT-OD，ULUU则向量BM用a，b表示为ULUU；AM用a，b表示为uuu(11)已知点o 、A 、B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且 0P(A)点P 在线段AB 上 (B)点P 在线段AB 的反向延长线上(C)点P 在线段AB 的延长线上(D)点P 不在直线AB 上uuu uuu uur(12)已知 D 、E 、F 分别是三角形ABC 的边长的边BC 、CA 、AB 的中点，且BC a , CA b ,AB c ,uuu 1 1uuu1 uuu 11uuu uuu uuu则①EF cb ，② BE a -b ，③ CF— a -b ，④ AD BE CF 0 中正确的等式2 222 2的个数为 ()(A ) 1(B ) 2(C ) 3(D) 4(13)已知向量a (1,5) ,b(3, 2)，则向量 a 在b 方向上的投影为uuuuuuuuuu(14)已知OA a ，OB b ，点M 关于点A 的对称点为S,点S 关于点B 的对称点为N,则向量MN 用a 、b 表示为______________________________ . (15)已知向量a (m 2, m 3), b (2m 1, m 2)，若向量a 与b 的夹角为直角，则实数m 的值为 ___________________ ；若向量a 与b 的夹角为钝角，则实数 m 的取值范围为 __________________求CA CB 的最小值及取得最小值时 cos ACB 的值.uuu uuu30A 0B，则()2LULT (16)已知OP uuu (2, 1) , OAuuu(1,7) , OB (5, 1)，点O 为坐标原点，点 C 是直线OP 上一点,UJU UULU UJU UJU (17)如图，点A「A2是线段AB的三等分点，求证：OA i OA OA OB (1)般地，如果点A1, A2，…A n 1是AB的n (n 3)等分点，请写出一个结论，使(1)为所写结论的一个特例•并证明你写的结论.(18)已知等边三角形ABC的边长为2, O A的半径为1, PQ为O A的任意一条直径,UUU UUIU UUU UUU(I)判断BP CQ AP CB的值是否会随点P的变化而变化，请说明理由;UUU UUU(n)求BP CQ的最大值.A参考答案或提示: （三）平面(1) D (2) A ( 3) C (4) D (5)(6)-a - b 6；5a - b ; ----6（7）北偏西30°(8) 1200(9)略(10)(1)由单位向量的定义即得 al b1，故选（D ）.uuur uuu uuruuur uuu uuuruuur uuur(2) 由于 AC AB AD ,AC AB AD ，即BC AD ，•线段BC 与线段AD等,••• ABCD 为平行四边形，选 (A).(3) 估画草图知符合条件的点有三个，这三个点构成的三角形三边的中点分别为已知的三点 略解或提示: 平行且相 于符合条件的三点分别位于第一象限、第二象限和第三象限，则排除（ 一象限只有一个点，且位于点（ 5, 7）的右侧，则该点的横坐标要大于由 B ）、（ D ）,而符合条件的点第 5，•排除（A ）,选（C ）. (4) 由于a be 2c •- a be 2c 2 2 , •••选(D ). (5) k b 与向量a k b 互相垂直，则（k b) (a k 2b 2, 依题意, 又OD (8)而a 2 a 2 9, b 2 uiur 1 uur••• BM -OD 而（3 uuuu uuu uuu • AMAB BM uuu 如图，渡船速度 OB 向量a (6) (7) 3 4 uuu i 1 uuu BD , • BM 2 5a - b6 uu u BD6 1 ujur 6(ADuuu AB) 1 iuu 6(B Cuuu AB) -a - b ； 6水流速度OA ，船实际垂直过江的速度uu u OA uur 12.5 , OB uuir 25 ,由于OADB 为平行四边形，贝V BD BD ，•在直角三角形 OBD 中，/ BOD = 30o ，•航向为北偏西 过点 uuu O 作向量OA 、 uuiu uur OB 、OC ，使之分别与力F 1 , F 2 , F 3相等，由于 F 1 , F 2 ,F 3的合力为 0 ,则以OC 、 OB 为邻边的平行四边形的对角线 OD 与OA 的长度相等，又由于力 F !，F 2， F 3的大小相等, • OA OB OC ，则三角形OCD 和三角形OBD C均为正三角形，• COB120o ，即任意两个力的夹角均为 120o .OUULT (9) 解：由于DE uu u CEuuur CD ，而 uuuCE LUU 1 UUU •- DE -CB 2 1 uu u -CA 2 1 uuu 尹uuu CA) 1 UU U -CB , 2 1 uuu -AB 2 uu uCD 1 uur-CA 2C(10)由于O 、A 、B 三点在一条直线上，则uuur AC //uurAB ，而uuur AC uur uuu OC OA(7, 1m),UUU UUU UUUuuu uurAB OB OA (n 2, 1 m) • 7(1 m)( 1 m)( n 2) 0，又 OA OB ,2n m 0则 DE // AB ，且 DE 3 m 联立方程组解得 6 或 1 一 AB ，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边长的一半. 2 (11)B (12 )C (13) 3 (14) 2 b 2a 13 (15)4或2；35.5 2 11^,2)(16) 8,4 1717 (17 )答案不唯 uujr 如OA ULU ULTOAn 1uuu u OA 2 ULUL UU OA n 2uu OA uu OB 或UULT LULU OA OA 2 LUU ULT OAn 1 n 1 uur uuu (OA OB) uuu (18) (I) BP uu u CQ uu u AP uu uCB 略解或提示: (11)由于 uuu 2OP uuu 3OA uuu OB , uuu uuu • 2OP 2OAuu u OA uu u OBUUU ，即 2AP uur BA ,• AP UJ U 1 uur-BA , 2则点P 在线段AB 的反向延长线上, UUT (12)v EF (B). uuu 由于BE uu uBC 1 UU U CB2 uuu CE a，又a 2 uuu BC uuu b c 0 ,• E Fuuur • CF UU LT AD uu u BE uu u CF 1 uur CA 2 1a -b ，即②是正确的；同理 2 1 b ,即③是正确2 c) 即④是正确的.选( C ). a 在b 方向上的投影为 CO S丄b ,2uuu CF即①是错误的;1尹uuur ADb b _(14 ) 由于A 为SM 中点， B 为 UUU 1 OB - 2 uu uur uuu (OS ON)，两式相减得 OB uuuu • MN uur uuu uuuu2(OB OA), • MN 2b设a 与b 的夹角为 ，则向量 (13) SN 中点，• 2a.uu u OA1 UUT 1(ON uu uOA1 uuu 評Suuur OM), uuuuOM), 173 吊-uuuu 也可直接根据中位线定理MN uuu2AB 2b 2a .(15)若a 与b 的夹角为直角, 则 a b 0，即(m 2)(2m 1) (m 3)(m 2) 若向量a 与b 的夹角为钝角，则 a b 0，且a 与b 不共线，则(m 2)(2m 1) (m 3)(m 2) 0,且(m 2)( m 2) (m 3)(2m 1) 0, 4 解得- 3 55 11^5 或 — 2 2 11 (16)由于点 C 是直线OP 上一点，设点 C (2m, m) uur CA uuu (1 2m, 7 m) ,CB (5 2m,1 m), uu u CA uu u CB2 5(m 2) 8 , • m uuu uuu CA CB 的最小值为 8 ;而m 2时, uuu CA(3,5)， uuu CB (1, 1), cos uuu 2时, 4、万 uu uuuu 同理OA 2 uuir AA 1 uuu — AB , 3 UULT •- OA 1 uuu OA uur AA uuu OA 1 uuu AB3 uuuOAuuuir uuu uur uuur uuuir uuu uuu uuu 2OB OA m 2OB OA OB 2OA (17)解: 3 3 3 1 uuu 1(OB uuuOA) uuu OBuu 2OA uuu uuuOA OB ;uur uiuur 一般结论为 OA OA n 1uuuu OA uuiuuu OA L uur OA uuu OB UUU k UUU 证明：：AA , AB , •uuu OA k UJU OA uuuu AR uur OA k^ AB , nn k uu u OA uuu OA uuuui u 而OA n uuiuu AA n kuuuu • • OAk uuuuuuOAn kuuu OA 注：也可以将结论推广为 UJI T OAk uuu UUU uuu k uuuAB OA AB AB n uuu k uur OB ABn uuuu OA , uu u OA n uuu OB uuuuirOA n 1uuu (OA uu u OB uuu OB) k uuu -AB n证明类似，从略. uuu uuur uuu uuu (18) (I)由于 BP CQ AP CB uuu (AP uuu AB) uuur (AQ uuur ACuuu )A P uuu (AB uuurAC), uuur 而AQuuu AP ,uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuuUU U uuu u ur则BP CQ AP CB (AP AB)( AP AC) AP (AB AC) APAB A C1uuu U ULT uuu uuruuu 2 uuu AB AC AB AC cos ABC 2 , AP AP 2 uuu 二 BPuur CQ uuu uu AP CB uuu 2 AP uu AB uur AC 1,uu u BP uuur uuu CQ AP uuuCB 的值不会随点 P 的变化而变化; uuu uur uuu (n)由于 BP CQ AP mu CB uuu 1 , ••• BP uur CQ uuu uuu1 AP CB , uuu uuu :AP CBuuu uuuuuu uuu ••• AP CB uuu uuu AP CB2 (等号当且仅当 uu u uuu uuu AP CB cos AP,CB uuu AP 与CB 同向时成立)，• BP uu u CQ 的最大值为3.。
平面向量及其应用全章综合测试卷(基础篇)(教师版)
D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同
【解题思路】根据零向量的方向是任意的； ⋅ = ⋅ , ≠ 0 ，则 = 或 与, 都垂直；长度相等的向
量是相等向量或相反向量；即可解决.
【解答过程】零向量的方向是任意的，故 A 错；
若 ⋅ = ⋅ , ≠ 0 ，则 = 或 与, 都垂直，故 B 错；
13．（5 分）（2024·高一课时练习）下列各量中，向量有： ③⑤⑥⑧⑩
．（填写序号）
①浓度；②年龄；③风力；④面积；⑤位移；⑥人造卫星的速度；⑦电量；⑧向心力；⑨盈利；⑩加速
度．
【解题思路】根据向量的概念判断即可.
