最佳一致逼近多项式

f (b) + f (a ) = f '( x2 ) = 2 − 1 解 : a1 = b−a x2 x f '( x) = 故 = 2 −1 2 1 + x2 1 + x2 f (a) + f ( x2 ) f (b) − f (a )( a + x2 ) a0 = − 2 b−a 2
P ( x) = 0.955 + 0.414 x 1 误差限为 max 1 + x − P ( x) ≤ 0.045 1
∞
在[a, b]上一致成立。
3.2 最佳一致逼近多项式
• 最佳一致逼近多项式 是讨论 f∈C[a, b],在Hn=span{1,x,…xn}中求 多项式 P* (x) , 使其误差 n
|| f − P || = max | f (x) − P (x) |= min || f − Pn ||
* n ∞ a≤x≤b * n Pn ∈Hn
另外两个偏差点必定是区间的端点
x1 = a, x3 = b
由此得到
a 0 + a1 a − f ( a ) = a 0 + a1b − f (b) a 0 + a1 a − f ( a ) = f ( x 2 ) − ( a 0 + a1 x 2 )
有（1）式得 代入到(2)得
f (b) + f (a) a1 = = f ' (x2 ) b−a
第三章 函数逼近
用简单的函数p(x)近似地代替函数 (x)，是计算数学中最 近似地代替函数f ， 用简单的函数 近似地代替函数 基本的概念和方法之一。近似代替又称为逼近，函数 基本的概念和方法之一。近似代替又称为逼近，函数f (x)称为 称为 被逼近的函数， 称为逼近函数， 被逼近的函数，p (x)称为逼近函数，两者之差 称为逼近函数
* n
其中
En = inf {∆( f , P )} = inf m | f (x) − P (x) | ax n n
P ∈Hn n P ∈Hn a≤x≤b n
为了研究最佳逼近多项式的特性，先引进偏差 点的定义. 偏差点定义 设f(x)∈C[a, b]，P(x)∈Hn，若在x＝x0有
| P(x0 ) − f (x0 ) |= m | P(x) − f (x) |= µ ax
a≤x≤b
就称x0是P(x)对f(x)的偏差点. 若 | P(x0 ) − f (x0 ) |= µ, 称x0为“正”偏差 点 若 | P(x0 ) − f (x0 ) |= −µ, 称x0为“负”偏差点.
由于函数P(x)－f(x)在[a, b]上连续,因此,至少存在 一个点x0∈[a, b]使
| P(x0 ) − f (x0 ) |= µ,
(f, Pn*(x))＝En,
则称Pn*(x)是f(x)在[a, b]上的最佳一致逼近 最佳一致逼近 多项式或最小偏差逼近多项式。
注意,定义并未说明最佳逼近多项式是否 存在,但可以证明下面的存在定理. 定理 ： 若f(x)∈C[a, b],则总存在Pn*(x)使
|| f (x) − P (x) ||∞ = E∞
这就是通常所指的最佳一致逼近或切比雪夫逼 近问题.
为了说明这一概念,先给出以下定义. 偏差 设Pn(x)∈Hn,f(x)∈C[a, b],称
∆( f , Pn ) =|| f − Pn ||∞ = m | f (x) − Pn (x) | ax
a≤x≤b
为f(x)与Pn (x)在[a, b]上的偏差 . 显然 ∆( f , P ) ≥ 0 , ∆( f , P ) 的全体组成一个集 n
k a≤x≤b
( σ＝±1, k =1,2,3)
由于 f ′′(x) 在[a, b]上不变号,故 f ′(x)单调, f ′(x) − a1 在(a, b)内只有一个零点,记为x2,于是
于是 即
P′(x2 ) − f ′(x2 ) = a1 − f ′(x2 ) = 0 1
f ′(x2 ) = a1 (1)
k
最佳一次逼近多项式
切比雪夫定理 给出了最佳逼近多项式P(x)的 特性,但要求出P(x)却相当困难. 下面讨论 n=1的情形. 假定f(x)∈C2[a, b]. 且f"(x)在(a,b) 内不变号，我们要求最佳一次逼近多项式 P1(x)=a0 + a1x 至少有3个点a≤x1＜x2＜x3≤b，使
P(xk ) − f (xk ) = (−1) σ max | P(x) − f (x) | 1 1
n
合,记为{ ∆( f , P ) },它有下界0. n
若记集合的下确界为 En = inf {∆( f , P )} = inf m | f (x) − P (x) | ax n n
P ∈Hn n P ∈Hn a≤x≤b n
则称之为f(x)在[a, b]上的最小偏差 . 最小偏差
最佳逼近多项式
假定f(x)∈C[a, b],若存在Pn*(x)∈Hn使
2
也就是说P(x)的偏差点总是存在的。下面给出 反映最佳逼近多项式特征的切比雪夫定理. 切比雪夫定理
Pn(x)∈Hn是f(x)∈C[a, b]的最佳逼近多项式
的充分必要条件是P(x)在[a, b]上至少有n+2 个轮流为“正”，“负”的偏差点，即有n+2个点 a≤x1＜x2＜...＜xn+2≤b，使
P(xk ) − f (xk ) = (−1) σ || P(x) − f (x) ||∞ ,σ = ±1
度量标准通常最常用的有两种： 一致逼近或均匀逼近 || f (x) − p(x) ||∞ = max | f (x) − p(x) |
a≤x≤b
均方逼近或平方逼近
||f ( x) − p ( x) ||2 =
∫ [ f ( x) − p( x)] dx
b 2 a
• 魏尔斯特拉斯定理 设f(x)∈C[a, b],则对任何ε＞0,总存在一个代数多项 式p(x),使 || f (x) − p(x) || ＜ ε
RBaidu Nhomakorabeax) = f (x) − p(x)
称为逼近的误差或余项。 称为逼近的误差或余项。 如何在给定精度下，求出计算量最小的近似式， 如何在给定精度下，求出计算量最小的近似式，这就是 函数逼近要解决的问题
拟合与逼近
本章继续讨论用简单函数近似代替较复杂函 本章继续讨论用简单函数近似代替较复杂函 近似代替 数的问题. 数的问题.上章提到的插值就是近似代替的方 法之一,插值的近似标准是在插值点处误差为 法之一, 但在实际应用中, 零. 但在实际应用中,有时不要求具体某些点 误差为零, 误差为零,而要求考虑整体的误差限制 ,这就 引出了拟合和逼近的概念. 引出了拟合和逼近的概念.
f (a) + f (x2 ) f (b) − f (a)( a + x2 ) a0 = − 2 b−a 2
这就得到最佳一次逼近多项式P1(x)，其方程为
a + x2 1 y = [ f (a) + f (x2 )] + a1 (x − ) 2 2
例1:求f ( x ) = 1 + x 2 在 [0,1] 上的最佳一次逼近多项式.
什么是函数逼近
对函数类A中给定的函数 记作f(x)∈ 对函数类 中给定的函数 f(x),记作 ∈A, 记作 要求在另一类简单的便于计算的函数类 B p(x)∈ ,使 p(x)与 f(x)的误差在 中求函数 p(x)∈B ,使 p(x)与 f(x)的误差在 某种意义下最小.函数类 通常是区间 某种意义下最小 函数类A通常是区间 b] 函数类 通常是区间[a, 上的连续函数,记作 上的连续函数 记作C[a, b],称为函数逼近空 记作 称为函数逼近空 而函数B通常为 次多项式,有理函数 间;而函数 通常为 次多项式 有理函数，分 而函数 通常为n次多项式 有理函数， 段低次多项式或三角多项式等. 段低次多项式或三角多项式等