《线性代数》考研辅导讲义5

《线性代数》考研辅导讲义5 第五部分 特征值与特征向量

一.特征值与特征向量的概念、计算、性质 1.特征值与特征向量的概念 设

A 为n 阶矩阵,λ是一个数.若存在非零的n 维向量x ,满足Ax x λ=,则称λ

是

A 的特征值,x 为

A 的属于特征值λ的特征向量.

2.特征值与特征向量的计算 称n 次多项式

()f A E

λλ=-为

A 的特征多项式,而0A E λ-=为A 的特征方程.

特征值与特征向量的计算方法: (1)

A 的特征多项式()f A E

λλ=-的根就是

A 的特征值,设为12,,,s λλλ ;

(2)对(1,2,,)i i s λ= ,解齐次线性方程组()0i A E x λ-=,其基础解系为A 的属于特征值i λ的线

性无关的特征向量;其非零解为A 的属于特征值i λ的全部特征向量.

3.特征值与特征向量的性质 (1)设

A 的特征值为12,,,n λλλ ,则

①121122n nn a a a λλλ+++=+++ .

②12n A λλλ⋅= .

(2)

A 与T

A 有相同的特征值,但不一定有相同的特征向量.

(3)设λ是A 的特征值,x 为A 的属于特征值λ的特征向量,则λ也是

k A 的特征值,x 为k A 的属于

特征值λ的特征向量;一般地,()ϕλ为()A ϕ的特征值,x 为()A ϕ的属于特征值()ϕλ的特征向量.其中

1110()m m m m x a x a x a x a ϕ--=++++

(4)若λ是可逆矩阵

A 的特征值,则0λ≠.且1λ-为1A -的特征值,

A

λ

为*

A 的特征值.同时它们有相

同的特征向量. 二.相似矩阵及其性质 1.相似矩阵的概念 设

A ,

B 为n 阶矩阵.若存在可逆矩阵P ,使得1P AP B -=,则称A ,B 相似,记为~A B . 2.相似矩阵的性质 若

~A B ,则

(1)

~T T A B ;11~A B --(若A ,B 可逆); ~(k k A B k 为正整数);

(2)

A E

B E

λλ-=-;

【注意】若

A ,

B 有相同的特征值,但A ,B 不一定相似.

(3)()();R A R B A B ==.

三.一般矩阵的对角化

n 阶矩阵A 能对角化⇔A 有n 个线性无关的特征向量⇔A 的重特征值有重数个线性无关的特征

向量. 若n 阶矩阵

A 有n 个不同的特征值,则A 必能对角化.

A 的相似对角化的步骤: (1)求A 的特征值;

(2)求

A 的n 个线性无关的特征向量12,,,n p p p ;

(3)令相似变换矩阵12(,,,)n P p p p = ,则112(,,,)n P AP diag λλλ-=Λ= .

【注意】在

A 的相似对角矩阵Λ中,必须(1,2,,)j j j Ap p j n λ== .

四.实对称矩阵的对角化

(1)实对称矩阵的特征值全为实数;

(2)实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量正交;

(3)n 阶实对称矩阵

A 必有n 个线性无关的特征向量,则实对称矩阵A 必能对角化,即存在正交矩阵

P ,使得112(,,,)T n P AP P AP diag λλλ-==Λ= ,其中12,,,n λλλ 为A 的特征值.

典型例题

例1 设

A 为三阶实对称矩阵,且32353A A A E O -+-=,则A 的三个特征值为

1,1,1 .

解 设R λ∈为

A 的特征值,则

322353(1)(23)01E O λλλλλλλ-+-=⇒--+=⇒=

为惟一实特征值. 例2 元素全为3的n 阶矩阵A 的n 个特征值为 .

解

A 的特征多项式为1(3)()n A E n λλλ--=--.

例3 设2λ=为A 的一个特征值,则311

2()4A A --有一个特征值为 .

解 设λ为A 的一个特征值,则313

12()244λλλλ---=-为3112()4

A A --的特征值.

例4 设

A 为三阶矩阵,其特征值为1,2,3,若A 与

B 相似,则*B E += .

解

B 的特征值也是1,2,3, *B 的特征值为

6

B

λ

λ

=

,即6,3,2;则

*(61)(31)(21)84B E +=+++=.

例5 设三阶矩阵32

21423A k k -⎛⎫

⎪

=--

⎪ ⎪-⎝

⎭

有三个线性无关的特征向量,则k = .

解

2(1)(1)1

A E λλλλ-=-+⇒=-

有二个线性无关的特征向量,则()1R A E +=得

0k =.

例6 设三阶实对称矩阵

A 有特征值1,1,2-,且1(1,1,1)T ξ=-是对应于2λ=-的特征向量,则A

为( ).

(A)

011101110-⎛⎫

⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 111121110-⎛⎫

⎪- ⎪ ⎪⎝⎭

(C)

011012110-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

(D) 111101110-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭

解 选(A).

例7 设1

232,1,1λλλ===-为三阶矩阵A 的三个特征值,对应的特征向量为123,,ααα,令

231(2,3,)P ααα=-,则1(2)P A E P -+=(

)．

(A)

314⎛⎫

⎪

⎪ ⎪⎝⎭

(B) 431⎛⎫

⎪

⎪ ⎪⎝⎭ (C) 211⎛⎫

⎪

⎪ ⎪-⎝⎭ (D) 112⎛⎫

⎪

- ⎪ ⎪⎝⎭

解 选(A).

例8 设

A 为n 阶对称矩阵,

B 为n 阶反对称矩阵,则下列矩阵中可用正交变换化成对角形的矩阵是

( ). (A)ABA (B)BAB (C)2

()AB (D) 2AB

解 BAB 为对称矩阵.选(B). 例9 已知三阶矩阵

A 的特征值为0,1±,则下列命题中不正确的是(

)．

(A)A 为不可逆矩阵 (B)A 的主对角线元素之和为零 (C)1与－1所对应的特征向量相互正交 (D)Ax=0的基础解系仅一个向量

解 选(C).