【解答过程】解：向量是有大小有方向的量，故符合的有：风力，位移，人造卫星的速度，向心力，加速
A．1
B．2
）
C． 2
D． 3
1
【解题思路】由正弦定理及余弦定理得cos = 2，然后利用余弦定理结合三角形的面积公式，即可求解.
【解答过程】∵sin2 + sin2−sinsin = sin2，
∴2 + 2− = 2，cos =
2 2−2
2
1
= 2，可得sin = 1−cos2 =
∵2 + 2− = ( + )2−3 = 2， + = 4， = 2，
∴ = 4，
1
1
所以三角形的面积为 = 2sin = 2 × 4 ×
3
2
= 3.
故选：D.
二．多选题（共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分）
9．（5 分）（2024·高一课时练习）下列说法中正确的是（
【解答过程】由题设sin = 1−cos2 =
(完整版)平面向量综合检测、解析及答案
平面向量综合检测、分析及答案一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1. 平面向量a与b的夹角为 60°，a＝(2,0)，|b| ＝1，则 | a＋2b| ＝ ()A. 3B．2 3C．4D．12分析： | a＋2b| ＝( a＋2b) 2＝4＋4＋4＝2 3.答案： B2. 已知 |a| ＝1，|b| ＝6，a·(b －a) ＝2，则向量 a 与 b 的夹角是 ()ππA. 6B. 4ππC. 3D. 2分析：由 a·(b－a)＝2得 a·b＝2＋1＝3＝6×cos<a，b>，∴cos<a，1b>＝2，又<a，b>∈[0，π]，π∴<a，b>＝3.答案： C3.一质点遇到平面上的三个力 F1、F2、F3( 单位：牛顿 ) 的作用而处于均衡状态．已知 F1、F2 成 60°角，且 F1、F2 的大小分别为 2 和 4，则 F3 的大小为()A．2 7B．2 5C．2D．6分析：由题意得 F1＋F2＋F3＝0.答案： A4.(2009 ·福建福州模拟 ) 把一颗骰子扔掷两次，并记第一次出现的点数为 a，第二次出现的点数为b，向量 m＝ (a ，b) ，n＝(1,2) ，则向量 m与向量 n 不共线的概率为 ()15A. 12B. 12711C.12D. 12分析： m 与 n 共线的情况共有三种： m ＝(1,2) ，m ＝(2,4) ，m ＝(3,6) ，3 11故 m 与 n 不共线的概率 P ＝1－36＝12.答案： D5. 已知向量 a ＝(λ2＋6和 j ＝(0,1) ，若 a ·j ＝－ 3，3 ，λ) ，i ＝(1,0)且向量 a 与 i 的夹角为 θ，则 cos θ 的值为 ()3 3A ．－ 2 B. 2 1 1 C ．－2 D. 2答案： Buuur uuur uuur uuur)6．四边形 ABCD 中，AB · BC ＝0，且 AB ＝ DC，则四边形 ABCD 是( A ．平行四边形 B ．矩形 C ．菱形 D ．正方形 uuuruuuruuur分析：由AB ＝可知为平行四边形，由 AB ·BC ＝0 知∠＝DCABCDABC90°，故 ABCD 为矩形．答案： B7．设 a 与 b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－ (b －2a) 共线，则λ＝ ( )1A ．0B ．－ 21C ．－ 2D.2分析：由题意得 a ＋λb ＝－ k ( b －2a ) ∴2k ＝1,，＝－ k1∴λ＝－ 2. 答案： B8. 设向量 a ，b 知足： |a| ＝3，|b| ＝4，a ·b ＝0，以 a ，b ，a －b 的模为第2页共 8页分析：三角形的内切圆半径为 1，将圆平移，最多有 4 个公共点． 答案： B9．设 a ，b ，c 是非零向量，以下命题中正确的选项是 ( )A ．( a ·b ) ·c ＝a ·(b ·c )B ．| a －b | 2＝| a | 2－2| a || b | ＋| b | 2C ．若 | a | ＝| b | ＝| a ＋b | ，则 a 与 b 的夹角为 60°D ．若 | a | ＝| b | ＝| a －b | ，则 a 与 b 的夹角为 60°分析：A 、B 明显不正确． 由平行四边形法例可知， 若| a | ＝| b | ＝| a ＋b | ，可知 <a ，b >＝120°，故 C 不正确．答案为 D.答案： D10. 设 a 、b 、c 是单位向量，且 a ·b ＝0，则 (a －c) ·(b －c) 的最小值为()A ．－ 2B. 2－2C ．－ 1D ．1－ 2分析：( a －c ) ·(b －c ) ＝a ·b －b ·c ＋c 2－a ·c ＝1－( a ＋b ) · c ，又 a ·b＝0，| a | ＝| b | ＝1，∴|a ＋b | ＝ 2.设 a ＋b 与 c 的夹角为 θ，则上式＝ 1－2cos θ当 cos θ＝1 时( a －c ) ·(b －c ) 获得最小值 1－ 2. 答案： Duuur uuuruuur11．点 O 在△ABC 内部且知足 OA ＋2 OB ＋2 OC＝0，则 △ABC 的面积与△OBC 的面积之比为 ( )5A.4 B ．3 C ．4 D ．5uuuruuuruuur1 uuuruuur1 uuur分析：由 OA ＋2 OB ＋2OC ＝0，∴2( OB ＋ OC ) ＝4AO ，∴△ABC△OBC底边 BC 的高之比为 5 1，∴ S △ABC S △OBC ＝5 1.答案： D12．在直角 △ABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，则以下等式不建立的是( )uuur2uuuruuurA ．| AC | ＝AC· AB uuur2uuuruuurB ．|BC | ＝BA · BCuuur 2uuuruuurC ．| AB | ＝AC · CDuuurD ．| CD |uuur uuuruuur uuur2 （ACgAB ）（BA gBC ） ＝uuur 2ABuuur uuur uuur分析：∵AB ·AC ＝| ACuuur uuur uuur uuur（AC gAB ）（BA gBC ）同理：uuur 2AB| 2 uuuruuur 2，故 B 建立．故 A 建立，又 BA ·BC ] ＝| BC |uuur uuurACBA＝uuur 2ABuuuruuur uuuruuur又| AC |·|BC | ＝| AB || CD |uuuruuuruuuruuur uuuruuur 2ACACuuur 2∴|CD |2 ＝uuur2，故 D 也正确．，又AC ·CD ＝| CD≠|| ，故AB AB选 C.答案： Cm13．设两个向量 a ＝( λ＋2，λ2－cos2α) 和 b ＝(m ，2＋sin α) ，此中λλ， m ，α 为实数，若 a ＝2b ，则 m 的取值范围是 ()A ．[ －6,1]B ．[4,8]C ．[ －1,1]D ．[ －1,6]＋ ＝①,分析：由 a ＝2b 知2 2m,2－2＝ ＋ ②)cos m 2sin , ＝2m －2,∴2－m ＝ cos 2 ＋2sin又 cos 2α＋2sin α＝－ (sin α－1) 2＋2∴－ 2≤cos 2 α＋2sin α≤2，即－ 2≤ λ2－m ≤2，由 λ＝2m －22 1 －2≤(2 m －2) －m ≤2，得 4≤m ≤2λ 2m －22∴＝＝2－ ∈[ －6,1] ． mm m答案： A二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上．uuur uuur uuur uuuruuuur14．在? ABCD 中， AB ＝a ，AD ＝b ，AN＝3 NC ，M 为 BC 的中点，则 MNuuur uuur分析：由 AN ＝3 NC 得 4 AN ＝3 AC ＝3( a ＋b ) ．uuuur1AM ＝a ＋2b ，uuuur 3111∴ MN ＝4( a ＋b ) －( a ＋2b ) ＝－ 4a ＋4b .1 1答案：－ 4a ＋4b711715．向量 c 与 a ＝( 2，2) ，b ＝( 2，－ 2) 的夹角相等，且 |c| ＝1，则 c ＝________.x2＋ 2＝分析：设 c ＝( x ，y ) ，由题意得：y 1,得 ＝bgcagcx= 4 , x=-455 ,y= 3 y=- 355434 3答案： ( 5，－ 5) 或( －5，5)16．已知点 G 为△ABC 的重心，过 G 作直线与 AB 、AC 两边分别交于 M 、Nuuuur uuur uuur uuur 1 1两点，且 AM ＝xAB ， AN ＝ y AC ，则 ＋ ＝________.xyuuur1 uuuruuur1 1 uuuur1 uuur1分析： AG ＝3( AB ＋ AC ) ＝3( x AM ＋y AC ) ，∵M 、N 、G 三点共线， ∴3x11 1＋3y ＝1，即 x ＋y ＝3.答案： 317. 如图，在平面斜坐标系 xOy 中， ∠xOy ＝60°，平面上任一点 P 在斜uuur OPuuur轴方向同样的单位向量 ) ，则点 P 的斜坐标为 (x ，y) ．若点 P 知足 |OP| ＝1，则点 P 在斜坐标系 xOy 中的轨迹方程是 ________．uuuruuur22122又| OP | ＝1，∴ x ＋y ＋2xy ×2＝1，即 x ＋y ＋xy ＝1. 答案： x2＋y2＋xy ＝1三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．uuur uuur uuur uuur uuur18．(10 分) 在△ ABC 中， AB · AC ＝ | AB － AC | ＝2，求|AB|2 ＋| AC|2. 解：由题意可知uuur uuuruuurABgAC 2uuur 2 uuur2＝8.2 uuur uuur uuur 得| AB | ＋| AC| AB2 ABgAC AC 4uuuruuuruuuruuur uuur19．(12 分) 如图 |OA| ＝|OB|＝1，| OC|＝3，∠AOB ＝60°，OB ⊥ OC.uuuruuuruuur设 OC ＝x OA ＋y OB，求 x 、y 的值．uuur uuur uuur解： ∵ OC ＝x OA ＋y OB uuur 2uuur uuur uuur uuur①∴ OB · OC ＝x OA · OB＋y OBuuur 2uuur uuur uuuruuurOC ＝x OA· OC ＋y OB · OC ②将①②联立得12x ＋y ＝0332×( － 2 ) x ＝3 得 x ＝－2,y ＝1π20．(12 分 ) 已知 a ，b 知足 |a| ＝3，|b| ＝ 1，a 与 b 的夹角为 3 ，求 2a＋3b 与 a －b 的夹角的余弦值．1 3解： ∵a ·b ＝| a || b |cos< a ，b >＝3×1× 2＝2又(2 a ＋3b ) 2＝4a 2＋9b 2＋12a ·b ＝36＋9＋18＝63， ∴|2 a ＋3b | ＝3 7.同理可得 | a －b | ＝ 7 ∵ (2 a ＋3b ) ·(a －b ) ＝2a 2＋a ·b －3b 23 33 ＝18＋2－3＝ 2＋ · －333b )211(2 a( a b ) ＝∴cos 〈 (2 a ＋3b ) ，( a －b ) 〉＝a －b | ＝ .|2 a ＋3b ||37·7 1421．(12 分) (2009 ·上海 ) 已知 △ABC 的角 A 、B 、C 所对的边分别为 a ，b ，c ，设 m ＝(a ，b) ，n ＝(sinB ，sinA) ，p ＝(b －2，a －2)(1) 若 m ∥n ，求证 △ABC 为等腰三角形；π(2) 若 m ⊥p ，边长 c ＝2，∠C ＝ 3 ，求 △ABC 的面积． 解： (1) 证明：∵ m ∥n ，∴ a sin A ＝b sin B .由正弦定理得 a 2＝b 2，a ＝b ，∴△ ABC 为等腰三角形． (2) ∵m ⊥p ，∴ m ·p ＝0. 即 a ( b －2) ＋b ( a －2) ＝0 ∴a ＋b ＝ab由余弦定理得 4＝a 2＋b 2－ab ＝( a ＋b ) 2－3ab 即( ab )2－3ab －4＝0，∴ ab ＝4 或 ab ＝－ 1( 舍)11 π∴S △ABC ＝2ab sin C ＝2×4×sin 3 ＝ 3.uuur uuuruuur22．(12 分) 已知 OA ＝(3 ，－ 4) ， OB ＝ (6 ，－ 3) ， OC＝(5 －m ，－ 3－m)．(1) 若点 A 、B 、C 不可以组成三角形，务实数 m 知足的条件；(2) 若△ABC 为直角三角形，务实数 m 的值．解： (1) uuur uuur∵ OA ＝(3 ，－ 4) ， OB ＝(6 ，－ 3)uuurOC ＝(5 －m ，－3－m ) ．若 A 、B 、C 三点不可以组成三角形， 则这三点共线，uuur∵ AB ＝(3,1)uuur1AC ＝(2 －m,1－m ) ，∴ 3(1 － m ) ＝2－m ，得 m ＝2(2) ∵△ ABC 为直角三角形．uuuruuur7若∠ A ＝90°，则 AB · AC ＝0，∴ 3(2 － m ) ＋(1 －m ) ＝0，得 m ＝4.uuuruuuruuur若∠ B ＝90°，则 AB · BC ＝0，又 BC ＝( －1－m ，－ m )3∴ 3( －1－m ) ＋( －m ) ＝0 得 m ＝－ 4.uuur uuur若∠ C ＝90°，则 BC ⊥ AC .1± 5∴(2 －m ) ·( － 1－m ) ＋(1 －m ) ·( －m ) ＝0，得 m ＝2731±5综上得 m＝4或 m＝－4或 m＝223．(12 分) 已知 a＝(1,2) ，b＝( －2,1) ，k、t 为正实数， x＝a＋(t2 ＋1 11)b ，y＝－k a＋t b(1)若 x⊥y，求 k 的最大值；(2)能否存在 k、t ，使 x∥y？若存在，求出 k 的取值范围，若不存在，说明原因．解： x＝a＋( t 2＋1) b＝(1,2)＋( t 2＋1)(－2,1)＝(－2t2－1，t2＋3)1111y＝－k a＋t b＝－k(1,2)＋t(－2,1)1 2 2 1＝( －k－t，－k＋t )2 1 22 2 1(1) 若x⊥y，则x·y＝ 0，即：( －2t－1) ·( －k－t ) ＋( t＋3)( －k＋t )＝0t111整理得：k＝t2＋1＝1≤2(当且仅当t＝t即t＝1时“＝”建立)故k maxt＋t1＝2.(2)假定存在正实数 k、t ，使 x∥y，则221212( －2t－1)(－k＋t ) －( t＋3)( －k－t ) ＝0t 2＋113整理得k＋t＝0，即t＋t ＋k＝0∵k、t 为正实数，故知足上式的k、t 不存在．即不存在这样的正实数k、t 使 x∥y.。
平面向量的计算与性质综合练习题
平面向量的计算与性质综合练习题为了准确满足标题描述的内容需求，并保持整洁美观的排版，我将以练习题的形式呈现平面向量的计算与性质。
以下是一系列综合练习题，以帮助您更好地理解和掌握平面向量的相关概念和运算方法。
综合练习题一：1. 已知向量 $\overrightarrow{a} = \begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}$, $\overrightarrow{b} = \begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}$ 和$\overrightarrow{c} = \begin{bmatrix}4\\5\end{bmatrix}$，求$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}$。
2. 已知向量 $\overrightarrow{d} = \begin{bmatrix}3\\-2\end{bmatrix}$ 和 $\overrightarrow{e} =\begin{bmatrix}5\\4\end{bmatrix}$，求 $\overrightarrow{d} \cdot\overrightarrow{e}$ 和 $|\overrightarrow{d}| \cdot |\overrightarrow{e}|$。
3. 若 $\overrightarrow{f} = \begin{bmatrix}x\\2\end{bmatrix}$，已知$\overrightarrow{f}$ 的模长为 5，求 $x$ 的值。
综合练习题二：1. 设 $\overrightarrow{a} = \begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}$，$\overrightarrow{b} = \begin{bmatrix}-3\\4\end{bmatrix}$，$\overrightarrow{c} = \begin{bmatrix}5\\1\end{bmatrix}$，求$\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$。
(word完整版)高中数学必修4平面向量综合练习题
数学必修 4 平面向量综合练习题一、选择题【共 12 道小题】1、以下说法中正确的选项是 ()A. 两个单位向量的数目积为1B. 若 a·b=a·c且 a≠0, 则 b=cC. D. 若 b⊥c, 则(a+c) ·b=a·b参照答案与分析 : 分析： A 中两向量的夹角不确立 ;B 中若 a⊥b,a ⊥c,b与 c 反方向则不建立 ;C 中应为;D 中 b⊥c b·c=0, 因此 (a+c) ·b=a·b+c·b=a·b.答案： D主要观察知识点 : 向量、向量的运算2、设 e 是单位向量 ,=2e,=-2e,||=2, 则四边形 ABCD是 ()A. 梯形B. 菱形C. 矩形D. 正方形参照答案与分析 : 分析：, 因此 ||=||,且 AB∥CD,因此四边形ABCD是平行四边形 .又因为 ||=||=2,因此四边形 ABCD是菱形 .答案： B主要观察知识点 : 向量、向量的运算3、已知 |a|=|b|=1，a 与 b 的夹角为90°, 且 c=2a+3b ，d=ka-4b, 若 c⊥d, 则实数 k 的值为 ()A.6B.-6C.3D.-3参照答案与分析 : 分析：∵ c⊥d, ∴c·d=(2a+3b) ·(ka-4b)=0, 即 2k- 12=0, ∴k=6.答案： A主要观察知识点 : 向量、向量的运算4、设 0≤θ＜ 2π, 已知两个向量=(cos θ， sin θ),=(2+sin θ， 2- cosθ) ，则向量长度的最大值是 ()A. B. C.D .参照答案与分析 : 分析：=(2+sin θ - cosθ,2 - cosθ - sin θ),因此 ||=≤=.答案： C主要观察知识点 : 向量与向量运算的坐标表示5、设向量 a=(1,-3) ， b=(-2,4)， c=(-1,-2)，若表示向量4a、 4b-2c 、 2(a-c)、d 的有向线段首尾相接能组成四边形，则向量 d 为 ()A.(2,6)B.(-2,6)C.(2,-6)D.(-2,-6)参照答案与分析: 分析：依题意,4a+4b-2c+2(a-c)+d=0,答案： D主要观察知识点: 向量与向量运算的坐标表示6、已知向量a=(3 ， 4) ， b=(-3 ，1) ， a 与 b 的夹角为因此θ, 则d=-6a+4b-4c=(-2 tan θ等于 (， -6).)A. B.- C.3 D.-3参照答案与分析: 分析：由已知得a·b=3×(- 3)+4 ×1= -5 ， |a|=5 ， |b|=，因此 cosθ=.因为θ∈［ 0，π］ ,因此 sin θ=.因此 tan θ==-3.答案： D主要观察知识点: 向量与向量运算的坐标表示7、向量 a 与b 不共线,=a+kb,=la+b(k、l ∈R),且与共线 , 则k、l 应知足()A.k+l=0B.k-l=0C.kl+1=0D.kl-1=0参考答案与解析:解析：因为与共线,所以设=λ( λ∈ R) ,即la+b= λ(a+kb)= λa+λkb, 因此(l- λ)a+(1 - λk)b=0.因为 a 与 b 不共线 , 因此 l- λ=0 且 1- λk=0, 消去λ得 1-lk=0,即kl-1=0.答案： D主要观察知识点: 向量、向量的运算8、已知平面内三点A(-1,0),B(5,6),P(3,4),且AP=λPB,则λ 的值为()A.3B.2C.D.参照答案与分析: 分析：因为=λ, 因此 (4 ，4)= λ(2 ，2).因此λ=.答案： C主要观察知识点: 向量与向量运算的坐标表示9、设平面向量a1，a2，a3 的和 a1+a2+a3=0，假如平面向量时针旋转30°后与bi 同向，此中i=1 ， 2， 3，则 ()b1，b2，b3知足 |bi|=2|ai|，且ai顺A.-b1+b2+b3=0 B.b1-b2+b3=0C.b1+b2-b3=0D.b1+b2+b3=0参照答案与分析: 分析：依据题意, 由向量的物理意义, 共点的向量模伸长为本来的 2 倍, 三个向量都顺时针旋转30°后协力为本来的 2 倍 , 本来的协力为零, 因此由 a1+a2+a3=0, 可得 b1+b2+b3=0.答案： D主要观察知识点: 向量、向量的运算10、设过点P(x ， y) 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A、 B两点，点Q与点 P 对于y 轴对称，O为坐标原点，若, 且·=1, 则P 点的轨迹方程是()A.3x2+y2=1(x ＞ 0,y ＞0)B.3x2y2=1(x ＞ 0,y ＞ 0)C. x2-3y2=1(x ＞ 0,y ＞0)参考答案与解析 : 解析：设P(x,y),则Q(-x,y).D.设x2+3y2=1(x ＞0,yA(xA),xA,B(0,yByB0,＞ 0)=(x,y-yB)=(xAx,-y).∵=2PA,∴x=2(xA,x),y -yB=2y,xA=x,yB=3y(x ＞0,y ＞ 0).又∵·=1,(- x,y) ·(-xA,yB)=1,∴(- x,y) ·(x,3y)=1,即x2+3y2=1(x ＞ 0,y ＞0).答案： D主要观察知识点: 向量、向量的运算11、已知△ ABC 中，点 D 在 BC边上，且，若, 则 r+s 的值是 ()A. B.0 C.D .-3参照答案与分析: 分析：△ ABC 中，== ()=-，故r+s=0.答案： B主要观察知识点: 向量、向量的运算12、定义 a※b=|a||b|sinθ，θ 是向量 a 和b 的夹角， |a|、|b|分别为a、b 的模，已知点A(-3,2)、B(2,3),O是坐标原点，则※等于 ()A.-2B.0D.13参照答案与分析 : 分析：由题意可知=(-3,2),=(2,3),计算得·=- 3×2+2×3=0，另一方面·=||||cos θ，∴c osθ=0,又θ∈ (0,π) ，进而sin θ=1，∴※=||||sinθ=13.答案： D主要观察知识点: 向量与向量运算的坐标表示二、填空题【共 4 道小题】1、已知 a+b+c=0, 且 |a|=3,|b|=5,|c|=7,则向量a与参照答案与分析: 分析：由已知得a+b=-c, 两边平方得b 的夹角是 ____________.a2+2a·b+b2=c2,因此2a·b=72 -32-52=15.设a 与b 的夹角为θ,则cosθ===,因此θ=60°.答案： 60°主要观察知识点: 向量、向量的运算2、若=2e1+e2,=e1-3e2,=5e1+λe2, 且 B、 C、 D 三点共线 , 则实数λ=___________.参照答案与分析: 分析：由已知可得=(e1-3e2)-(2e1+e2)=-e1-4e2,=(5e1+λe2) -(e1-3e2)=4e1+(λ+3)e2.因为 B、 C、 D 三点共线 , 因此存在实数m使得,即-e1-4e2=m ［4e1+(λ+3)e2］ . 因此 -1=4m 且 - 4=m(λ+3), 消去 m得λ=13.答案： 13主要观察知识点: 向量、向量的运算3、已知 e1、 e2 是夹角为60°的两个单位向量, 则 a=2e1+e2 和 b=2e2-3e1 的夹角是 __________.参照答案与分析: 分析：运用夹角公式cosθ=，代入数据即可获得结果.答案： 120°。
2023北京高一(上)期末数学汇编：平面向量及其应用章节综合
2023北京高一（上）期末数学汇编平面向量及其应用章节综合一、单选题 1．（2023秋·北京昌平·高一统考期末）如图，在矩形ABCD 中，对角线,AC BD 交于点O ，则下列各式一定成立的是（ ）A ．AB CD = B ．AC BD =C ．12AO CA =D ．()12AO AB AD =+ 2．（2023秋·北京丰台·高一统考期末）AB AD CD −+化简后等于（ ） A ．BCB ．CBC ．BDD ．DB3．（2023秋·北京西城·高一统考期末）已知a 为单位向量，则“||||1a b b +−=”是“存在0λ>，使得b a λ=”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2023秋·北京西城·高一统考期末）正方形ABCD 的边长为1，则|2|AB AD +=（ ） A ．1B ．3CD ．55．（2023秋·北京西城·高一统考期末）如图，在平行四边形ABCD 中，AC AB −=（ ）A ．CB B ．ADC ．BD D ．CD6．（2023秋·北京房山·高一统考期末）在ABC 中，D 为BC 的中点，则（ ） A ．AD AB AC =+ B ．1122AD AB AC =+ C ．BC AB AC =−D ．1122BC AB AC =− 7．（2023秋·北京房山·高一统考期末）已知()2,1A −，()1,3B ，则线段AB 中点的坐标为（ ）A ．()3,2B ．3,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,4−D ．1,22⎛⎫− ⎪⎝⎭8．（2023秋·北京房山·高一统考期末）已知向量()1,a x =，(),4b x =，则“2x =”是“a b ∥”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．（2023秋·北京·高一北京师大附中校考期末）已知平面向量a ，b 是非零向量，2a =，()2a a b ⊥+，则向量b 在向量a 方向上的投影为（ ） A ．1−B ．1C ．2−D ．210．（2023秋·北京·高一北京师大附中校考期末）已知2a b ==，2a b ⋅=，则a b −=（ ） A ．1BC ．2D 211．（2023秋·北京·高一校考期末）已知向量(1,)a m =，(1,1)b =−，(3,0)c =r，若//()a b c +，则m =（ ） A ．1−B ．12C ．2D ．2−12．（2023秋·北京西城·高一北京八中校考期末）已知a →，b →是不共线的向量，AB a b λ→→→=+，()AC a b R μλμ→→→=+∈，，那么A ，B ，C 三点共线的充要条件为（ ）． A ．2λμ+= B ．1λμ=C ．1λμ=−D ．1λμ−=二、填空题13．（2023秋·北京·高一校考期末）根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边作出的正方形面积之和.现在对直角三角形CDE 按上述操作作图后，得如图所示的图形.若AF AB AD x y =+，则x y +=__________.14．（2023秋·北京昌平·高一统考期末）已知向量,a b 在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则43a b −=__________.15．（2023秋·北京房山·高一统考期末）已知向量()2,1a =r，()0,2b =−，则2a b −=________．16．（2023秋·北京房山·高一统考期末）已知向量()1,1a =，非零向量b 满足a b a b +=−，请写出b 的一个坐标________． 三、解答题17．（2023秋·北京·高一校考期末）如图所示，在ABC 中，点D 是边BC 的中点，点E 是线段AD 靠近A 的三等分点.过点E 的直线与边,AB AC 分别交于点,P Q .设,PB AP QC AQ λμ==，其中,0λμ≥.(1)试用AD 与BC 表示､AB AC ，写出过程； (2)求证：λμ+.18．（2023秋·北京·高一北京师大附中校考期末）在ABC 中，D E ､为边BC AC ､上的点，且满足,BD CE m n BCEA==.(1)若ABC 为边长为2的等边三角形，,112m n ==，求AD BE ⋅；(2)若11,,32m n DE xAB yAC ===+，求x y +；(3)若π,2,1,3A AB AC m n ∠====，求AD BE ⋅的最大值； (4)若将“D E ､为边BC AC ､上的点”改为“D E ､在ABC 的内部（包含边界）”，其它条件同（1），则AD BE ⋅是否为定值？若是，则写出该定值；若不是，则写出取值范围.（不需要说明理由） 19．（2023秋·北京西城·高一北京八中校考期末）如图，在平行四边形OADB 中，设11,,,33OA a OB b BM BC CN CD ====．试用求,a b 表示,OM ON 及MN ．20．（2023秋·北京昌平·高一统考期末）如图，在ABC 中，11,32AM AB BN BC ==.设,AB a AC b ==.(1)用,a b 表示,BC MN ；(2)若P 为ABC 内部一点，且51124AP a b =+.求证：,,M P N 三点共线. 21．（2023秋·北京丰台·高一统考期末）如图，在平行四边形ABCD 中，2AE AB =，13DF DE =．设AB a =，AD b =．(1)用a ，b 表示AC ，DE ；(2)用向量的方法证明：A ，F ，C 三点共线．22．（2023秋·北京房山·高一统考期末）已知向量a ，b 不共线，且2OA a b =−，3OB a b =+，OC a b λ=+．(1)将AB 用a ，b 表示； (2)若OA OC ∥，求λ的值；(3)若3λ=−，求证：A ，B ，C 三点共线．参考答案1．D【分析】由矩形的几何性质，结合各线段对应向量的关系判断各项的正误.【详解】由图知：AB DC CD ==−，故A 错误；,AC BD 不相等，即AC BD ≠，故B 错误；1122AO AC CA ==−，故C 错误；()12AO AB AD =+，故D 正确.故选：D 2．B【分析】根据向量的加法和减法运算即可求解.【详解】因为AB AD CD DB CD CD DB CB −+=+=+=， 故选：B . 3．B【分析】对于前者是否能推出后者，我们举出反例0b =即可，对于后者是否推前者，由后者可得,a b 共线且同方向，则||||||1a b b a b b a +−=+−==，即后者能推出前者，最后即可判断. 【详解】若0b =，则||||1a b b a +−==，但此时不存在0λ>，使得b a λ=， 故不存在0λ>，使得b a λ=，故前者无法推出后者， 若存在0λ>，使得b a λ=，则,a b 共线且同方向，此时||||||1a b b a b b a +−=+−==，故后者可以推出前者， 故“||||1a b b +−=”是“存在0λ>,使得b a λ=的必要不充分条件”， 故选：B. 4．D【分析】利用向量数量积的运算性质，结合正方形中垂直关系及边长即可求解. 【详解】在正方形ABCD 中，如图所示,2222|2|(2)441045AB AD AB AD AB AB AD AD +=+=+⋅+=++=， 25AB AD ∴+=故选：D. 5．B【分析】根据向量运算得AC AB AD −=.【详解】由图知AC AB BC AD −==， 故选：B. 6．B【分析】根据向量加减法运算法则运算求解即可. 【详解】解：因为ABC 中，D 为BC 的中点,所以BC AC AB =−，()11112222AD AB BC AB AC AB AB AC =+=+−=+，故选：B7．D【分析】通过线段AB 的A 点和B 点坐标，由中点坐标公式即可求出线段AB 中点的坐标. 【详解】在线段AB 中，()2,1A −，()1,3B∴线段AB 中点的坐标为1,22⎛⎫− ⎪⎝⎭.故选：D. 8．A【分析】利用向量平行的坐标表示判断即可.【详解】若2x =，则()1,2a =，()2,4b =，2b a ∴=,则a b ∥； 若a b ∥，则24x =，解得2x =±，∴“2x =”是“a b ∥”的充分不必要条件，故选：A. 9．A【分析】首先通过条件()2a a b ⊥+求得·2a b =−，然后根据数量积的运算公式求出·b cos θ，进而求解b 在a 方向上投影.【详解】平面向量a b 、是非零向量，()22a a a b =⊥+，，()2·2?2?||2?42?a a b a a a b a a b a b ∴+=+=+=+0=，则·2a b =−.设a 与b 夹角为θ，···2a b a b cos θ==−，则2·1b cos aθ−==−， b ∴在a 方向上投影为1−.故选：A 10．C【分析】根据数量积的运算律，即可求出. 【详解】因为()22222a b a b a b a b −=−=+−⋅2222224=+−⨯=，所以，2a b −=. 故选：C. 11．B【分析】首先求出b c +的坐标，再根据向量共线的坐标表示计算可得. 【详解】解：因为(1,)a m =，(1,1)b =−，(3,0)c =r， 所以()(1,1)(3,0)2,1b c +=−+=，又//()a b c +， 所以211m =⨯，解得12m =. 故选：B 12．B【分析】若A 、B 、C 三点共线，则向量AC →与AB →平行，根据题中等式结合向量平行的充要条件列式，即可找出使A 、B 、C 三点共线的充要条件．【详解】解：若A 、B 、C 三点共线，则向量//AC AB →→即存在实数k ，使得AB k AC →→=，AB a b λ→=+，AC a b μ→=+()a b k a b λμ∴+=+，可得1kk λμ=⎧⎨=⎩，消去k 得1λμ= 即A 、B 、C 三点共线的充要条件为1λμ= 故选：B ．13 【分析】建立平面直角坐标系，标出各个点的坐标，利用平面向量的坐标运算即可得解. 【详解】如图，以A 为原点，分别以,AB AD 为,x y 轴建立平面直角坐标系，设正方形ABCD 的边长为2a ，则正方形DEHI ，正方形EFGC 边长为a可知()0,0A ，()2,0B a ，()0,2D a ，)1DF a =则)1cos30F x a =⋅，)1sin302F y a a =⋅+，即F ⎫⎪⎪⎝⎭又AF AB AD x y =+，()()()2,00,22,2x a y a ax ay ⎫∴=+=⎪⎪⎝⎭即22ax ay ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即22ax ay +=，化简得x y +=14【分析】由图知||1,||2,,45a b a b ==<>=︒，应用向量数量积的运算律求得24310a b −=，即可得结果. 【详解】由图知：||1,||2,,45a b a b ==<>=︒，则12cos451a b ⋅=⨯︒=， 又222431624916241810a b b b a a ⋅−=−=−++=，则4310a b −=. 15．()2,5【分析】根据向量坐标运算即得.【详解】因为()2,1a =r，()0,2b =−，所以()22,5a b −=. 故答案为：()2,5. 16．1,1(答案不唯一)【分析】设出向量b 的坐标，根据题意可得0a b ⋅=，进而即得. 【详解】设向量(),b x y =，220x y +≠，由a b a b +=−，可得222222a a b b a a b b +⋅+=−⋅+，0a b ∴⋅=，又()1,1a =，所以0x y +=，令1x =，可得()1,1b =−， 所以向量b 的坐标可为1,1. 故答案为：1,1.17．(1)12=−AB AD BC ，12=+AC AD BC(2)4λμ+=【分析】（1）由平面向量基本定理可得答案； （2）由平面向量基本定理、向量的三点共线可得答案. 【详解】（1）因为点D 是边BC 的中点，所以1122=+=+=−AB AD DB AD CB AD BC ，12=+=+AC AD DC AD BC ；（2）因为,PB AP QC AQ λμ==，所以()()1,1λμ+=+=AP AB AQ AC ， 因为()12AD AB AC =+， 所以()11113666AE AD AB AC AP AQ λμ++==+=+， 因为P E Q 、、三点共线，所以11166λμ+++=，可得4λμ+=为定值.18．(1)32−(2)13−(3)12−(4)不是定值，理由见解析【分析】（1）D E 、分别是BC AC 、的中点，､AB AC 的夹角为60，()12AD AB AC =+，()122=−+BE AB AC ，计算AD BE ⋅即可； （2）若11,32m n ==，则D 距离是B 近的BC 三等分点，E 是距离C 近的AC 三等分点，则由2133=+=+DE DC CE BC AC 可得,x y ，从而求出x y +； （3）11+==+CE AC n EAEA，()1=−+AD m AB mAC ，11=−++BE AB AC n ，且[]0,1m ∈，由AD BE ⋅()13171=++−+m m ，[]11,2+∈m ，令()[]13,1,2=+∈f x x x x ，由函数的单调性定义可得()13f x x x=+在[]1,2x ∈上单调递增，可求出AD BE ⋅的最大值；（4）以CB 的中点F 为原点，CB 所在的直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，，设(),D x y ，(),E m n ， 可得点D 在以B 为圆心，半径为1的三角形ABC 内部的圆弧上，包括与三角形ABC的边上的两个交点F H 、，点E 在三角形ABC 内部线段AC 的垂直平分线上，包括点B 和AC 的中点N ，取点D 、点E 特殊位置可得答案.【详解】（1）若ABC 为边长为2的等边三角形，,112m n ==，则D E 、分别是BC AC 、的中点，､AB AC 的夹角为60，()12AD AB AC =+，()()()1112222=+=−+−=−+BE BA BC AB AC AB AB AC ，所以()()124⋅=+⋅−+AD BE AB AC AB AC ()221113282244422⎛⎫=−−⋅+=⨯−−⨯⨯+=− ⎪⎝⎭AB AB AC AC ；（2）若11,,32m n DE xAB yAC ===+，则D 距离是B 近的BC 三等分点，E 是距离C 近的AC 三等分点，则()212112333333=+=−=−−=−DE DC CE BC AC AC AB AC AC AB ， 所以12,33==−x y ，121333+=−=−x y ；（3）因为=CE n EA，所以11++===+CE CE EA AC n EAEAEA，()()1=+=+=+−=−+AD AB BD AB mBC AB m AC AB m AB mAC ， 11=+=−++BE BA AE AB AC n ，因为m n =，所以11=−++BE AB AC m ，且[]0,1m ∈， 所以()()111⎛⎫⋅=−+⋅−+ ⎪+⎝⎭AD BE m AB mAC AB AC m ()2211134111−⎛⎫=−+−⋅+=+− ⎪+++⎝⎭m m m AB m AB AC AC m m m m ， ()13171=++−+m m ，[]11,2+∈m ， 令()[]13,1,2=+∈f x x x x，设1212x x ≤<≤， 所以()()()121212121212311133⎛⎫−−=+−+=− ⎪⎝⎭x x f x f x x x x x x x x x ， 因为1212x x ≤<≤，所以12120,310−<−>x x x x ，所以()()12f x f x <，()13f x x x=+在[]1,2x ∈上单调递增， 所以()111317327122++−≤⨯+−=−+m m ， 当12m +=即1m =时AD BE ⋅有最大值为12−； （4）以CB 的中点F 为原点，CB 所在的直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴建立如图所示平面直角坐标系，则()()(1,0,1,0,B C A −， 设(),D x y ，(),E m n，因为1,12==BD CE BC EA，1=化简得()2211x y ++=，10+=m ，所以点D 在以B 为圆心，半径为1的三角形ABC 内部的圆弧上，包括与三角形ABC 的边上的两个交点F H 、，并且F H 、都为所在边的中点，点E 在三角形ABC 内部线段AC 的垂直平分线上，包括点B 和AC 的中点N ，当点D 为AB 中点H ，E 与B 点重合时，12⎛==− ⎝⎭AD AH ，0=BE ， 所以0⋅=AD BE ，而当,112m n ==时，由（1）32⋅=−AD BE ， 故AD BE ⋅不是定值.2130，，，⎡==∈∠=⎣AB BD BE ABE ，所以向量AB 与BE 的夹角为150，设DBE θ∠=，则030，θ⎡⎤∈⎣⎦，cos 1θ⎤∈⎥⎣⎦， 则()⋅=+⋅=⋅+⋅AD BE AB BD BE AB BE BD BEcos θ=⋅+⋅AB BE BD BE ()cos 3cos θθ=+=−+BE BE BE ，所以()cos θ⎡∈⎢⎣，而⎡∈⎣BE ， 可得()33cos ,02θ⎡⎤−∈−⎢⎥⎣⎦BE ， 所以3,02⎡⎤⋅∈−⎢⎥⎣⎦AD BE .19．15,66OM a b =+22,33ON a b =+1126MN a b =− . 【详解】在平行四边形OADB 中,,a b OD a b BA +=−=,所以()11115,36666OM OB BM OB BC OB BA b a b a b =+=+=+=+−=+ ()142222,333333ON OC CN OC CD OC OD a b a b =+=+===+=+ 进而得221511336626MN ON OM a b a b a b ⎛⎫⎛⎫=−=+−+=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 20．(1)BC b a =−，1126b MN a =+ (2)证明见解析【分析】（1）由图中线段的位置及数量关系，用,AC AB 表示出,BC MN ，即可得结果； （2）用,a b 表示AM AN +，得到AM AP AN λμ=+，根据向量共线的结论1λμ+=即证结论.【详解】（1）由题图，BC AC AB b a =−=−，121211()232326BN BM BC AB b a a b a MN =−=+=−+=+.（2）由1111151()3323262AM AN AB AC CN AB AC BC a b b a a b +=++=+−=+−−=+， 又51124AP a b =+，所以1122AM AP AN =+，故,,M P N 三点共线.21．(1)AC a b =+，2DE a b =−；(2)答案见详解.【分析】（1）根据向量加法的平行四边形法则，可得AC ，由DE DA AE =+结合已知可得DE ； （2）根据AF AD DF =+可推出()23AF b a +=，即23AF AC =.再根据有公共点A ，可证得三点共线. 【详解】（1）解：根据向量加法的平行四边形法则，可得AC AB AD a b =+=+. 22DE DA AE AD AB a b =+=−+=−. （2）证明：由（1）知，2DE a b =−，所以121333DF DE a b ==−， 所以AF AD DF =+2133a b b =−+()2233a A b C ==+， 所以，AF ，AC 共线.又直线AF ，直线AC 有公共点A ，所以，A ，F ，C 三点共线.22．(1)AB =2a b +；(2)12−； (3)详见解析.【分析】（1）根据向量的减法运算即得；（2）根据向量共线定理可得OA tOC =，进而可得21t t λ=⎧⎨−=⎩，即得； （3）由题可得AC AB =−，然后根据向量共线定理结合条件即得.【详解】（1）因为2OA a b =−，3OB a b =+，所以AB ()322OB OA a b a b a b =−=+−−=+；（2）因为//OA OC ，2OA a b =−，OC a b λ=+，所以OA tOC =，即()2a b t a b λ−=+，又向量a ，b 不共线，所以21t t λ=⎧⎨−=⎩，解得12,2t λ==−， 即λ的值为12−； （3）当3λ=−时， 2OA a b =−，3OC a b =−，AB =2a b +， 所以()322AC OC OA a b a b a b AB =−=−−−=−−=−， 所以//AC AB ，又,AC AB 有公共点A ，所以A ，B ，C 三点共线．。
千题百炼- 平面向量综合必刷100题(原卷版)
专题12 平面向量综合必刷100题任务一:善良模式(基础)1-30题一、单选题1．已知0m ≠，向量(,),(2,)a m n b m ==-，若||||a b a b +=-，则实数n =（ ）A ．BC ．-2D ．22．设ABC 中BC 边上的中线为AD ，点O 满足2AO DO =-，则OC =（ ）A ．1233AB AC -+B ．2133AB AC -C ．1233AB AC -D ．2133AB AC -+3．若平面向量,,a b c 两两的夹角相等，且||||1,||3a b c ===，则||a b c ++=（ ）A ．2B ．5C ．2或5D4．在菱形ABCD 中，M 、N 分别是BC 、CD 的中点，若2AB =，3DAB π∠=，则DM AN ⋅=（ ）A ．0B ．32C ．4D ．1325．如图，点C 在半径为2的AB 上运动，3AOB π∠=若OC mOA nOB =+，则m n +的最大值为（ ）A ．1BC D6．已知向量,a b 满足||1,||2,1a b a b ==⋅=，则a b -与b 夹角为（ ） A ．23π B ．34π C ．2π D ．4π7．已知()1,2a =-，()1,3b =，，则2a b -在a b +方向上的投影为（ ）A ．1B ．5C D8．在ABC 中，23AB AC ==，，且3AB AC ⋅=，则AC AB R λλ-∈（）取最小值时λ的值为（ ）A ．34-B ．34C ．32D ．9．在ABC 中，点D 是线段BC 上靠近点C 的三等分点，点E 在线段AD 上，:3:5AE ED =，则EB EC +=（ ）A ．1324AB AC +B ．3142AB AC +C ．1243AB AC +D ．3342AB AC +10．已知点(2,4)M ，若过点(4,0)N 的直线l 交圆于C ：22(6)9x y -+=于A ，B 两点，则||MA MB +的最大值为（ ）A ．12B ．C ．10D ．11．以下四个命题中正确的是（ ） A ．若1123OP OA OB =-，则P A B ，，三点共线B ．若{}a b c ，，为空间的一个基底，则{}a b b c c a +++，，构成空间的另一个基底 C ．()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅D ．ABC 为直角三角形的充要条件是0AB AC ⋅=12．已知向量a 、b 满足a b b +=，且2a =，则b 在a 方向上的投影是（ ） A ．2 B ．2-C ．1D ．1-13．在△ABC 中，已知AB =3，AC =5，△ABC 的外接圆圆心为O ，则AO BC ⋅= A ．4 B ．8C ．10D ．1614．已知向量a 与向量b 不共线，()1,1b =，对任意t R ∈，恒有2a tb a b -≥-，则（ ） A ．a b ⊥ B ．()2a a b ⊥- C ．()2b a b ⊥-D ．()()22a b a b +⊥-15．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，点E 在线段OB 上且13OE OB =，若AE AB AD λμ=+（λ，μ∈R ），则λμ-=（ ）A ．13B ．13-C ．1D ．23二、多选题16．已知平面向量OA 、OB 、OC 为三个单位向量，且0OA OB ⋅=，若OC xOA yOB =+（,x y R ∈），则x y +的取值可能为（ ）A ．B ．1C D17．下列说法中错误的是（ ）A ．已知(1,3)a =-，(1,3)b =-，则a 与b 可以作为平面内所有向量的一组基底B ．若a 与b 共线，则a 在b 方向上的投影为||aC ．若两非零向量a ，b 满足||||a b a b +=-，则a b ⊥D ．平面直角坐标系中，(1,1)A ，(4,2)B ，(5,0)C ，则ABC 为锐角三角形18．设a ，b 是两个非零向量，下列四个命题为真命题的是（ ） A ．若a b a b ==-，则a 和b 的夹角为3π B ．若a b a b ==+，则a 和b 的夹角为2π3C ．若a b a b +=+，则a 和b 方向相同D ．若0a b ⋅<，则a 和b 的夹角为钝角19．在ABC 中，有如下四个命题正确的有（ ） A ．若0AC AB ⋅>，则ABC 为锐角三角形B ．若BA BC AC +=，则ABC 的形状为直角三角形C ．ABC 内一点G 满足0GA GB GC ++=，则G 是ABC 的重心D ．若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则点P 必为ABC 的外心20．已知向量,a b 是两个非零向量，在下列条件中，一定能使,a b 共线的是（ ） A ．234a b e -=且22a b e +=-B ．存在相异实数,λμ，使0a b λμ-=C ．0xa yb +=（其中实数x ，y 满足0x y +=）D ．已知梯形ABCD ，其中,AB a CD b ==第II 卷（非选择题）三、填空题21．已知在ABC 中，3,1,,,23AB AC BAC BD DC AE ED π==∠===，则CE BC ⋅=___________.22．在ABC 中，点D 满足34BD BC =，当E 点在线段AD 上移动时，若AE AB AC λμ=+，则()221t λμ=-+的最小值是________．23．在ABC 中，点D 是边BC 的中点，点G 在AD 上，且是ABC 的重心，则用向量AB ､AC 表示BG 为___________.24．已知点G 为△ABC 的重心，过G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，且AM ＝x AB ，AN ＝y AC ，求11x y+的值为________．25．如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD ∠=︒．已知13BE BC =，DF FC =，12EG EF =，则AG EF ⋅=______．四、解答题26．已知4a =，3b =，()()23243a b a b -⋅-=． （1）求a 与b 的夹角θ；（2）求a b +；（3）若()()a b a b λ-⊥+，求实数λ的值．27．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且(,)OP mOA nOB m n R =+∈ （1）若m +n =1，求证：A ，P ，B 三点共线； （2）若A ，P ，B 三点共线，求证：m +n =1.28．如图，已知D ，E ，F 分别为ABC 的三边BC ，AC ，AB 的中点，求证：0AD BE CF ++=．29．已知向量()3,4OA =-，()6,3OB =-，()5,3OC m m =---. （1）若点A ，B ，C 能够成三角形，求实数m 应满足的条件； （2）若ABC 为直角三角形，且A ∠为直角，求实数m 的值.30．设ABC 的内角A ，B ，C 的对边长a ，b ，c 成等比数列，()2cos 2sin 12A C B π⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，延长BC 至D使3BD =.（1）求B 的大小； （2）求AC CD ⋅的取值范围.任务二:中立模式(中档)1-40题一、单选题1．设a 、b 、c 为非零不共线向量，若()()1a tc t b a c t R -+-≥-∈，则（ ） A ．()()a b a c +⊥- B ．()()a b b c +⊥+ C ．()()a b a c -⊥- D ．()()a cbc -⊥+2．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()()0211A N -，，，．若动点M 满足MA MO=，则OM ON ⋅的取值范围是（ ）A ．[]22-，B ．[]44-，C ．[]46，-D ．[]26-，3．已知ABCD 是边长为2的正方形，P 为平面ABCD 内一点，则()PA PB PC +⋅的最小值是（ ） A ．2- B ．52-C ．3-D ．4-4．已知点O 为正ABC 所在平面上一点，且满足(1)0OA OB OC λλ+++=，若OAC 的面积与OAB 的面积比值为1:4，则λ的值为（ ） A ．12 B ．13C ．2D ．35．已知直线l ：()20ax y a R -+=∈与圆M ：22430x y y +-+=的交点为A ，B ，点C 是圆M 上一动点，设点()0,1P -，则PA PB PC ++的最大值为（ ） A ．9 B ．10C ．11D ．126．已知平面向量,,a b c 满足24b a a b ==⋅=，()()3c a c b -⋅+=-，则c a -的最小值为（ ）A1 B 1 C2 D 27．已知向量a ，b ，c 为平面向量，21a b a b ==⋅=，且c 使得2c a -与-c b 所成夹角为60，则c 的最大值为（ ）A1 B C ．1 D 18．非零向量AB ，AC 满足0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，且12AB AC AB AC ⋅=，则ABC 为（ ） A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．等边三角形9．在ABC 中，BC CA CA AB ⋅=⋅，||2BA BC +=，且32B ππ≤≤，则BA BC ⋅的取值范围是（ ）A ．(1]-∞，B ．[01]，C ．203⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．223⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，10．已知ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，动点P 满足sin sin AB AC OP OA AB B AC C λ⎛⎫⎪=++ ⎪⎝⎭，(0,)λ∈+∞，则动点P 的轨迹一定经过ABC 的（ ） A ．重心 B ．垂心 C ．内心 D ．外心11．已知平面向量,a b 满足||1a =，||2b =，||7a b -=，若对于任意实数k ，不等式||1ka tb +>恒成立，则实数t 的取值范围是( )A ．(,)-∞⋃+∞B ．3(,(,)3-∞+∞C ．)+∞D ．)+∞12．已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 为△ABC 的外心，动点P 满足(1)(1)(12)()3OA OB OCOP λλλλ-+-++=∈R ，则点P 的轨迹一定过△ABC 的（ ）A ．内心B ．垂心C ．重心D ．AC 边的中点13．平面内ABC 及一点O 满足 ,AO AB AO AC CO CA CO CBABAC CA CB⋅⋅⋅⋅==，则点O 是ABC 的（ ） A ．重心 B ．内心 C ．外心 D ．垂心14．设点G 是ABC ∆的重心，且满足2sin 3sin 2sin 0B AB A GA C GC ⋅+⋅+⋅=，则cos C （ ） A ．34B ．23C ．13D ．91615．若直线MN 过△ABC 的重心G ，且AM mAB =，AN nAC =，其中0m >，0n >，则2m n +的最小值是（）． A 1B 1+C ．2D ．16．在ABC 中，CB a =，CA b =，且sin sin a b OP OC m a B b A ⎛⎫ ⎪+ ⎪⎝⎭=+，m R ∈，则点P 的轨迹一定通过ABC 的（ ） A ．重心 B ．内心 C ．外心 D ．垂心17．在ABC ∆中，角A 、B 、C的对边分别为a 、b 、c ，若2b =，(()cos 24sin 1A B C ++=，点P 是ABC ∆的重心，且APa =（ ）A ．B ．C ．D ．18．在ABC 中，D 是BC 的中点，H 是AD 的中点，过点H 作一直线MN 分别与边AB ，AC 交于M ，N ，若,AM xAB AN y AC ==，则4x y +的最小值是（ ）A ．52B ．73C ．94D ．1419．已知圆O 的半径为2，A 为圆内一点，12OA =，B ，C 为圆O 上任意两点，则AC BC ⋅的取值范围是（ ） A ．1,68⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[1,6]-C ．1,108⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]1,1020．已知2=a ，3b =，4a b -=，若对任意实数t ，21ka tb +>（0k >）恒成立，则k 的取值范围是（ ）A ．⎫+∞⎪⎭B ．⎛⎝C ．)+∞D ．(二、多选题21．数学家欧拉于1765年在其著作《三角形中的几何学》首次指出：ABC 的外心O ，重心G ，垂心H ，依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线. 若4AB =，2AC =，则下列各式正确的是（ ）A ．20GO GH +=B ．4AG BC ⋅= C ．6AO BC ⋅=-D ．OH OA OB OC =++22．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知△ABC 的外心为O ，重心为G ，垂心为H ，M 为BC 中点，且AB =4，AC =2，则下列各式正确的有（ ） A ．4AG BC ⋅= B ．6AO BC ⋅=-C ．OH OA OB OC =++D ．42AB AC OM HM +=+23．在ABC 中，2A π=，2AB AC ==，下述四个结论中正确的是（ ）A ．若G 为ABC 的重心，则1331AG AB AC =+ B ．若P 为BC 边上的一个动点，则()AP AB AC ⋅+为定值2C ．若M ，N 为BC 边上的两个动点，且MN =AM AN ⋅的最小值为32D ．已知P 为ABC 内一点，若1BP =，且AP AB AC λμ=+，则λ的最大值为224．已知P 为ABC 所在平面内一点，且4AB BC ==，60ABC ∠=︒，D 是边AC 的三等分点靠近点C ，AE EB =，BD 与CE 交于点O ，则（ ）A ．2132DE AC AB =-+B ．BOCSC ．32OA OB OC ++=D ．()PA PB PC +⋅的最小值为-625．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，点P 是其所在平面内一点，（ ） A ．若202020210PA PB PC ++=，则点P 在ABC 的中位线上 B ．若3AP AB AC =+，则P 为ABC 的重心 C ．若222a b c +>，则ABC 为锐角三角形 D ．若cos cos c B b C =，则ABC 是等腰三角形26．下列说法中错误的为（ ）A ．已知()1,2a →=，()1,1b →=且a →与a b λ→→+夹角为锐角，则5,3λ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭B ．点O 为ABC 的内心，且20OC OC OA OB OB →→→→→⎛⎫⎛⎫-⋅+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ABC 为等腰三角形；C ．若a →与b →平行，a →在b →方向上的投影为a →D ．若非零a →，b →满足a b a b →→→→==-则a →与a b →→+的夹角是60︒27．如图，ABCD 中，AB =1，AD =2，∠BAD =3π，E 为CD 的中点，AE 与DB 交于F ，则下列叙述中，一定正确的是（ ）A ．BF 在AB 上的投影向量为(0，0) B ．1233AF AB AD =+C ．1AF AB ⋅=D ．若12FAB α=∠，则tan α=28．已知O 是△ABC 所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ） A ．若OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则O 是△ABC 的重心B ．若向量0OA OB OC ++=，且OA OB OC ==，则△ABC 是正三角形 C ．若O 是△ABC 的外心，3AB =，5AC =，则OA BC ⋅的值为-8D ．若240OA OB OC ++=，则::4:1:2OAB OBC OAC S S S =△△△第II 卷（非选择题）三、填空题29．如图，∠ABC 中，8AB =，7AC =，5BC =，G 为∠ABC 重心，P 为线段BG 上一点，则PA PC ⋅的最大值为___________.30．在ABC 中，下列命题中正确的有：___________ ∠AB AC BC -=；∠若0AC AB ⋅>，则ABC 为锐角三角形；∠O 是ABC 所在平面内一定点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++，[)0,λ∈+∞，则动点P 一定过ABC 的重心；∠O 是ABC 内一定点，且20OA OC OB ++=，则13AOCABCS S=△△； ∠若0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭，且12AB AC AB AC ⋅=⋅，则ABC 为等边三角形.31．已知向量a ，b 是平面内的两个非零向量，则当a b a b ++-取最大值时，a 与b 夹角为________．32．点D 为ABC 所在平面内一点，1233AD AB AC =+，AC AB AB AC AD AC AB+=+，若ABC 的面积为1，则BC 的最小值是________．33．∠若()3,4OA =-，()6,3OB =-，()5,3OC m m =--，ABC ∠为锐角，则实数m 的取值范围是34m >-∠点O 在ABC 所在的平面内，若OA OB OB OC OA OC ⋅=⋅=⋅，则点O 为ABC 的垂心 ∠点O 在ABC 所在的平面内，若230OA OB OC ++=，ADC S △，ABCS 分别表示AOC △，ABC 的面积，则:1:6AOC ABC S S =△△∠点O 在ABC 所在的平面内，满足AO AB AO AC ABAC⋅⋅=且CO CA CO CB CACB⋅⋅=，则点O 是ABC 的外心.以上命题为假命题的序号是___________.34．如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若||1AC =，则AD AE ⋅=________.35．已知向量a ，b 满足2a b -=，12ab +=，则a b b ++的最大值是________.36．已知平面向量a ，b 的夹角为45°，1a =且()2c a b R λλ=-+∈，则c c a +-的最小值是___________.四、解答题37．平面直角坐标系xOy 中，已知向量()61AB =，∠()BC x y =，∠()23CD =--，，且AD BC ∠ （1）若已知M （1，1），N （y +1∠2∠∠y∠[0∠2]，则求出MN BC ⋅的范围； （2）若AC BD ⊥，求四边形ABCD 的面积．38．在ABC 中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，3b =，6c =，sin2sin C B =，且AD 为BC 边上的中线，E 点在BC 上，满足//()AB AC AE ABAC+.（1）求cos C 及线段BC 的长； （2）求ADE 的面积.39．已知向量a 与b 的夹角为π6，且3a =，2b =．（1）若向量a b +与a b λ+共线，求实数λ的值；（2）若向量a b +与a b λ+的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．40．在等边ABC中，2=，点Q为AC的中点，BQ交AM于点N.CM MB（1）证明：点N为BQ的中点；（2）若6⋅=-，求ABC的面积.NA NM任务三:邪恶模式(困难)1-30题一、单选题1．如图，在等腰△ABC 中，已知o1,120,,AB AC A E F ==∠=分别是边,AB AC 的点，且,AE AB AF AC ==λμ，其中(),0,1λμ∈且21λμ+=，若线段,EF BC 的中点分别为,M N ，则MN 的最小值是（ ）A BC D2．在ABC 中，()sin sin sin A B B C -+=，点D 在边BC 上，且2CD BD =，设sin sin ABDk BAD∠=∠，则当k 取最大值时，sin ACD ∠=（ ）A ．14BC D ．(363．已知12,e e 为单位向量，且1222e e +≤，若非零向量a 满足12a e a e ⋅≤⋅，则()122a e e a⋅+的最大值是（ ）A B C D4．如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，60BCD ∠=，150ADC ∠=，3BE EC =，CD BE 若点F 为边AD 上的动点，则EF BF ⋅的最小值为（ ）A ．1B ．1516C ．3132D ．25．在ABC 中，已知9AB AC ⋅=，cos b c A =⋅，ABC 的面积为6，若P 为线段AB 上的点（点P 不与点A ，点B 重合），且CA CBCP x y CACB=⋅+⋅，则1132x y ++的最小值为（ ）.A ．9B ．34C ．914D ．126．在ABC ∆中，已知9AB AC ⋅=，sin cos sin B A C =⋅，6ABC S ∆=，P 为线段AB 上的一点，且CA CBCP x y CACB=⋅+⋅，则11x y +的最小值为（ ）A B C D7．已知O 是ABC ∆所在平面上的一点，若aPA bPB cPCPO a b c++=++（其中P 是ABC ∆所在平面内任意一点），则O 点是ABC ∆的（ ） A ．外心 B ．内心C ．重心D ．垂心8．已知向量a ，b ，c 满足4a =，a 在b 方向上的投影为2，()3c c a ⋅-=-，则||b c -的最小值为（ ）A 1B 1C ．2D ．29．已知ABC 的内角分别为,,A B C ，2cos 12A A =，且ABC 的内切圆面积为π，则AB AC ⋅的最小值为（ ） A ．6B ．8C ．10D ．1210．如图，在等腰梯形ABCD 中，2AB =，4CD =，BC =E ，F 分别为AD ，BC 的中点.如果对于常数λ，在等腰梯形ABCD 的四条边上，有且只有8个不同的点P 使得PE PF λ⋅=成立，那么λ的取值范围是（ ）A ．59,420⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．911,204⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．91,204⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．511,44⎛⎫- ⎪⎝⎭11．已知平面向量a ，b ，c （a 与b 不共线），满足2a b c -==，1c a c b -=-=，设(),c a b λμλμ=+∈R ，则λμ+的取值范围为（ ） A ．[)2,2,3⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦B ．2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[)2,+∞D ．(],2-∞12．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 且斜率为247-的直线与双曲线在第二象限的交点为A ，若1212()0F F F A F A +⋅=，则双曲线C 的渐近线方程是（ ）A ．43y x =±B ．34yx C ．y = D ．y x =13．半径为2的圆O 上有三点A 、B 、C 满足0OA AB AC ++=，点P 是圆内一点，则PA PO PB PC ⋅+⋅的取值范围为（ ）A ．[414)-，B ．[0)4，C ．[414]，D ．[416]，14．已如平面向量a 、b 、c ，满足33a =，2b =，2c =，2b c ⋅=，则()()()()222a b a c a b a c ⎡⎤-⋅---⋅-⎣⎦的最大值为（ ）A ．B ．192C ．48D ．15．平面上的两个向量OA 和OB ，||cos OA α=，||sin OB α=，0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，0OA OB ⋅=若向量OC OA OBλμ=+(,)R λμ∈，且22221(21)cos (21)sin 4λαμα-+-=，则||OC 的最大值为（ ） A ．32B ．34C ．35D ．37二、多选题16．对于给定的ABC ，其外心为O ，重心为G ，垂心为H ，则下列结论正确的是（ ） A ．212AO AB AB ⋅=B ．OA OB OA OC OB OC ⋅=⋅=⋅C ．过点G 的直线l 交AB AC 、于E F 、，若AE AB λ=，AF AC μ=，则113λμ+=D ．AH 与cos cos AB AC AB BAC C+共线17．如图，直角ABC 的斜边BC 长为2，30C ∠=︒，且点B ，C 分别在x 轴正半轴和y 轴正半轴上滑动，点A 在线段BC 的右上方则（ ）A ．||OA OC +有最大值也有最小值B ．OA OC ⋅有最大值无最小值 C ．||OA BC +有最小值无最大值D ．OA BC ⋅无最大值也无最小值18．在OAB 中，4O OC A =，2O OD B =，AD 、BC 的交点为M ，过M 作动直线l 分别交线段AC 、BD 于E 、F 两点，若OE OA λ=，(),0OB OF μλμ=>，则λμ+的不可能取到的值为（ ）A B C D 19．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz ）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O 是ABC 内的一点，BOC 、AOC △、AOB 的面积分别为A S 、B S 、C S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=.若O 是锐角ABC 内的一点，BAC ∠、ABC ∠、ACB ∠是ABC 的三个内角，且点O 满足OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则（ ）A ．O 为ABC 的垂心B ．AOB ACB π∠=-∠C ．sin :sin :sin ::OA OB OC BAC ABC ACB ∠∠∠=D ．tan tan tan 0BAC OA ABC OB ACB OC ∠⋅+∠⋅+∠⋅=20．对于△ABC ，其外心为O ，重心为G ，垂心为H ，则下列结论正确的是（ ） A ．OA OB OA OC OB OC ⋅=⋅=⋅B ．212AO AB AB ⋅=C ．向量AH 与cos cos ABACAB B AC C +共线D ．过点G 的直线l 分别与AB 、AC 交于E 、F 两点，若AE AB λ=，AF AC μ=，则113λμ+=21．已知平面向量,,a b c →→→满足2a →=，1b →=，0a b →→⋅=，对任意的实数t ，均有c t b →→-的最小值为a c →→-，则下列说法正确的是（ ）A ．b a →→+与b a →→-夹角的余弦值为35 B ．c →的最小值为2C ．a b c c a →→→→→+-+-的最小值为2D ．若2c a -=时，这样的c →有3个第II 卷（非选择题）三、填空题22．已知平面向量,,a b c 满足：12,0,12a b a b c a ==⋅=+=，当-a c 与b c -所成角θ最大时，则sin θ=______23．已知ABC 中，1AB =，t R ∈，且()1AC t AC AB t +-的最小值为，则3BA BC ⋅=__________.24．在平面内，若有||1,2a a b b =⋅==，()(2)0c a c a b -⋅--=，则c b ⋅的最大值为________．25．已知OA ，OB 是非零不共线的向量，设111r OC OA OB r r =+++，定义点集||||KA KC KB KC M K KA KB ⎧⎫⋅⋅⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭，当1K ，2K M ∈时，若对于任意的2r ≥，不等式12||K K c AB ≤恒成立，则实数c 的最小值为______.26．如图，在∠ABC 中，BD DE EC →→→==，2AF FB →→=，2AM MD →→=，直线FM 交AE 于点G ，直线MC 交AE 于点N ，若∠MNG 是边长为1的等边三角形，则MA MC →→⋅=___________.27．如图，在△ABC 中，2C π=，AC =1BC =．若O 为△ABC 内部的点且满足0OAOB OC OA OB OC ++=，则::OA OB OC =________．28．在三角形ABC 中，ABC 的三个内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，则下列给出的五个命题：①若(,2)a λ=，(3,1)b =-，且a 与b 夹角为锐角，则2,3λ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭； ②若cos cos a A b B =，则ABC 为等腰三角形；③点O 是三角形ABC 所在平面内一点，且满足OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则点O 是三角形ABC 的重心； ④()tan tan ,tan a A B C =+，()1,1b =，若0a b ⋅>，则ABC 为锐角三角形； ⑤若O 为ABC 的外心，()2212AO BC b c ⋅=-. 其中正确的命题是：_______________________．（填写正确结论的编号）四、解答题29．已知O 为ABC 的外心，求证.sin sin sin 0OA BOC OB AOC OC AOB ∠+∠+∠=.30．在△ABC 中，重心为G ，垂心为H ，外心为I ．（1）若△ABC 三个顶点的坐标为(),0A a ，()0,B b ，()0,0C ，证明：G ，H ，I 三点共线； （2）对于任斜三角形ABC ，G ，H ，I 三点是否都共线，并说明理由．。
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平面向量全章综合练习
一、选择题
1．向量OM CB BO MB AB +-++)()(化简后等于( )
(A ) (B ) (C ) (D )
2．点A 的坐标为(1，－3)，向量的坐标为(3，7)，则点B 的坐标为( )
(A )(4，4) (B )(－2，4) (C )(2，10) (D )(－2，－10)
3．已知向量a ＝(－2，4)，b ＝(－1，－2)，c ＝(2，3)，则(a ＋b )·(a －c )的值为( )
(A )10 (B )14 (C )－10 (D )－14
4．已知向量a ＝(2，t )，b ＝(1，2)．若t ＝t 1时，a ∥b ；t ＝t 2时，a ⊥b ，则( )
(A )t 1＝－4，t 2＝－1 (B )t 1＝－4，t 2＝1
(C )t 1＝4，t 2＝－1 (D )t 1＝4，t 2＝1
5．若点O 是△ABC 所在平面内一点，满足⋅⋅⋅==，则点O 是△ABC 的( )
(A )三个内角的角分线的交点 (B )三条边的垂直平分线的交点
(C )三条中线的交点 (D )三条高线的交点
二、填空题
6．河水的流速为2 m /s ，一只小船想要以垂直于河岸方向10 m /s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度的大小应为______________．
7．数轴上的点A ，B ，点A 的坐标为－3，且向量的长度为5，则点B 的坐标为______．
8．已知p ＝(－2，2)，q ＝(1，3)，则p 在q 方向上的正射影的数量为______．
9．已知向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，若(a ＋b )⊥(a ＋λb )，则实数λ＝______．
10．给出下列命题： ①;2a
b a b a =⋅ ②｜a |－｜b |＜｜a －b ｜； ③|a ·b |＝|a ｜｜b |； ④(b ·
c )a －(c ·a )b 与c 垂直； ⑤已知a ，b 是非零向量，若|a ＋b |＝｜a －b ｜，则a ⊥b ；
⑥已知a ，b 是两个单位向量，则a 2＝b 2．
所有正确的命题的序号为____________．
三、解答题
11．已知点A (－2，1)，B (1，3)．求线段AB 中点M 和三等分点P ，Q 的坐标．
12．已知|a ｜＝2，|b ｜＝4，〈a ，b 〉3
π2．求｜a －b ｜和〈a ，a －b 〉的余弦值． 13．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(x ，1)．
(1)求与a 垂直的单位向量的坐标；
(2)求｜b －2a ｜的最小值以及此时b 的坐标；
(3)当x 为何值，a ＋2b 与b －2a 平行，并确定它们此时是同向还是反向．
14．如图，以原点O 和A (5，2)为两个顶点作等腰直角△OAB ，使∠B ＝90°．求点B 的坐标和的坐标．
一、选择题
1．A 2．A 3．B 4．C 5．D
二、填空题
6．m/s 262 7．－8或2 8．510
2 9．917
- 10．④⑤⑥
三、解答题
11．解：)2,3(=-=OA OB AB ，
),2,21
()(21
-=+=OM 所以)2,21
(-M ，
)35
,1(31
-=+=，所以)37
,0(32),35,1(=+=-p ，
所以)37
,0(Q ．
12．答：｜a -b ｜72=，cos 〈a ，a -b 〉77
2=.
13．略解：(1)设单位向量为e ＝k (－2，1)＝(－2k ，k )，因为|e |＝1，得55
±=k ， )55
,55
2(-=e 或)55
,55
2(-=e ．
(2)9)2(|2|2+-=-x a b ，当x ＝2时，|b －2a ｜最小值为3，此时b ＝(2，1)．
(3) 21
=x ，反向．
14．解：设B (x ，y )，则),(),2,5(y x y x =--=，由已知得⎪⎩⎪⎨⎧==⋅|
|||0OB AB ，
所以⎩⎨⎧-+-=+=-+-2222)2()5(0)2()5(y x y x y y x x ，解得⎪⎩⎪
⎨⎧-==⎪⎩⎪⎨⎧==2
3
22
7
227
1231y x y x 或， 所以)27
,23
(B 或)23
,27
(-B ，)21,23(--=AB 或)23
,27(-=AB ，。